子結(jié)構(gòu)方法在圓柱殼體振動特性分析中的應(yīng)用研究

王雪仁 繆旭弘 賈 地

海軍裝備研究院，北京100161

子結(jié)構(gòu)方法在圓柱殼體振動特性分析中的應(yīng)用研究

王雪仁 繆旭弘 賈 地

海軍裝備研究院，北京100161

針對大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動特性的預(yù)測問題，發(fā)展了一種子結(jié)構(gòu)方法，并應(yīng)用于圓柱殼模型的振動特性研究。圓柱殼模型長4.2 m，直徑0.4 m，由5部分組成，并且在第4和第5部分內(nèi)有一個軸系結(jié)構(gòu)。用子結(jié)構(gòu)方法研究其振動特性時，模型被分為3個子結(jié)構(gòu)，子結(jié)構(gòu)間通過螺栓進(jìn)行連接。因此，首先介紹了子結(jié)構(gòu)方法及連接處理方式的理論基礎(chǔ)，然后通過實驗驗證了發(fā)展方法的正確性，并著重分析了子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合階數(shù)和連接處理方式對整體結(jié)構(gòu)預(yù)測結(jié)果的影響規(guī)律，最后對比分析了子結(jié)構(gòu)方法與傳統(tǒng)有限元法對計算量和內(nèi)存量的要求。結(jié)果表明：發(fā)展的子結(jié)構(gòu)方法具有較高的精度，可應(yīng)用于求解船舶等大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的振動特性。

圓柱殼；復(fù)雜結(jié)構(gòu)；子結(jié)構(gòu)方法；振動特性；結(jié)構(gòu)模態(tài)

1 引言

20世紀(jì)60年代，HURTY［1，2］首先提出子結(jié)構(gòu)法的概念，其核心思想是將整體結(jié)構(gòu)視為由若干個子結(jié)構(gòu)以某種方式組合在一起的整體，而每個子結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特征可以用一組獨立的模態(tài)來表示。HURTY將這些模態(tài)稱為結(jié)構(gòu)的特征模態(tài)，并引入了約束模態(tài)，以保證子結(jié)構(gòu)間是作為一個整體存在，而非獨立的個體。此后，許多人對這一方法在如何選擇子結(jié)構(gòu)模態(tài)和如何保證內(nèi)部邊界的幾何連續(xù)性方面做了進(jìn)一步的研究和發(fā)展［3－6］。20世紀(jì)80年代以后，人們對子結(jié)構(gòu)方法的關(guān)注愈來愈少，主要是計算機(jī)的快速發(fā)展使原先難以整體建模處理的結(jié)構(gòu)變得容易實現(xiàn)。然而，近來隨著人們對船舶、飛機(jī)、衛(wèi)星等這些大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動特性的關(guān)注，特別是對這些特性定量分析的要求，使子結(jié)構(gòu)方法再次成為被關(guān)注的對象。子結(jié)構(gòu)方法中子結(jié)構(gòu)的綜合模態(tài)截取數(shù)和子結(jié)構(gòu)裝配時交界面的連接處理方式是影響子結(jié)構(gòu)方法求解精度和效率的關(guān)鍵因素，然而以往的研究在這方面的工作還較少。該文將針對這些內(nèi)容開展相關(guān)研究，首先介紹子結(jié)構(gòu)法的基本原理，推導(dǎo)子結(jié)構(gòu)法中連接方式處理的理論基礎(chǔ)，并應(yīng)用于圓柱殼體模型研究。

2 理論基礎(chǔ)

2.1 子結(jié)構(gòu)方法

子結(jié)構(gòu)方法的基本思想是 “分割與裝配”，具體可分為3個步驟：一是劃分子結(jié)構(gòu)，即確定每個子結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)關(guān)系；二是求解子結(jié)構(gòu)的縮減矩陣及相互間的關(guān)系；三是子結(jié)構(gòu)裝配求解整個結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)。

阻尼系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有限元動力學(xué)方程為：

式中，M、C和K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；x¨、x˙和x分別為加速度、速度和位移向量矩陣，每個節(jié)點分別包含3個平移自由度（x，y，z）和3個轉(zhuǎn)動自由度（θx，θy，θz）；F為外部載荷向量。

