論函數(shù)的性質

摘要：函數(shù)在數(shù)學及實際生活中有著廣泛的應用，在我們身邊就存在著很多與函數(shù)有關的問題，而學生很難在整體上把握好。嘗試以現(xiàn)代教學思想來編排講授這一內容，能夠使學生的思維暢通。

關鍵詞：函數(shù)的值域； 函數(shù)最值

函數(shù)在數(shù)學及實際生活中有著廣泛應用，適于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和積極性，陶冶學生的情操。上述這樣的數(shù)學問題在我們身邊有很多，只要你注意觀察、積累，并學以致用，就能成為一個聰明人，因為數(shù)學可以使人聰明起來。

一、 定義

我們可以從方程的角度理解函數(shù)的值域，如果我們將函數(shù)y=f(x)看做是關于自變量x的方程，y在值域中任取一個值 y0，y0對應的自變量x0一定為方程 y0=f(x)在定義域中的一個解，即方程在定義域內有解；另一方面若方程在定義域內有解，則一定為對應的函數(shù)值。從方程的角度，函數(shù)的值域即為使關于X的方程在定義域內有解的取值范圍，如變形得X，方程在定義域內有解的條件即為函數(shù)的值域。

二、 求法

利用函數(shù)的單調性觀察分析；利用互為反函數(shù)的定義域與值域的互換關系；利用配方法；利用換元法；利用判別式法；利用函數(shù)圖像數(shù)形結合等。這些方法分別具有極強的針對性，每一種方法又不是萬能的，要順利解答求函數(shù)值域的問題，必須熟練掌握各種技能技巧，根據(jù)特點選擇求值域的方法。這些解題思想與方法貫穿了高中數(shù)學的始終，而學生在學習這些知識的過程中，教師在不同階段零零星星的講解，學生感到變化較大，很難在整體上把握好。嘗試以現(xiàn)代教學思想來編排講授這一內容，能夠使學生的思維暢通，創(chuàng)新思維、發(fā)散性思維得到訓練和提升，激活了學生思維，激活了課堂；同時也培養(yǎng)了學生善于比較、辯證解題的科學認知的數(shù)學素質。

三、 應用

運用函數(shù)的值域解決實際問題關鍵是把實際問題轉化為函數(shù)問題，從而利用所學知識去解決。求函數(shù)值域從以下幾個方面考慮：

(1)求使反函數(shù)x=f(y)有意義的y的范圍，該方法不受函數(shù)有無反函數(shù)的限制，只要用反表達式x=f(y）求即可而不管是否有反函數(shù)，當已知函數(shù)定義域有限制時，則問題會變得復雜。變成了求范圍的問題，有時也用這種方法求函數(shù)最值。

(2)換元(格外注意元的范圍)或看成幾個簡單函數(shù)的復合 ，再分層次分析簡單函數(shù)。

(3)利用單調性結合定義域。這需要對函數(shù)的單調性較敏銳，能夠想到或觀察到函數(shù)的單調性。

(4)利用圖像。此方法適用于圖像容易畫出的一些基本初等函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)），這需要對一些基本的函數(shù)圖像掌握得比較扎實。

(5)用均值不等式。 用不等的一些性質，把求函數(shù)值域的方法作系統(tǒng)講解，能幫助學生在學習中創(chuàng)新，在創(chuàng)新中學習，為學生在學習中能更好地分析問題、解決問題提供理論基礎。嘗試以現(xiàn)代教學思想來編排講授這一內容，能夠使學生的思維暢通，創(chuàng)新思維、發(fā)散性思維得到訓練和提升。

（唐山市豐南第一中學）