試論用“減法”求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)

宓賢慶

教學(xué)片斷

(新教材人教版第十冊P81例2)求18和27的最大公因數(shù)。

師：請你們選擇自己喜歡的方法進(jìn)行思考，尋找解題方法，可以獨(dú)立思考，也可以小組合作。

(教師學(xué)情預(yù)設(shè)：根據(jù)學(xué)生已有的知識水平，有的會(huì)分別寫出每個(gè)數(shù)的因數(shù)再找最大公因數(shù)；有的會(huì)找出其中一個(gè)數(shù)的所有因數(shù)，再從大到小驗(yàn)證這些因數(shù)是不是另一個(gè)數(shù)的因數(shù)。有的會(huì)進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)；個(gè)別同學(xué)可能會(huì)直接用短除法)

過了數(shù)分鐘……

師：你們都找到18和27的最大公因數(shù)了嗎?

(教師在和學(xué)生交流時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的答案基本不出教師所料。課堂到此也似乎十分流暢，誰想到“半路殺出個(gè)程咬金”，還有一個(gè)同學(xué)高舉雙手不肯放下，躍躍欲試的表情寫于臉上)

師：“×××，你還有什么不同的方法嗎?”

該生站起來說：“27-18=9，9就是18和27的最大公因數(shù)?！?/p>

(同學(xué)們哄堂大笑，該生也很不好意思地坐下了)

(這一意想不到的方法是在座多數(shù)老師教學(xué)中從沒遇到過的，我一時(shí)也不知道對不對，我們都睜大眼睛看上課教師怎么處置)

師：(教師一愣，隨即把皮球又踢了回去)：你能說說這樣想的理由嗎?

(教室里很快安靜下來，大家都想知道這看上去很妙的方法是否正確，老師又是怎么評價(jià)的)

“那是我猜的?！痹撋缓靡馑嫉鼗卮?。

師：(輕描淡寫地)哦，這只是巧合吧，如果求4和9的最大公因數(shù)呢，能用9-4=5，難道5就是它們的最大公因數(shù)嗎?

學(xué)生被老師問得啞口無言，這個(gè)問題也隨之不了了之。

課后，老師們對這個(gè)小插曲展開了熱烈的討論，求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，可以用減法嗎?學(xué)生的想法對不對?這僅僅是巧合，還是偶然之中存在必然?多數(shù)老師認(rèn)為，這種解法不對，教師的例子不是很好的說明嗎，如果放任這樣的解法繼續(xù)存在，對求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)的知識掌握會(huì)產(chǎn)生極大的負(fù)面影響，應(yīng)該堅(jiān)決予以糾正?？晌铱傆X得學(xué)生之所以產(chǎn)生這樣的方法，一定有他深層次的原因。我陷入了沉思。

課后，我查閱了資料。我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解法是正確的。理論依據(jù)是《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”。新教材人教版第十冊P87“你知道嗎?”講到了“約分術(shù)”。雖然“更相減損術(shù)”是將一個(gè)分?jǐn)?shù)化簡為最簡分?jǐn)?shù)的算法，但是分?jǐn)?shù)化簡與最大公因數(shù)是緊密關(guān)聯(lián)的。“更相減損術(shù)”可以適當(dāng)改造后用于求最大公因數(shù)。在“更相減損術(shù)”中的“副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也”就是求兩個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)的算法，我們不妨把它稱之為輾轉(zhuǎn)相減法。翻譯為現(xiàn)代語言如下：任意給定兩個(gè)正整數(shù)，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減去小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))就是所求的最大公因數(shù)。

“更相減損術(shù)”可以看作是歐幾里得算法的另一種表現(xiàn)形式。歐幾里得算法是用輾轉(zhuǎn)相除的方法來計(jì)算，輾轉(zhuǎn)相減法的證明過程與輾轉(zhuǎn)相除法完全相同。課堂上在學(xué)生甚至教師還不了解歐幾里得算法的情況下，學(xué)生能想到這一種全新的算法，非?？少F，可以稱得上是創(chuàng)新。

