觀草拔節(jié)聽花開

宋海浩

我曾先后五次執(zhí)教“圓的周長”一課(人教版實驗教材六年級上冊)。在此過程中我曾困惑，經(jīng)不斷嘗試，終有所悟。

一、用線把“珍珠”串起來

[思考]作為一線教師，我發(fā)現(xiàn)在教學(xué)“圓的認(rèn)識”時，教師非常重視畫圓方法的指導(dǎo)，注重對學(xué)生畫圓技能的訓(xùn)練。然而當(dāng)學(xué)生進入后續(xù)學(xué)習(xí)時，除了考試，它被拋棄了。難道畫圓是走一次過場?畫圓就不能與后續(xù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容發(fā)生關(guān)聯(lián)?

如果把對圓周長探索的每個環(huán)節(jié)看做一顆顆珍珠，以“畫圓”為主線，把這些珍珠串起來，那就在“畫圓”與“探索圓周長”之間找到了一個結(jié)合點。而這條線并不是孤立的，它融圓周長于學(xué)生的探索之中，能使教學(xué)行云流水。

[回放]

師：請同學(xué)們用圓規(guī)在紙上任意畫一個圓。

(學(xué)生第一次畫圓)

師：剛才我們用圓規(guī)畫出來的曲線一周的長度就是圓的……周長。圓規(guī)兩腳之間的距離就是圓的……半徑。

師：再畫一個周長不一樣的圓。

(學(xué)生第二次畫圓)

師：通過剛才的活動，你有什么發(fā)現(xiàn)?

生：圓規(guī)兩腳之間的距離越長，畫出來的圓就越大；圓規(guī)兩腳之間的距離越短，畫出來的圓就越小。

生：圓的周長和半徑有關(guān)系。

師：請同學(xué)們畫一個周長是12.56cm的圓。

(學(xué)生第三次畫圓，此時大多數(shù)學(xué)生不知所措，無從下手)

師：遇到什么困難?

生：我不能保證畫出來的圓的周長是12.56cm。

生：如果知道半徑就好了。

師：看來要準(zhǔn)確地畫出周長是1256cm的圓，現(xiàn)在有點困難。怎么辦呢?

生：是不是可以根據(jù)圓的周長先算出半徑?

師：今天我們學(xué)習(xí)的是課本第62～64頁的內(nèi)容，同學(xué)們看看課本，梳理一下這節(jié)課學(xué)到的知識和運用的方法，有什么問題請及時提出來。

生：周長12.56cm的圓還沒畫。

師：你準(zhǔn)備怎么畫?

(第四次畫圓，學(xué)生積極發(fā)表見解)

生：半徑是12.56÷3.14÷2=2cm，再畫半徑是2cm的圓。

第一次畫圓是簡潔的開始，自然地揭示了圓的周長的意義；第二次畫圓是搭一座便橋，巧妙地喚起學(xué)生頭腦中已有的知識經(jīng)驗；第三次畫圓是一次挑戰(zhàn)，為新知識的探索指明了方向；第四次畫圓是一次反芻，檢驗學(xué)生運用知識解決問題的能力。立足學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，從畫圓導(dǎo)入，學(xué)生自然想到圓的周長與半徑(圓規(guī)兩腳之間的距離)存在某種關(guān)系。通過畫不同要求的圓，巧妙地進入到對圓周長的探索中，可謂“順其自然，水到渠成”。

二、讓“鏡頭”換個角度

[思考]對于圓周長的教學(xué)，從教材編排和傳統(tǒng)教學(xué)來看，一般都以“圓的周長和直徑的關(guān)系”為主要研究方向，從直徑來突破。當(dāng)我確定“以研究圓的周長和半徑的關(guān)系為重心，從半徑來突破”的思路設(shè)計教學(xué)時，我猶豫了，這樣的設(shè)計能行嗎?

換個角度，從半徑來突破圓周長的教學(xué)，并不是無的放矢。從學(xué)生的認(rèn)知起點來說，對于圓的周長學(xué)生已有相應(yīng)的知識儲備，已經(jīng)知道半徑的作用是確定圓的大小。從數(shù)學(xué)活動的有效性來說，在觀察、操作、猜想、驗證等數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)圓的周長和半徑的關(guān)系，進而推理得出圓的周長和直徑的關(guān)系，能使學(xué)生更好地構(gòu)建與內(nèi)化數(shù)學(xué)知識。

[回放]

(學(xué)生提出先算出半徑，再畫圓)

師：圓的周長和半徑之間會有什么樣的關(guān)系呢?

