淺談初中數(shù)學(xué)的化歸思想及其教學(xué)策略

郭在峰

【摘要】化歸是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題最基本的手段之一,幾乎所有問(wèn)題的解決都離不開(kāi)化歸。從化歸的方向上來(lái)看,可以化“未知”為“已知”,化“一般”為“特殊”。教師要采取有效的教學(xué)策略滲透化歸思想方法:擁有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)是實(shí)現(xiàn)化歸的必要條件;樹(shù)立化歸意識(shí),提高轉(zhuǎn)化能力是實(shí)現(xiàn)化歸思想方法教學(xué)的關(guān)鍵;善于挖掘教材中蘊(yùn)含的化歸思想方法,不斷總結(jié)化歸法的一般原理,把化歸思想方法的教學(xué)融于各個(gè)環(huán)節(jié)之中,讓學(xué)生切實(shí)感受到化歸思想方法的存在形式及其發(fā)揮的作用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)化歸思想教學(xué)策略

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”,數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要組成部分,化歸是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的最基本的手段之一,幾乎所有問(wèn)題的解決都離不開(kāi)化歸?；瘹w思想的實(shí)質(zhì)就是將一個(gè)新問(wèn)題進(jìn)行變形,使其轉(zhuǎn)化為另一個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題,從而使原來(lái)的問(wèn)題得到解決?；瘹w思想包含三個(gè)要素:化歸的對(duì)象、化歸的目標(biāo)和化歸的途徑。要正確運(yùn)用化歸思想,就要認(rèn)清化歸的對(duì)象,明確要化歸的目標(biāo),選擇恰當(dāng)?shù)幕瘹w途徑。從化歸的方向上來(lái)看,化歸的方向大致可以分為兩種。

一、化“未知”為“已知”

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家雅諾夫思卡婭說(shuō):“解題——就是意味著把所要解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的問(wèn)題?！痹诔踔袛?shù)學(xué)中,有許多新知識(shí)的獲得或新問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為已知知識(shí)或已解決的問(wèn)題來(lái)完成的,也就是將新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)塊轉(zhuǎn)化,從而使問(wèn)題得到解決。在代數(shù)方程求解時(shí)大多采用“化歸”的思路,它是解決方程(組)問(wèn)題的最基本的思想。即將復(fù)雜的方程(組)通過(guò)各種途徑轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的方程(組),最后歸結(jié)為一元一次方程或一元二次方程。這種化歸過(guò)程可以概括為“高次方程低次化,無(wú)理方程有理化,分式方程整式化,多元方程組一元化”。

例如,一元二次方程的四種基本解法:

1.形如(x+m)²=n(n≥0)的方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次方程:x+m=±n,進(jìn)而得解x_1,2=m+±n,此為開(kāi)平方。2.如果將方程通過(guò)配方恒等變形,一邊化為含未知數(shù)的完全平方式,另一邊為非負(fù)的常數(shù),則其后的求解可由思路1完成,此為配方法。3.如果方程一邊為零,一邊能分解成兩個(gè)一次因式之積,就可以得到兩個(gè)因式分別為零的一次方程,它們的解都是原方程的解,此為因式分解法。4.如果以上三條思路受阻,便可把方程整理為一般形式,直接利用公式求解。

分析4種方法,不難發(fā)現(xiàn),開(kāi)平方法,它是依據(jù)平方根的意義將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程,即由(x+m)²=n(n≥0)轉(zhuǎn)化為x+m=±n,完成了由“二次”向“一次”的轉(zhuǎn)化。方法2中的“配方”則是方程的恒等變形,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“可開(kāi)方”,并未“降次轉(zhuǎn)化”,但已為“二次”向“一次”轉(zhuǎn)化創(chuàng)造了條件,配方法的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為開(kāi)平方來(lái)解決的。方法3因式分解法,依據(jù)是“若干個(gè)因式之積為零時(shí),則其中至少有一個(gè)因式為零”,據(jù)此,也順利地實(shí)現(xiàn)了由“二次”轉(zhuǎn)化為“一次”的目的。方法四即所謂公式法,對(duì)一般的一元二次方程,通過(guò)配方,轉(zhuǎn)化為開(kāi)平方求得一般結(jié)論,即求根公式。公式法以強(qiáng)調(diào)結(jié)論,實(shí)際上已將解方程轉(zhuǎn)化成為代數(shù)式的求值問(wèn)題,而公式的得到則是化歸思想的典型體現(xiàn)。

二、化“一般”為“特殊”

先解決特殊條件、特殊情況的問(wèn)題,然后,通過(guò)恰當(dāng)?shù)幕瘹w途徑把一般情況下的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊情況下的問(wèn)題來(lái)解決,這也是解決新問(wèn)題獲得新知識(shí)的一種重要的化歸方向。初中教材中有許多一般性問(wèn)題是用特殊化法解決的,如圓周角定理的證明,先證明圓心在圓周角一條邊上這種特殊情況,然后,把這種證明思路應(yīng)用到圓心在角的內(nèi)部、外部的非特殊情況證明上,最后進(jìn)行歸納,使問(wèn)題得以解決。

