排列組合的解題策略

張惠娟

【摘要】排列組合極具抽象性而成為“教”與“學(xué)”的難點(diǎn),本文筆者結(jié)合自己的日常教學(xué)經(jīng)驗(yàn)談了排列組合的解題策略。

【關(guān)鍵詞】排列組合 解題策略

排列組合作為高中代數(shù)課本的一個(gè)獨(dú)立分支,因?yàn)闃O具抽象性而成為“教”與“學(xué)”難點(diǎn)。有相當(dāng)一部分題目教者很難用比較清晰簡(jiǎn)潔的語言講給學(xué)生聽,有的即使教者覺得講清楚了,但是由于學(xué)生的認(rèn)知水平,思維能力在一定程度上受到限制,還不太適應(yīng)。從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)題目一知半解,甚至覺得“云里霧里”。針對(duì)這一現(xiàn)象,筆者在日常教學(xué)過程中經(jīng)過嘗試總結(jié)出一些個(gè)人的想法跟各位同行交流一下。

筆者認(rèn)為之所以學(xué)生“怕”學(xué)排列組合,主要還是因?yàn)榕帕薪M合的抽象性,那么解決問題的關(guān)鍵就是將抽象問題具體化,我們不妨將原題進(jìn)行一下轉(zhuǎn)換,讓學(xué)生走進(jìn)題目當(dāng)中,成為“演員”,成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,活躍了課堂氣氛,還充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)和主觀能動(dòng)性,能讓學(xué)生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā),逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律,從而做到以不變應(yīng)萬變。當(dāng)然,在具體的教學(xué)過程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價(jià)性,可操作性。

下面筆者將就教學(xué)過程中的兩個(gè)難點(diǎn)通過兩個(gè)特例作進(jìn)一步的說明:

1.占位子問題。例1:將編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)小球放進(jìn)編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)盒子中,要求只有兩個(gè)小球與其所在的盒子編號(hào)相同,問有多少種不同的方法?

①仔細(xì)審題。在轉(zhuǎn)換題目之前先讓學(xué)生仔細(xì)審題,從特殊字眼小球和盒子都已“編號(hào)”著手,清楚這是一個(gè)“排列問題”,然后對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目。在審題的基礎(chǔ)上,為了激發(fā)學(xué)生興趣進(jìn)入角色,我將題目轉(zhuǎn)換為:讓學(xué)號(hào)為1、2、3、4、5的學(xué)生坐到編號(hào)為1、2、3、4、5的五張凳子上(已準(zhǔn)備好放在講臺(tái)前),要求只有兩個(gè)學(xué)生與其所坐的凳子編號(hào)相同,問有多少種不同的坐法?

③解決問題。這時(shí)我在選另一名學(xué)生來安排這5位學(xué)生坐位子(學(xué)生爭(zhēng)著上臺(tái),積極性已經(jīng)得到了極大的提高),班上其他同學(xué)也都積極思考(充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位和主觀能動(dòng)性),努力地“出謀劃策”,不到兩分鐘的時(shí)間,同學(xué)們有了統(tǒng)一的看法:先選定符合題目特殊條件“兩個(gè)學(xué)生與其所坐的凳子編號(hào)相同”的兩位同學(xué),有C種方法,讓他們坐到與自己編號(hào)相同的凳子上,然后剩下的三位同學(xué)不坐編號(hào)相同的凳子有2種排法,最后根據(jù)乘法原理得到結(jié)果為2×C=20(種)。這樣原題也就得到了解決。

④學(xué)生小結(jié)。接著我讓學(xué)生之間互相討論,根據(jù)自己的分析方法對(duì)這一類問題提出一個(gè)好的解決方案。(課堂氣氛又一次活躍起來)

⑤老師總結(jié)。對(duì)于這一類占位子問題,關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件,先從特殊對(duì)象或者特殊位子入手,再考慮一般對(duì)象,從而最終解決問題。

2.分組問題。例2:從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個(gè)和2個(gè)數(shù)組成五位數(shù),問這樣的五位數(shù)有幾個(gè)?

(本題我是先讓學(xué)生計(jì)算,有很多同學(xué)得出的結(jié)論是P×P)

①仔細(xì)審題。先由學(xué)生審題,明確組成五位數(shù)是一個(gè)排列問題,但是由于這五個(gè)數(shù)來自兩個(gè)不同的組,因此是一個(gè)“分組排列問題”,然后對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目。在學(xué)生充分審題后,我讓學(xué)生自己對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換,有一位同學(xué)A將題目轉(zhuǎn)換如下:從班級(jí)的第一組(12人)和第二組(10人)中分別選3位和2位同學(xué)分別去參加蘇州市舉辦的語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)競(jìng)賽,問有多少種不同的選法?

③解決問題。接著我就讓同學(xué)A來提出選人的方案同學(xué)A說:先從第一組的12個(gè)人中選出3人參加其中的3科競(jìng)賽,有P×P種選法;再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競(jìng)賽有P×P種選法;最后由乘法原理得出結(jié)論為(P×P)×(P×P)(種)。(這時(shí)同學(xué)B表示反對(duì))

同學(xué)B說:如果第一組的3個(gè)人先選了3門科目,那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應(yīng)該是P×P .(同學(xué)們都表示同意,但是同學(xué)C說太蘩)

同學(xué)C說:可以先分別從兩組中把5個(gè)人選出來,然后將這5個(gè)人在5門學(xué)科中排列,他列出的計(jì)算式是C×C×P(種)。(再次通過互相討論,都表示贊賞)

這樣原題的解答結(jié)果就“浮現(xiàn)”出來C×C×P(種)。

④老師總結(jié)。針對(duì)這樣的“分組排列”題,我們多采用“先選后排”的方法:先將需要排列的對(duì)象選定,再對(duì)它們進(jìn)行排列。

以上是我一節(jié)課兩個(gè)例題的分析過程,旨在通過這種方法的嘗試(教學(xué)效果比較明顯),進(jìn)一步活躍課堂氣氛,更全面地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用,讓學(xué)生在互相討論的過程中學(xué)會(huì)自己分析轉(zhuǎn)換問題,解決問題。