運用結(jié)構(gòu)思想研究初等幾何例說

朱燕華

摘要：現(xiàn)代數(shù)學(xué)論認(rèn)為：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)絕對不是單純的接受課本知識，更重要的是培養(yǎng)和發(fā)展自身的能力與思維。實踐表明：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，穿以數(shù)學(xué)知識為載體的數(shù)學(xué)思想方法，不僅有助于領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，實現(xiàn)數(shù)學(xué)觀念的轉(zhuǎn)化，更能夠使自身在獲得數(shù)學(xué)知識的同時經(jīng)歷一個由內(nèi)而外的“建構(gòu)”過程。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)思想；建構(gòu)；要素分析

眾所周知，幾何證明是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點之一，其難就難在如何尋找證明思路，追根究底還是因為幾何證明題的本質(zhì)不易把握。為此，在初等幾何的學(xué)習(xí)中融入數(shù)學(xué)思想方法，具有重要意義，而且切實可行。通過平時的學(xué)習(xí)、探索和積累，我發(fā)現(xiàn)其中的“結(jié)構(gòu)思想”，即認(rèn)為“數(shù)學(xué)是一個有機的整體，觀察數(shù)學(xué)問題要著眼于結(jié)構(gòu)的整體性。從宏觀上對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行整體研究，抓住問題的框架結(jié)構(gòu)和本質(zhì)關(guān)系，把一些貌似獨立而實質(zhì)又緊密聯(lián)系的特征視為系統(tǒng)中的整體”，對探尋幾何的證明思路，把握問題的本質(zhì)，培養(yǎng)觀察能力有一定的指導(dǎo)意義，為此本文試圖用結(jié)構(gòu)思想對初等幾何中的難點幾何證明問題進(jìn)行研究，以期提高整體意識，把握問題本質(zhì)，培養(yǎng)應(yīng)變能力。

初等幾何的研究對象，就是最常見的規(guī)則圖形——直線形、圓、相似形、柱、錐、臺、球等，我們常常研究它們的度量性質(zhì)和基本位置關(guān)系，而幾何圖形的度量性質(zhì)和基本位置關(guān)系又必須借助于幾何證明來實現(xiàn)，可以說，對幾何證明的認(rèn)識和理解，將直接影響到初等幾何的學(xué)習(xí)。

一般說來，人們對證明的理解僅僅局限于定義——運用那些已經(jīng)認(rèn)為是正確的判斷，邏輯推理，證實表達(dá)某個判斷的真實性?；谶@種觀點，往往造成對證明的必要性和證明的意義認(rèn)識不透，只是被動地進(jìn)行求證訓(xùn)練，只知其然而不知其所以然，這勢必影響了對幾何證明的真正理解。日本學(xué)者杉山吉茂通過對歷史的回顧，并比較古希臘和古代中國對論證方法的異同，主張證明應(yīng)該還有另一層的含義，即是“分析要素”。結(jié)合杉山吉茂教授的觀點和通常情況下對證明的理解，證明的意義應(yīng)該包括兩個方面的內(nèi)容：一是“檢驗?zāi)撑袛嗟恼鎸嵭浴?；二是要進(jìn)行“要素分析”。針對“要素分析”，杉山吉茂教授作出了具體的解釋，他認(rèn)為證明的要素有兩種：一種是證明所需要的圖形要素（條件）；另一種是公理、定義、定理這類要素。實際上，著眼于證明的要素來認(rèn)識證明的意義就是結(jié)構(gòu)思想的反映。

倘若我們從“分析要素”這一結(jié)構(gòu)思想出發(fā)，著眼于使一個命題成立的要素上來觀察，那么，我們不僅可以作出和這個命題有關(guān)的若干命題，更可以得出更具一般性的結(jié)論，達(dá)到“抓住問題的框架結(jié)構(gòu)和本質(zhì)關(guān)系”的目的，并學(xué)會在此基礎(chǔ)上去思考并發(fā)現(xiàn)新的問題，從而獲得新知識，也就是進(jìn)行發(fā)展性學(xué)習(xí)，為了具體闡明結(jié)構(gòu)思想及所期待的目的，下面引例說明。

例如：已知弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點P（圖1），則線段PA、PB、PC、PD有何關(guān)系？