假設(shè)該阻尼系統(tǒng)被分為n個子結(jié)構(gòu)，其中第m個子結(jié)構(gòu)有個相鄰的子結(jié)構(gòu)，并以｛I｝k代表第k個子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度集，｛B1｝k，｛B2｝k，…，｛Bm｝k分別代表第k個子結(jié)構(gòu)與第k＋1，k＋2，…，k＋m個子結(jié)構(gòu)的公共邊界自由度集，那么當(dāng)考察第k＋1個子結(jié)構(gòu)對第k個子結(jié)構(gòu)的影響時，第k個子結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程可以分塊矩陣的形式表示為：

式中，A表示｛I｝k與｛B2｝k，…，｛Bm｝k等自由度集的并集；B表示｛B1｝k。

同理，可得到當(dāng)考查第k個子結(jié)構(gòu)對第k＋1個子結(jié)構(gòu)的影響時，第k＋1個子結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程可以分塊矩陣的形式表示為：

這時，A表示｛I｝k＋1與｛B2｝k＋1，…，｛Bl｝k＋1等自由度集的并集，l表示第k＋1個子結(jié)構(gòu)有l(wèi)個相鄰的子結(jié)構(gòu)，B表示｛B1｝k＋1，且假定其第一個相鄰的子結(jié)構(gòu)為第k個子結(jié)構(gòu)，則有｛B1｝k＋1＝｛B1｝k。依此類推，便可以得到所有子結(jié)構(gòu)間相互關(guān)系的動力學(xué)方程，聯(lián)合求解即能得到整個結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性。但這個過程是復(fù)雜而繁瑣的，計算量和數(shù)據(jù)存儲量往往超過，甚至遠(yuǎn)大于整體結(jié)構(gòu)直接建模求解。

為解決這個問題，就需要對如式（2）和式（3）所示等這些子結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程進(jìn)行解耦，以實現(xiàn)各子結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程的獨立求解。第一步便是將位移坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標(biāo)，即

式中，ΨN和ΨC分別是結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)化特征模態(tài)和約束模態(tài)矩陣，合稱為模態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣Ψ，ξA和ξB分別是結(jié)構(gòu)的界面和內(nèi)部節(jié)點獨立廣義位移向量。Ψ和ξ可由特征值問題和靜態(tài)平衡方程求得。然后再進(jìn)行第二次獨立坐標(biāo)變換，消除ξN中的非獨立坐標(biāo)，即

式中，S為獨立坐標(biāo)變換矩陣，ξ為獨立的廣義坐標(biāo)，具體形式見文獻(xiàn)［7］。

將式（4）和式（5）代入式（2）和式（3）等子結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程中，并根據(jù)各子結(jié)構(gòu)間相互連接的協(xié)調(diào)條件，即可得到求解系統(tǒng)響應(yīng)的縮減后的系統(tǒng)動力方程。

式中，M＝TTMT，c＝TTCT，k＝TTKT，f＝TTF，T＝ΨS。

求解式（6）后，即可將相應(yīng)的結(jié)果由模態(tài)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為物理坐標(biāo)，以得到結(jié)構(gòu)的實際響應(yīng)。

2.2 子結(jié)構(gòu)間界面協(xié)調(diào)條件處理

子結(jié)構(gòu)間相互連接的協(xié)調(diào)條件是影響子結(jié)構(gòu)綜合求解精度的關(guān)鍵因素，其連接方式可以處理為剛性連接、柔性連接或者是簡單的位移連續(xù)條件。在數(shù)學(xué)處理上，這些邊界條件均可以由邊界點的線性約束組合表示，約束矩陣方程為：