(學(xué)生獨立思考)

生：我估計圓的周長可能是半徑的4倍。

生：我認(rèn)為圓的周長是半徑的6倍。

師：現(xiàn)在同學(xué)們有不同的猜測，但有一點是一致的，大家都認(rèn)為圓的周長和半徑存在倍數(shù)關(guān)系。要知道我們的猜測是否正確，可以怎樣驗證?

生：先量出圓的周長和半徑，再計算出那個圓的周長除以半徑所得的商。

(學(xué)生完成實驗)

師：你有什么發(fā)現(xiàn)?

生：圓的周長與半徑的商大約是6。

師：是不是在任意一個圓中，圓的周長都是半徑的6倍左右呢?

(學(xué)生表示肯定，教師演示課件加以驗證)

師：我國古代數(shù)學(xué)家劉徽曾經(jīng)用這樣的方法研究圓的周長。(課件演示：割圓術(shù))師：你有什么發(fā)現(xiàn)?生：正六邊形的邊長就是圓的半徑，圓的周長是半徑的6倍多一些。

師：我們的實驗、電腦的演示、劉徽的方法都告訴我們，在任意一個圓中，圓的周長是它的半徑的6倍多一些，看來我們猜測的方向是正確的。

師：我們知道圓的直徑與半徑有關(guān)系，現(xiàn)在我們發(fā)現(xiàn)了圓的周長是半徑的6倍多一些，那么圓的周長和直徑會有什么樣的關(guān)系呢?

生：直徑是半徑的兩倍，圓的周長是半徑的6倍多一些，所以圓的周長是直徑的3倍多一些。

師：其實，我們的先輩在研究圓的周長的過程中取得了卓越的成就。約2000年前，(周髀算經(jīng))中就記載“周三徑一”。你知道“周三徑一”是什么意思嗎?

生：圓的周長是它的直徑的3倍。

讓學(xué)生畫周長為12.56cm的圓，這是很有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)活動。學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問題，主動去尋找解決問題的途徑，這就促使學(xué)生從數(shù)學(xué)的本質(zhì)思考解決問題的策略——“應(yīng)該找到圓的周長和半徑有什么關(guān)系”。在系列探索活動的基礎(chǔ)上，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“圓的周長與半徑的關(guān)系”，進而推理得出“圓的周長與直徑的關(guān)系”，之后通過對“周三徑一”的解釋，溝通了圓的周長與半徑、直徑的關(guān)系，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的自我建構(gòu)。如果強行將學(xué)生的思維拉到研究圓的周長與直徑的關(guān)系上，則是“強扭的瓜不甜”。

三、“粗糧細糧”全都有

[思考]如果把教師選擇的學(xué)習(xí)材料比作“精糧”，那么來源于學(xué)生，生成于課堂的學(xué)習(xí)材料就是“粗糧”?！熬Z”代表性強，易于操作，但指向性太強，學(xué)生處于被動狀態(tài)。“粗糧”能更好地促使學(xué)生參與學(xué)習(xí)，但學(xué)生自主操作有難度。兩者如何取舍?

學(xué)習(xí)材料是數(shù)學(xué)教學(xué)的基石，它直接決定著課堂教學(xué)的效益。以“圓”為基石，精心組織“粗糧細糧”，挖掘其豐富的內(nèi)涵，使學(xué)習(xí)材料更簡潔、有效，讓學(xué)生在對材料的利用中達到數(shù)學(xué)內(nèi)容吸收的最大化。

[回放]

師：在學(xué)具袋中，老師為同學(xué)們準(zhǔn)備了一些材料，請你用這些材料，運用我們想出的方法，量一量、算一算，驗證一下我們的猜測。

(學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的周長與半徑、直徑的關(guān)系后)

師：剛才我們用滾動、繞線的方法測量了圓的周長，用這樣的方法測量黑板上這個圓的周長方便嗎?測量圓形大花壇的周長呢?有沒有好的方法，能讓我們快速、準(zhǔn)確地知道圓的周長。生：只要先量出圓的直徑或半徑，就可以算出圓的周長。

師：我量出黑板上這個圓的直徑是3dm，半徑是1.5dm，請你任選一條信息，試著算算圓的周長是多少?

