不確定性問題不能“猜想——驗(yàn)證”

陳明榮　李新根

一、背景分析

“可能性的大小”這一教學(xué)內(nèi)容在小學(xué)階段是一個(gè)全新的嘗試。在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，教學(xué)思路大同小異，基本上是通過“猜想一驗(yàn)證”這一模式來進(jìn)行，“猜想‘哪種顏色球多，摸到的可能性就大→驗(yàn)證‘果然如此”，讓學(xué)生來感受“可能性的大小”，并且為了刻意回避小概率事件的發(fā)生，教師選擇材料時(shí)特意準(zhǔn)備了“8個(gè)黑球、1個(gè)白球”，讓學(xué)生在這樣特殊的情況中摸球，以此來驗(yàn)證因?yàn)楹谇蚨?，所以摸出來的黑球果然也多?/p>

二、教學(xué)片段簡述

[現(xiàn)象]真的意外嗎?

教師在一個(gè)盒子里放入3個(gè)黃球和1個(gè)白球，問：如果連續(xù)摸10次，你覺得會(huì)出現(xiàn)什么情況?

生：7次摸到黃球，3次摸到白球。

生：我猜是8次黃球，2次白球。

生：我覺得是9次黃球，1次白球……

師：你們?yōu)槭裁催@樣猜?

生：因?yàn)楹凶永稂S球有3個(gè)，而白球只有1個(gè)，所以我覺得摸到黃球的可能性要大得多。

師：有什么方法可以知道誰猜得合理?(生齊喊：摸摸看1)

教師指名一生上來摸球，其他學(xué)生記錄。結(jié)果大大出乎意料，竟然是7次白球3次黃球。

教師非常尷尬……

[分析]實(shí)際上摸球意外結(jié)果的出現(xiàn)，這是一種可遇而不可求的機(jī)遇，正是學(xué)生對于“可能性的大小”與“可能性”辯證理解的契機(jī)。難道這一結(jié)果真的大大出乎意料嗎?——沒有，從可能性的角度去看，這一結(jié)果非常正常，甚至于摸10次全部是白球的可能都有。再試問：如果摸10次的結(jié)果真的是黃球多，那么學(xué)生是否就驗(yàn)證了黃球摸出的可能性就大?難道用摸10次的結(jié)果就能說明可能性的大小了嗎?

三、教學(xué)思考

1“可能性的大小”能“猜想——驗(yàn)證”嗎?

概率是一個(gè)既難教又難學(xué)的內(nèi)容，畢竟因果關(guān)系更習(xí)慣，邏輯思維更清晰。對錯(cuò)誤概念的研究顯示，一些錯(cuò)誤概念(如預(yù)言結(jié)果法：將概率很大等同于一定會(huì)發(fā)生，概率很小等同于一定不會(huì)發(fā)生，50％的概率等同于“不知道”或“不能決定”)都與因果思維有關(guān)，它們頑固而難以改變。

概率有其固有的思想方法，有別于講究因果關(guān)系的邏輯思維，所以它的教與學(xué)也應(yīng)具有不同的特點(diǎn)。學(xué)習(xí)“可能性的大小”不宜簡單地用解決確定性問題的“猜想—驗(yàn)證”模式進(jìn)行教學(xué)，而適宜采用“體驗(yàn)—感悟”模式，也就是教師應(yīng)創(chuàng)造情境，鼓勵(lì)學(xué)生用真實(shí)的數(shù)據(jù)、活動(dòng)以及直觀的多次模擬試驗(yàn)與相互交流質(zhì)疑，去檢查、修正或改變他們對概率的認(rèn)識(shí)。