既然中國古代就有了這種行之有效的方法，為什么教材就不采用“更相減損術(shù)”來求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)呢?這是因?yàn)椤案鄿p損術(shù)”是將一個(gè)分?jǐn)?shù)化簡為最簡分?jǐn)?shù)的算法，采用的是逐次約分的方法，應(yīng)用在找最大公因數(shù)時(shí)有時(shí)步驟很少，就如例題。27-18=9，(其實(shí)照“更相減損術(shù)”操作，還有一步18-9=9)9就是18和27的最大公因數(shù)。有時(shí)步驟繁多，就如教師所舉凡例，9-4=5，5-4=1(其實(shí)照“更相減損術(shù)操作”還有幾步，4-1=3，3-1=2，2-1=1)，1才是9和4的最大公因數(shù)。甚至還有步驟更多、更復(fù)雜的，兩個(gè)對比，發(fā)現(xiàn)用分解質(zhì)因數(shù)找出最大公因數(shù)來得簡潔方便。我想，課堂上教師如果有進(jìn)取的心態(tài)，主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生去探索知識的前因后果，而不是隨意下結(jié)論，讓概括、歸并、簡單這些重要的數(shù)學(xué)思想原則去影響學(xué)生，其意義會(huì)非同尋常。教學(xué)思考

一、主動(dòng)“建構(gòu)”，才是學(xué)生學(xué)習(xí)真面目

建構(gòu)主義認(rèn)為：學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)不是教師單方面向?qū)W生傳遞知識，而是學(xué)生根據(jù)外在信息，通過自己的背景知識，建構(gòu)自己知識的過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生不是被動(dòng)的信息吸收者和刺激接受者，他們要對外部的信息進(jìn)行選擇和加工。從課堂教學(xué)中出現(xiàn)的小插曲可以看出，很顯然，在學(xué)習(xí)求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)的方法時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程不是簡單的復(fù)制教材提供的思維方式，他們的思維也沒有完全局限于教師的預(yù)設(shè)空間。他們總會(huì)根據(jù)自己的想法，選擇自己認(rèn)為行之有效的手段，加工成屬于自己的獨(dú)特方法，主動(dòng)建構(gòu)屬于自己的知識體系。因此，作為教師在琢磨怎么教的同時(shí)，更應(yīng)該關(guān)注學(xué)生在怎么學(xué)。因?yàn)椤巴庖蛑挥型ㄟ^內(nèi)因才能起作用”。

二、精研教材，才能掌握教學(xué)主動(dòng)權(quán)

仔細(xì)對照新舊教材，發(fā)現(xiàn)變化很大。浙教版第十冊P50例3“求36和60的最大公因數(shù)”，教材是通過分別找出36和60的因數(shù)的方法再確定它們的最大公因數(shù)是12，接著教材用短除法確定12就是36和60的最大公因數(shù)，方法顯得單一、程式化。而新教材則把例題修改為“求18和27的最大公因數(shù)”，在介紹了通過先找公因數(shù)再找最大公因數(shù)的方法后，引導(dǎo)學(xué)生思考，還有別的方法嗎?我想教材這樣修改，編者可能估計(jì)到學(xué)生會(huì)采用27-18=9的方法來求出最大公因數(shù)。如果教師也明白這一點(diǎn)，當(dāng)課堂上產(chǎn)生這樣的問題時(shí)，就可以從容地引導(dǎo)學(xué)生追本溯源，通過找出知識發(fā)生的原始狀態(tài)，挖掘文本知識中積淀的數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)作為人類的一種文化傳承，它的思想是現(xiàn)代文明的重要組成部分，也讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到了不同的發(fā)展。

三、民主融洽，才會(huì)創(chuàng)造課堂新亮色

新時(shí)期通訊傳媒的發(fā)達(dá)使教師不再是知識的權(quán)威。新理念下的教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、合作者、引導(dǎo)者。因此，學(xué)生在課堂上出現(xiàn)了與教師不同的看法和意見，甚至讓教師認(rèn)為不可思議的解答方法會(huì)越來越多，作為教師不要輕易加以否定，以保護(hù)學(xué)生的自尊心。教師要關(guān)注的是學(xué)生思考問題的過程，千萬不要代替學(xué)生思考，更不可以把自己的思維模式強(qiáng)加給學(xué)生，固化他們的思維。在學(xué)生不可思議的解答方法背后可能就有合乎情理的理論支撐。如果學(xué)生一直在寬容、理解、尊重個(gè)性、共同學(xué)習(xí)的環(huán)境熏陶下，作為數(shù)學(xué)課堂上的真正主人去參與學(xué)習(xí)，必然會(huì)激發(fā)他們內(nèi)心無限的潛力，數(shù)學(xué)課堂也隨時(shí)可能迸發(fā)出創(chuàng)新的火花。

(責(zé)任編輯：李雪虹)