例如,正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O,O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn),兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等,那么無(wú)論正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),兩個(gè)正方形重疊部分的面積,是否變化,若變化請(qǐng)說(shuō)明理由,若不變請(qǐng)求出。分析:一般情況下,兩個(gè)正方形重疊部分是一個(gè)四邊形,不易確定其面積的大小。不妨將繞O旋轉(zhuǎn)的正方形置于特殊位置,此時(shí),易得重疊部分(△AOB)的面積是正方形ABCD面積四分之一的,余下的問(wèn)題就是證明在一般情形下,重疊四邊形OEAF的面積等于△OAB面積。用割補(bǔ)法,證△OAE≌△ODF即可。

此題的解決都是先解決特殊條件、特殊情況下的問(wèn)題,然后,通過(guò)恰當(dāng)?shù)幕瘹w方法把一般情況下的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊情況下的問(wèn)題來(lái)解決,這也是順利解決某些問(wèn)題的一種重要的化歸方向,它在獲得新知識(shí)解決新問(wèn)題的過(guò)程中時(shí)常發(fā)揮著意想不到的作用。

那么,在日常教學(xué)中如何更好地滲透和落實(shí)化歸思想呢?

一、擁有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)是實(shí)現(xiàn)化歸的必要條件

注重概念、公式、法則等基本數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué),是尋求化歸目標(biāo)的基礎(chǔ)。從某種意義上說(shuō),中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上是數(shù)學(xué)模型的教學(xué),建立數(shù)學(xué)模型是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)范化和程序化,運(yùn)用模型的過(guò)程即是轉(zhuǎn)化與化歸的過(guò)程。

系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu),是發(fā)現(xiàn)化歸方向的前提。在平時(shí)教學(xué)中,教師幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu),如做好單元小結(jié),制作知識(shí)結(jié)構(gòu)圖或列知識(shí)表是完善知識(shí)結(jié)構(gòu)使知識(shí)系統(tǒng)化、板塊化的有效方法之一。通過(guò)表格或網(wǎng)絡(luò)圖,知識(shí)之間的相互聯(lián)系、依存關(guān)系一目了然,為問(wèn)題的轉(zhuǎn)化提供了準(zhǔn)確的方向。

數(shù)學(xué)方法的積累,為探求化歸途徑帶來(lái)便利。學(xué)困生之所以拿到基本題沒(méi)有思路,其根本原因是其知識(shí)結(jié)構(gòu)殘缺不全,平時(shí)不注重?cái)?shù)學(xué)方法的積累。

二、樹(shù)立化歸意識(shí),提高轉(zhuǎn)化能力是實(shí)現(xiàn)化歸思想方法教學(xué)的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體,它的各部分之間相互聯(lián)系、相互依存、相互滲透,我們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中,常需要利用這些聯(lián)系對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化,使之達(dá)到簡(jiǎn)單化、熟悉化的目的。要實(shí)施轉(zhuǎn)化,首先須明確轉(zhuǎn)化的一般原理,掌握基本的化歸思想和方法,并通過(guò)典型的問(wèn)題加以鞏固和練習(xí)。因此,在平時(shí)的教學(xué)中,注重引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、分析,由問(wèn)題的條件、圖形特征和求解目標(biāo)的結(jié)構(gòu)形式聯(lián)想到與其有關(guān)的定義、公式、定理、法則、性質(zhì)、數(shù)學(xué)解題思想方法、規(guī)律以及熟知的相關(guān)問(wèn)題解法,通過(guò)轉(zhuǎn)化,建立條件和結(jié)論之間的橋梁,從而找到解題的思路和方法。要求學(xué)生掌握基本的化歸方法,初中階段常用的化歸方法有恒等變換法,具體包括分解法、配方法、待定系數(shù)法等:其次是映射反演法,具體包括換元法、坐標(biāo)法等。

三、善于挖掘教材中蘊(yùn)含的化歸思想方法,不斷總結(jié)化歸法的一般原理

把化歸思想方法的教學(xué)融于各個(gè)環(huán)節(jié)之中,讓學(xué)生切實(shí)感受到化歸思想方法的存在形式及其發(fā)揮的作用。

在概念形成過(guò)程中滲透化歸思想;在定理、公式的探究過(guò)程中深化化歸思想;在問(wèn)題解決過(guò)程中領(lǐng)悟化歸思想;在知識(shí)的歸納總結(jié)過(guò)程中概括化歸思想。

化歸思想貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué),讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中要有意識(shí)地體會(huì)這種科學(xué)的思維方法,有利于在解決問(wèn)題的過(guò)程中,保持思維通暢、運(yùn)用方法恰當(dāng),從而達(dá)到事半功倍的效果。

參考文獻(xiàn):

[1]顧泠沅.數(shù)學(xué)思想方法[M].北京:中央廣播電視大學(xué)出版社,2004.

[2]殷堰工.數(shù)學(xué)解題策略精編[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?1994.

[3]上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].上海:上海教育出版社,2004.