圖1

分析：連結(jié)AC、DB，△APC∽△DPB，可得PA·PB=PC·PD。

在通常的求證思路下，只需完成上述分析就不難了，但若從結(jié)構(gòu)思想這一觀點出發(fā)，就需進(jìn)行“要素分析”。在證明的過程中，使用到的圖形構(gòu)成要素為：邊PA、PB、PC、PD，點P，邊AB和CD是沒有用到的構(gòu)成要素。對于角來說，只要是包含著相等的角的圖形就可以。這個例子采用的要素是圖形的構(gòu)成要素，但作為要素，除了圖形的構(gòu)成要素外，還有三角形相似條件等也是要素。

因此，我們對這些要素作任意的改變，將不會影響到證明的結(jié)果。由此，所給圖形就不一定要求如圖1，點P可以在圓外，甚至A、B兩點可以重合，C、D兩點可以重合。

變式一：若AB、CD的交點P在⊙O外（圖2A），上述結(jié)論成立嗎？

分析：顯然成立。連結(jié)AC、DB，由△PAC∽△PDB可得PA·PB=PC·PD。

或者：連結(jié)AD、BC（圖2B），由△PAD∽△PCB可得PA·PB=PC·PD。

圖2A

圖2B

從一個有意義的但又不太復(fù)雜的問題出發(fā)，去探尋和發(fā)掘問題的潛在規(guī)律，使得通過這道題，把思維引入一個完整的理論領(lǐng)域——這便是結(jié)構(gòu)思想的另一種表現(xiàn)形式。實際上，許多例題、習(xí)題的背后往往都隱藏著潛在規(guī)律。若是善于觀察，深入探求問題的各個方面，將有助于理解數(shù)學(xué)知識是如何彼此相關(guān)，從而構(gòu)成一個協(xié)調(diào)的整體。我們可以用下面的例題解釋這一事實。

變式二：對圖2，令PA繞P點旋轉(zhuǎn)，使它和圖相切（圖3），上述結(jié)論有何變化？

圖3

分析：此時A點與B點重合，即PB=PA，可猜想上述結(jié)論變?yōu)镻A2=PC·PD。

變式三：對圖3，再令割線PC繞點P旋轉(zhuǎn)，直到和圓相切，此時結(jié)論又如何呢？（圖4）

圖4

分析：此時C點與D點重合，即PC=PD。

所以上述結(jié)論將變?yōu)镻A2=PC2。即PA=PC。（負(fù)值舍去。）

由于圖1、圖2、圖3、圖4本質(zhì)相同，所以綜合上面探究：可以發(fā)現(xiàn)什么共同的規(guī)律呢?

首先，在“圓”和“AB、CD的交點P”兩個不變的信息的制約下，PA、PB、PC、PD均在⊙O內(nèi)部；其次在圓內(nèi)可得到四條積相等的線段。由此我們可以得到規(guī)律：過圓內(nèi)任一點，作兩條相交弦，被該點所分得的四條線段的積相等。

進(jìn)一步探究：規(guī)律中“形內(nèi)”這一條件能不能打破呢？觀察圖2，點P在形外，AB、CD的交點P，為此通過觀察圖形特征以及已知規(guī)律，猜想：過圓外任意一點作兩條直線，與圓相交，實際上：這一結(jié)論仍成立，仍然有PA·PB=PC·PD。

在上述變化中，圍繞“圓”和“點P”兩個不變信息，利用運動的思想對圖進(jìn)行了深入探究，探究出本題所潛在的規(guī)律，把思維引入一個完整的理論領(lǐng)域。對一個數(shù)學(xué)問題，如果只滿足于表面的解答，那么就會顯得單調(diào)，收獲甚少，因此對數(shù)學(xué)問題的分析不能只注重表面現(xiàn)象，而應(yīng)透過現(xiàn)象洞察問題的本質(zhì)特征。例如本題，教師通過“一題多變”，起到了對“相交弦定理”、“切線定理”、“割線定理”、“切線長定理”歸類探究的作用。

初等幾何中含有大量的證明題，都適應(yīng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)思想方法的訓(xùn)練，毫無疑問，這種訓(xùn)練必將有助于培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)思維能力。

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