式中，A為m×n階系數(shù)矩陣；y為n×1階位移矩陣；d為m×1階常數(shù)矩陣。

子結(jié)構(gòu)間的實際連接方式是多種多樣的，典型的有螺栓連接、焊接、鉚接及扣接等，這些連接精確的有限元模型描述是復(fù)雜而繁瑣的，幸運的是在求解結(jié)構(gòu)整體響應(yīng)時，這種細(xì)致的描述是不需要的。實際上，這些連接均可通過定義剛性連接、柔性連接或者是簡單的位移連續(xù)條件來實現(xiàn)，由式（7）來描述。例如，考慮連接節(jié)點a和b的點焊，如果兩節(jié)點之間的距離可以忽略，則a和b的位移是相同的，即

如果兩節(jié)點之間的距離不可忽略，則可用剛性棒模型處理兩節(jié)點之間的位移關(guān)系，即

式中，θa和θb是節(jié)點角向量，r為由b到a的距離向量。

但是，有些連接在數(shù)學(xué)處理上是不易準(zhǔn)確定義的，如螺栓連接，其預(yù)緊力大小將會影響連接點的自由度約束情況，本文即將探討兩種處理方式對預(yù)測結(jié)果的影響，即方式一：xa＝xb，θa＝θb；方式二：xa＝xb，θa≠θb。

由式（7）可以看出，子結(jié)構(gòu)間協(xié)調(diào)條件越多，式（7）的維數(shù)越大，同時，式（4）中的約束模態(tài)矩陣ΨC的維數(shù)e與協(xié)調(diào)條件數(shù)h的關(guān)系為：

因此，子結(jié)構(gòu)間協(xié)調(diào)條件的增加將會導(dǎo)致子結(jié)構(gòu)方法效率的降低。

本文通過對大型商業(yè)軟件 （如Ansys，LMS Virtual.lab等）的二次開發(fā)，編制相應(yīng)的接口程序，實現(xiàn)對上述矩陣方程的求解。

3 結(jié)構(gòu)模型

考察的模型為圖1所示的圓柱殼體結(jié)構(gòu)，整個結(jié)構(gòu)由5個分段組成，分段之間靠內(nèi)法蘭或外法蘭螺栓連接，在Ⅲ、Ⅵ、Ⅴ段內(nèi)設(shè)計有軸系結(jié)構(gòu)。利用子結(jié)構(gòu)法進(jìn)行仿真計算和模型試驗時，將結(jié)構(gòu)分為首部（第Ⅰ段）、中部（第Ⅱ段）和尾部（第Ⅲ、Ⅵ和Ⅴ段）三部分。結(jié)構(gòu)實物如圖2所示。

結(jié)構(gòu)的固有模態(tài)測試分為4個部分：首部、中部、尾部3個子結(jié)構(gòu)測試以及模型整體測試。均采用彈簧吊裝的方式模擬各結(jié)構(gòu)的自由約束邊界條件，為獲得結(jié)構(gòu)的振型，采用單點激勵多點響應(yīng)的測試方法。為激起結(jié)構(gòu)的中高頻模態(tài)響應(yīng)，采用鋁質(zhì)力錘頭激勵，數(shù)據(jù)采集與處理系統(tǒng)采用LMS Test.lab系統(tǒng)。

4 結(jié)構(gòu)的特征模態(tài)分析

本節(jié)中子結(jié)構(gòu)間的螺栓連接協(xié)調(diào)條件取2.2節(jié)中的方式一。

4.1 子結(jié)構(gòu)特征模態(tài)分析

結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析將采用子結(jié)構(gòu)方法和直接方法，其區(qū)別在于子結(jié)構(gòu)方法中子結(jié)構(gòu)是作為整體中的個體存在，設(shè)定的邊界條件包含整體因素，而直接方法中則將子結(jié)構(gòu)視為獨立的個體。子結(jié)構(gòu)方法通過在公共邊界節(jié)點上的靜力補(bǔ)償來考慮整體因素的影響，通過靜力補(bǔ)償?shù)脑O(shè)置來獲得式（4）中所需的約束模態(tài)。因此，直接法預(yù)測結(jié)果中只包含結(jié)構(gòu)的特征模態(tài)，而子結(jié)構(gòu)方法預(yù)測結(jié)果中除結(jié)構(gòu)的特征模態(tài)外，還包含約束模態(tài)。模型中的公共邊界點為螺栓連接點，因此，首部和尾部子結(jié)構(gòu)各有8個公共邊界點，而中部子結(jié)構(gòu)有16個公共邊界點。首部、中部和尾部3個子結(jié)構(gòu)特征模態(tài)的仿真計算結(jié)果與試驗測量值對比見表1～表3?？梢钥闯觯咏Y(jié)構(gòu)方法和直接方法所得特征模態(tài)預(yù)測結(jié)果完全一致，且與試驗值吻合良好，說明子結(jié)構(gòu)方法分析結(jié)果不僅包含子結(jié)構(gòu)組合集成時所需的信息，而且完全包含獨立子結(jié)構(gòu)振動特性信息。