(學(xué)生嘗試解決問題)

生：圓的周長是它的直徑的π倍，也就是3×3.14=9.42dm。

師：這種方法用含有字母的式子怎樣表示?(生答)師：為什么“π”寫在前面?生：π是固定的無限不循環(huán)小數(shù)，數(shù)字與字母相乘用簡便方法表示時，數(shù)字寫在前面。師：還有不同想法嗎?生：圓的周長是它的半徑的2π倍，可以用2×3.14×1.5=9.42dm。(板書：C=2πr)

師：知道了直徑或半徑，就可以計算出圓的周長，你能運用這些方法解決一些問題嗎?

師：先量出自己所畫的任意一個圓的直徑或半徑，再計算圓的周長。

……

畫不同要求的圓是學(xué)生對圓周長內(nèi)涵的逐層體驗，是探索圓周長相關(guān)知識的生發(fā)點，是推導(dǎo)圓周長計算方法的基本素材，是學(xué)生應(yīng)用知識解決問題的練習(xí)對象……在這里材料雖然簡潔，但使用充分。當(dāng)學(xué)生感到用“化曲為直”的方法測量圓的周長不方便時，不約而同地想到用計算方法求圓的周長，而課堂上所畫的圓就成為研究圓周長計算公式的素材。學(xué)生依托這些素材自主推導(dǎo)出圓周長的計算方法。運用現(xiàn)成的素材進行自主探索、公式推導(dǎo)和應(yīng)用練習(xí)，充分發(fā)揮了學(xué)習(xí)材料的效益，恰似“刪繁就簡三秋樹”。

四、撩開“遮面琵琶”的面紗

[思考]“數(shù)學(xué)是人類的一種文化”。圓周長一課蘊含著比較豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，教材的編排也體現(xiàn)了這一點。如何使學(xué)生在探索圓周長的過程中體驗數(shù)學(xué)文化，從文化層面去理解數(shù)學(xué)呢?

數(shù)學(xué)文化不是“遮面琵琶”，對它的體驗應(yīng)自然地鑲嵌在數(shù)學(xué)活動中，使學(xué)生產(chǎn)生情感的共鳴。伴隨著學(xué)生對圓周長的探索，回望人類研究圓周長的歷程，學(xué)生在與古人的對話中，運用古人的成就解決問題，走過了一段令人難忘的體驗之路。

[回放]

師：我國古代數(shù)學(xué)家劉徽曾經(jīng)用這樣的方法研究圓的周長。(課件演示：割圓術(shù))

師：你有什么發(fā)現(xiàn)?

生：正六邊形的邊長就是圓的半徑，圓的周長是半徑的6倍多一些。

師：我們的實驗、電腦的演示、劉徽的方法都告訴我們，在任意一個圓中，圓的周長是它的半徑的6倍多一些?？磥砦覀儾聹y的方向是正確的，不過有些同學(xué)的猜測誤差比較大。

師：其實，我們的先輩在研究圓的周長的過程中取得了卓越的成就。約2000年前，《周髀算經(jīng)》中就記載“周三徑一”。你知道“周三徑一”是什么意思嗎?

生：圓的周長是它的直徑的3倍。

師：我們再來認(rèn)識我國古代一位偉大的數(shù)學(xué)家——相沖之。請同學(xué)們默讀這段文字，找找有價值的數(shù)學(xué)信息。

生：圓的周長除以直徑的商是一個固定的無限不循環(huán)小數(shù)，我們把它叫做圓周率。

生：圓周率用字母π表示，π=3.1415926535……，取近似值是3.14。

師：能用含有字母的式子表示圓的周長和直徑的關(guān)系嗎?

對劉徽割圓術(shù)的重溫，再次驗證了圓的周長和半徑的關(guān)系；對《周髀算經(jīng)》中記載的“周三徑一”的解釋，溝通了圓的周長與半徑、直徑的關(guān)系；而對祖沖之和圓周率相關(guān)信息的檢索，凸顯了探索圓周率的歷程。而課件的演示，文本的閱讀，以及學(xué)生的思辨，豐富了學(xué)生的情感體驗。這既是對數(shù)學(xué)文化的體驗，又是對知識的一次新的探索，“潤物細無聲”的體驗是我們應(yīng)該追求的教學(xué)真諦。

我慶幸自己是個易感知的人，能觀草拔節(jié)聽花開，真實地享受孩子們成長的快樂，真切地感知他們智力之花綻放時的美麗，見證生命的靈動與鮮活!