2球數(shù)量的組成體現(xiàn)了兩種觀念

教師準(zhǔn)備的球數(shù)量也體現(xiàn)了兩種不同的觀念。一類是兩種球數(shù)量是懸殊的。這類教師預(yù)設(shè)目的很明確，希望學(xué)生摸出來的情況真能驗(yàn)證結(jié)果，刻意回避小概率事件的發(fā)生，如果實(shí)在不行，就用統(tǒng)計(jì)來幫忙掩蓋；另一類是兩種球數(shù)量安排得比較接近。這類教師能坦然面對可能性與可能性的大小，不把摸球看成純粹的驗(yàn)證結(jié)果的過程，直面小概率事件，并且把這作為教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)難點(diǎn)去進(jìn)行研究討論。事實(shí)也正是如此，學(xué)生對可能性大小的困惑也正在這一點(diǎn)上。因此教師要辯證地看待學(xué)生的驗(yàn)證，不能為了追求驗(yàn)證結(jié)果的“果然如此”，而在選擇材料時(shí)偏向于特殊情況(如8黑1白)，要善于利用并且理性地利用小概率事件，以引起學(xué)生的討論，這對學(xué)生深入了解概率、改變學(xué)生頭腦中已有的錯(cuò)誤概念大有裨益。

3“可能性的大小”不能脫離“可能性”

當(dāng)學(xué)生對“可能性的大小”的猜想出現(xiàn)意外時(shí)，教師要明白，這是非常正常的現(xiàn)象，比如從8黑1白中摸球，學(xué)生的猜想總是摸出來的黑球多，但實(shí)際上一位學(xué)生在摸的時(shí)候恰恰摸出了10次全是白球。實(shí)際上這很好解釋，只要里面有白球，摸10次全是白球的可能性確實(shí)存在。

4揭示錯(cuò)誤觀念，討論交流是關(guān)鍵

學(xué)生的心中存在錯(cuò)誤概念，不同的學(xué)生可能存在不同的錯(cuò)誤概念，學(xué)生可能使用哪些策略、這些策略如何隨學(xué)生發(fā)展不斷發(fā)生變化等等，教師對學(xué)生的這些情況要做到胸有成竹，并在教學(xué)中采取相應(yīng)的對策，這樣教學(xué)才會(huì)更有效。教師要善于組織學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手前后的交流，并且從交流中捕捉學(xué)生對于“可能性大小”方面的一些錯(cuò)誤觀念，并加以放大，以引起同學(xué)們的關(guān)注與爭論。

概率中的有些問題，同一個(gè)答案背后可能有著多個(gè)完全不同的理由，即使是正確的答案，背后也可能有錯(cuò)誤的理由或高低水平不同的正確理由，所以教師應(yīng)要求學(xué)生說清自己的觀點(diǎn)，從而為教師有針對性地找出錯(cuò)誤癥結(jié)提供幫助。

5樹消結(jié)合

隨機(jī)性是概率中的一個(gè)基本觀念。它包含兩個(gè)方面：(1)單一事件的不確定性和不可預(yù)見性；(2)事件在經(jīng)歷多次重復(fù)試驗(yàn)中表現(xiàn)出的規(guī)律性。

回避矛盾對學(xué)生全面地建立正確的概率概念是極為不利的。因?yàn)椴辉诮⒄_概念的同時(shí)，消除相對應(yīng)的錯(cuò)誤直覺，那么錯(cuò)誤直覺就會(huì)在一定情境下衍生。因此在進(jìn)行概率教學(xué)時(shí)，變單向的正向?qū)W習(xí)，為雙向的“樹消結(jié)合”，更有利于學(xué)生形成全面正確的概率概念。

“可能性的大小”教學(xué)中。學(xué)生容易得到“黑球可能性大就是摸出來的黑球一定要多”的感性認(rèn)識(shí)，這就是應(yīng)該消除的對可能性大小的模糊認(rèn)識(shí)。教師應(yīng)充分展開討論，讓學(xué)生通過交流，逐步明白無論摸多少次都不能肯定“黑球多，所以摸到的次數(shù)就多”，也就是說要真正地驗(yàn)證黑球多用摸是解決不了問題的；但同時(shí)又可適當(dāng)滲透，讓學(xué)生了解試驗(yàn)少的時(shí)候，結(jié)果不一定與預(yù)測可能性的大小相符，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，結(jié)果將在預(yù)測的可能性大小左右擺動(dòng)，幅度越來越小。