等積變形在幾何題中的應(yīng)用

中考中，我們經(jīng)常會遇到求陰影部分面積的題目，這些圖形不是以基本圖形的形狀出現(xiàn)，而是由一些基本圖形組合、拼湊而成的簡單圖形，我們稱這類圖形為不規(guī)則圖形，在計算它們的面積時無法直接求解，那我們用什么方法計算它們的面積呢?這時就會用到等積變形方法，以下是等積變形的幾種常見形式。

一、平移

利用平移進行等積變形是最常見的題型之一，平移包括點平移、線段平移、整個圖形平移等。

例1.如右圖，A是半徑為1的圓外的一點，OA=2，AB是圓的切線，B為切點，弦BC//OA，連接AC，求圖中陰影部分的面積。

分析:陰影部分為不規(guī)則圖形，由ΔABC與弓形組成，B為切點。連接OB、OC，如右圖所示，因為BC//OA，在弓形面積不變的情況下把A點向O點平移，得到ΔABC與ΔOBC同底同高，則兩三角形面積相等，那么陰影部分面積等于扇形OCB的面積。

再看一個例子

例2.從大半圓中剪去一個小半圓(小半圓的直徑在大半圓的直徑MN上)點O為大半圓的圓心，AB是大半圓的弦，且與小半圓相切，AB//MN。已知AB=24cm，求陰影部分的面積。

分析:由于只知道了弦AB的長，所以就不可能直接求出陰影部分的面積，此時因為AB//MN，兩條平行線間的距離保持不變，所以可以通過平移小半圓，使小半圓的圓心與大半圓的圓心重合，然后作OC⊥AB，垂足為點C，連接OB，利用Rt△OCB就很容易得出正確答案。如右圖所示，具體過程為:

二、拆分與組合

拆分與組合這一形式要求較高，學(xué)生必須對圖形深入了解，能把不規(guī)則圖形進行分解成若干規(guī)則圖形，進行求解。

例3.如右圖，兩個半徑為1，圓心角是90度的扇形OAB和扇形O'A'B'疊放在一起，點O'在弧AB上，四邊形OPO'Q是正方形，則陰影部分的面積等于多少?

分析:對此圖形進行拆分，拆成兩個全等的扇形，再進行拼湊，如右圖所示，陰影部分的面積實際等于半圓的面積減去兩個正方形的面積，那此題就迎刃而解了。

例4.見右圖:如圖ΔABC中，∠C是直角，AB=12，∠ABC=60°，將ΔABC以點B為中心順時間旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到AB邊的延長線上的點D處，則圖中的陰影部分的面積是多少?

分析:通過分析圖形的形成過程，整個圖形由扇形ABE與直角三角形ΔBDE組成，而圖中的非陰影部分由扇形CBD與直角三角形ΔABC組成，則可得圖中陰影部分的面積

三、旋轉(zhuǎn)與對稱

例5.矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB為直徑的半圓O與DC相切于點E，求陰影部分的面積。

分析:見切點連圓心，連接OE交DB于點F，△DEF與△BOF全等，且△DEF與△BOF組成了以F點為對稱中心的中心對稱圖形，陰影部分的面積等于四分之一的圓的面積。

例6.如圖，正方形ABCD和正方形OEFG的邊長均為4，O為正方形ABCD的對稱中心，求圖中陰影部分的面積。

以上是等積變形常見的三種形式，這三種形式由易到難，由淺入深。在解題中，不規(guī)則圖形題型多種多樣，但萬變不離其宗，只要同學(xué)們認(rèn)真觀察，冷靜思考，運用等積變形的規(guī)律，不規(guī)則圖形就會變得規(guī)則，復(fù)雜的問題就會變得簡單。

作者單位:廣東珠海市金灣區(qū)平沙二中