圖1 圓柱殼體模型結(jié)構(gòu)尺寸

圖2 圓柱殼體模型實物

表1 首部子結(jié)構(gòu)典型模態(tài)比較（Hz）

表2 中部子結(jié)構(gòu)典型模態(tài)比較（Hz)

表3 尾部子結(jié)構(gòu)典型模態(tài)比較(Hz)

表4 整體結(jié)構(gòu)典型模態(tài)比較(Hz)

4.2 整體結(jié)構(gòu)特征模態(tài)分析

整體結(jié)構(gòu)典型特征模態(tài)的子結(jié)構(gòu)方法、直接法預(yù)測結(jié)果及試驗測量結(jié)果見表4，子結(jié)構(gòu)方法與直接法前50階模態(tài)預(yù)測結(jié)果比較見圖3。由表4和圖3可以看出，3種方法預(yù)測結(jié)果吻合較好，說明子結(jié)構(gòu)方法可正確預(yù)測結(jié)構(gòu)的振動特性。子結(jié)構(gòu)方法的預(yù)測精度相對于直接方法略差，是由于子結(jié)構(gòu)間邊界條件的連接處理和子結(jié)構(gòu)的截取模態(tài)數(shù)有限。

圖3 直接法與子結(jié)構(gòu)方法預(yù)測結(jié)果比較

圖4 子結(jié)構(gòu)特征模態(tài)均為50階時，子結(jié)構(gòu)綜合階數(shù)對整體結(jié)構(gòu)模態(tài)預(yù)測結(jié)果的影響

5 子結(jié)構(gòu)方法求解精度探討

由式（4）和式（7）可以看出，子結(jié)構(gòu)方法的求解精度主要取決于子結(jié)構(gòu)截取模態(tài)的數(shù)目以及子結(jié)構(gòu)裝配連接時邊界條件的處理，本文將針對圖1模型對這兩個方面進(jìn)行探討。

5.1 子結(jié)構(gòu)模態(tài)截取數(shù)對求解精度的影響

各子結(jié)構(gòu)獨立計算時均設(shè)置計算前50階結(jié)構(gòu)特征模態(tài)，而實際計算時，由于靜態(tài)補(bǔ)償點的影響，計算結(jié)果中除了結(jié)構(gòu)的特征模態(tài)外還有考慮整體因素的約束模態(tài)，由式（10），并考慮2.2節(jié)中的邊界條件處理方式一，可知首部和尾部子結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果各有98階模態(tài)，中部子結(jié)構(gòu)有146階模態(tài)。在子結(jié)構(gòu)進(jìn)行裝配計算整體結(jié)構(gòu)模態(tài)時，3個子結(jié)構(gòu)均取前60階、80階和98階相同的階數(shù)參與綜合計算，以及每個子結(jié)構(gòu)全部模態(tài)均參與綜合計算等4種情況，計算結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?，隨著各子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合階數(shù)的增大，整體模態(tài)預(yù)測結(jié)果的精度逐漸提高，當(dāng)所取模態(tài)綜合階數(shù)等于首、尾部子結(jié)構(gòu)的全部模態(tài)數(shù)時，所得結(jié)果與全部模態(tài)都參與綜合計算時預(yù)測結(jié)果吻合很好。

當(dāng)各子結(jié)構(gòu)均設(shè)置計算前40階和前70階結(jié)構(gòu)特征模態(tài)時，首部、中部和尾部的模態(tài)計算結(jié)果各有88階、136階、88階和118階、166階、118階模態(tài)。子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合階數(shù)對整體結(jié)構(gòu)模態(tài)預(yù)測結(jié)果的影響如圖5和圖6所示。同樣可以看出，當(dāng)子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合階數(shù)為其中包含最少模態(tài)的子結(jié)構(gòu)的全部模態(tài)數(shù)時，整體模型的預(yù)測結(jié)果可視為達(dá)到穩(wěn)定。

5.2 子結(jié)構(gòu)間連接處理對求解精度的影響

根據(jù)實際結(jié)構(gòu)，模型首部、中部和尾部3個子結(jié)構(gòu)間的連接采用剛性螺栓單元連接，它是一種蜘蛛網(wǎng)式單元和節(jié)點，具有x，y，z 3個平移自由度和θx，θy，θz3個轉(zhuǎn)動自由度。各子結(jié)構(gòu)獨立計算時，求解特征模態(tài)數(shù)均為前50階，整體結(jié)構(gòu)裝配中交界面連接處理方式（即邊界協(xié)調(diào)條件）對預(yù)測結(jié)果的影響如圖7所示。圖中模態(tài)頻率變化量定義為：

圖5 子結(jié)構(gòu)特征模態(tài)均為40階時，子結(jié)構(gòu)綜合階數(shù)對整體預(yù)測結(jié)果的影響

圖6 子結(jié)構(gòu)特征模態(tài)均為70階時，子結(jié)構(gòu)綜合階數(shù)對整體預(yù)測結(jié)果的影響

圖7 邊界協(xié)調(diào)條件對整體結(jié)構(gòu)預(yù)測模態(tài)結(jié)果的影響

由圖7可以看出，連接點自由度全部耦合（即2.2節(jié)中界面協(xié)調(diào)條件方式一）計算結(jié)果精度好于部分自由度耦合 （即2.2節(jié)中界面協(xié)調(diào)條件方式二）計算結(jié)果；邊界協(xié)調(diào)條件處理方式對預(yù)測結(jié)果的影響是明顯的，特別是對低階模態(tài)的影響是不可忽略的，前20階非剛體模態(tài)的變化量在10%以上，而第1階非剛體模態(tài)的變化量更是達(dá)到50%。

當(dāng)子結(jié)構(gòu)連接點3個方向的平移自由度耦合而轉(zhuǎn)動自由度自由時，子結(jié)構(gòu)模態(tài)耦合階數(shù)對整體結(jié)構(gòu)求解精度的影響如圖8所示。比較圖4和圖8可以看出，連接點耦合自由度越少，整體模態(tài)預(yù)測結(jié)果對子結(jié)構(gòu)模態(tài)耦合階數(shù)的敏感度越小。當(dāng)只耦合約束3個平移自由度時，每個子結(jié)構(gòu)取其前80階模態(tài)參與整體模態(tài)耦合計算即能得到穩(wěn)定的結(jié)果。

6 子結(jié)構(gòu)方法效率探討

針對子結(jié)構(gòu)間連接點平移和轉(zhuǎn)動自由度全部耦合約束的情況開展相應(yīng)的探討，子結(jié)構(gòu)的特征模態(tài)數(shù)為50階。直接法與子結(jié)構(gòu)方法耗費的時間與內(nèi)存量的比較見表5?？梢钥闯?，子結(jié)構(gòu)獨立計算時子結(jié)構(gòu)方法耗費的時間明顯多于直接法，而占用的內(nèi)存量基本一致，這是由于子結(jié)構(gòu)方法中除了求解特征模態(tài)外還有約束模態(tài)，導(dǎo)致計算時間增大，而內(nèi)存量只與模型單元和節(jié)點數(shù)有關(guān)。子結(jié)構(gòu)方法的整體結(jié)構(gòu)模態(tài)的計算時間明顯小于直接法，而占用內(nèi)存量明顯大于直接法，這是由于子結(jié)構(gòu)方法采用模態(tài)綜合法求解整體結(jié)構(gòu)的模態(tài)，不需有限元矩陣方程組形成和求解，但需要大量的各子結(jié)構(gòu)模態(tài)信息結(jié)果數(shù)據(jù)。子結(jié)構(gòu)方法中子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合階數(shù)對應(yīng)的整體模態(tài)計算時間和內(nèi)存量見表6，關(guān)系曲線如圖9和圖10所示?？梢钥闯?，整體模態(tài)的計算時間和內(nèi)存量以線性關(guān)系隨著綜合階數(shù)的增加而增大。

圖8 子結(jié)構(gòu)間界面協(xié)調(diào)條件取方式二時，子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合階數(shù)對整體結(jié)構(gòu)模態(tài)預(yù)測結(jié)果的影響

表5 直接法與子結(jié)構(gòu)法計算時間與內(nèi)存量比較

表6 子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合階數(shù)對整體結(jié)構(gòu)模態(tài)計算時間與內(nèi)存量的影響

圖9 子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合階數(shù)對整體結(jié)構(gòu)模態(tài)預(yù)測計算時間的影響

圖10 子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合階數(shù)對整體結(jié)構(gòu)模態(tài)預(yù)測占用內(nèi)存量的影響

7 結(jié)論

發(fā)展了子結(jié)構(gòu)方法，應(yīng)用于圓柱殼體模型研究，并分析了影響其預(yù)測精度和效率的因素，得到了以下結(jié)論：

1）子結(jié)構(gòu)方法可正確預(yù)測結(jié)構(gòu)的振動特性，將復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分解為若干簡單的結(jié)構(gòu)分別研究。

2）子結(jié)構(gòu)方法的預(yù)測精度受子結(jié)構(gòu)模態(tài)截取數(shù)和子結(jié)構(gòu)間的連接邊界條件兩個主要因素的影響：參與綜合的模態(tài)數(shù)愈多，求解精度愈高，當(dāng)子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合階數(shù)為其中包含最少模態(tài)的子結(jié)構(gòu)的全部模態(tài)數(shù)時，整體模型的預(yù)測結(jié)果可視為達(dá)到穩(wěn)定；子結(jié)構(gòu)間協(xié)調(diào)邊界條件數(shù)越少，整體模態(tài)預(yù)測結(jié)果對子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合階數(shù)的敏感度越小。

3）子結(jié)構(gòu)方法可實現(xiàn)各子結(jié)構(gòu)的獨立求解，在各子結(jié)構(gòu)振動特性已知的情況下可快速求解整體結(jié)構(gòu)振動特性，其計算時間和內(nèi)存量以線性關(guān)系隨著子結(jié)構(gòu)參與綜合的模態(tài)階數(shù)的增加而增大。

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Substructure Synthesis Method for Vibration Characteristics Analysis of Cylindrical Shell

Wang Xue－ren Miao Xu－h(huán)ong Jia Di
Naval Equipment Academy，Beijing 100161，China

The substructure synthesis method was developed and applied to predict the structure vibration characteristics of a cylindrical shell model with length and diameter of 4.2m and 0.4m respectively.The shell model consists of five parts and a shafting passing through the fourth and the fifth parts.When computing，the model was divided into three substructures connected by bolts.Theories about the substructure synthesis method and the connection modeling technique were introduced at first.Then the accuracy of the developed method was verified by comparing the predicted results with the experimental results of the structure modes.Several factors，such as modal reduction and interface conditions，were studied about their effects on the accuracy of the predictions.Computational time and memory usage of the substructure synthesis method were compared with those of the traditional FEM.The comparison shows the efficiency of the substructure synthesis method.The results show that the developed substructure synthesis method is an effective method for predicting vibration characteristics of large and complex structures such as ships.

cylindrical shell；complex structure；substructure synthesis method；vibration characteristics；structure mode

TB532

A

1673－3185（2009）05－08－06

2009-05-12

中國博士后科學(xué)基金資助項目（20080431388）

王雪仁（1980－），男，博士后。研究方向：振動噪聲控制。E-mail：wxrencon@yahoo.com.cn