論數(shù)學(xué)證明的教育價值

趙思林??

【摘要】數(shù)學(xué)證明是指根據(jù)某個或某些真實命題和概念去斷定另一命題的真實性的推理過程.數(shù)學(xué)證明的教育價值體現(xiàn)在：數(shù)學(xué)證明是理解數(shù)學(xué)知識特別是公式（定理）不可缺少的基本方法，是開發(fā)大腦的有效途徑，可以激發(fā)許多人的學(xué)習(xí)興趣，有利于培養(yǎng)中國國民的理性精神.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)證明；教育價值

1引言

人類認識從低級到高級的形式依次是：感覺、知覺、表象；概念、判斷、推理[1].前三種被稱為感性認識，即認識的初級階段；后三種被稱為理性認識，即認識的高級階段.依此推論，推理位于人類認識的最高層次.從數(shù)學(xué)的角度看，概念、判斷、推理是數(shù)學(xué)邏輯思維的基本形式.因此，概念、判斷、推理是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容.數(shù)學(xué)邏輯推理一般分為三類，即歸納推理（從特殊到一般的推理）、類比推理（從特殊到特殊的推理）和演繹推理（從一般到特殊的推理）.數(shù)學(xué)證明屬于演繹推理的范疇.從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，數(shù)學(xué)證明的學(xué)習(xí)難度一般是比較大的，學(xué)生在解答一些數(shù)學(xué)證明題時更是感到困難重重.如，2010年高考數(shù)學(xué)四川卷文理科（19）題第（Ⅰ）問，直接考查教材中兩角和的余弦公式的證明，全省考生完全答對的不到千分之一[2].又如，很多學(xué)生對平面幾何證明感到困難，不知為什么要證明，也不知怎樣去證明，對幾何證明中的輔助線的添加（構(gòu)造）更是感到無所是從.中國的中小學(xué)在全面實施新課改以后，由于初中數(shù)學(xué)明顯降低了對證明的要求，從而導(dǎo)致學(xué)生到高中和大學(xué)對數(shù)學(xué)證明感到畏懼甚至是恐懼，正如單墫教授所說：“最糟糕的是很多學(xué)生初中畢業(yè)竟不知道什么是數(shù)學(xué)證明.”[3]黃秦安教授在分析“初中數(shù)學(xué)新課程標準存在結(jié)構(gòu)性缺陷”時指出：“數(shù)學(xué)證明和推理是數(shù)學(xué)的靈魂之一.推理和證明的要求降低，具有顯性和潛在的不良后果.”[4]這些現(xiàn)象應(yīng)該引起大家對數(shù)學(xué)證明教學(xué)的反思和研究.

2數(shù)學(xué)證明的意義

最早的數(shù)學(xué)證明出現(xiàn)在歐幾里德的《幾何原本》.歐幾里德的《幾何原本》自誕生以來一直被公認為是演繹邏輯系統(tǒng)和公理化思想的典范，一直作為最經(jīng)典的數(shù)學(xué)教科書，在西方國家的發(fā)行量僅次于《圣經(jīng)》而排在第二位，它培育了一代又一代的思想家、哲學(xué)家、科學(xué)家、數(shù)學(xué)家等.數(shù)學(xué)證明是指根據(jù)某個或某些真實命題和概念去斷定另一命題的真實性的推理過程.數(shù)學(xué)證明是應(yīng)用已經(jīng)確定其真實性的公理、定義、定理、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)命題來論證某一命題的推理過程.數(shù)學(xué)證明的方法多種多樣.按推理的形式不同可分為演繹證法（最典型的是三段論推理）與歸納證法（主要指完全歸納法）；按是否直接證明原命題可分為直接證法與間接證法（包括反證法、同一法）；按論證的思維形式不同可分為分析法與綜合法；此外，還有數(shù)學(xué)歸納法、反駁法（說明某個命題不成立）等.數(shù)學(xué)證明的過程一般表現(xiàn)為一系列的推理.

數(shù)學(xué)證明處于數(shù)學(xué)理性思維的最高層次.如果說數(shù)學(xué)是追求理性精神的，那么數(shù)學(xué)就離不開數(shù)學(xué)證明.大家知道，古希臘數(shù)學(xué)家非常強調(diào)嚴密的邏輯推理，他們甚至在自己的門上寫著“不懂幾何者不得入內(nèi)”，但他們并不關(guān)心經(jīng)過數(shù)學(xué)邏輯推理而獲得研究成果的實用性，而是教育人們學(xué)習(xí)和掌握嚴密的邏輯推理方法，從而，激發(fā)了人們對理想的追求和美的熱愛，并創(chuàng)造了優(yōu)美的文學(xué)、深邃的哲學(xué)、豐富的幾何、精美的雕塑以及神奇的建筑.反觀中國古代的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)家們崇尚和追求數(shù)學(xué)的實用價值，其最大的缺點是缺少嚴格論證（數(shù)學(xué)證明）的思想.由于數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)方法等是建構(gòu)近代科學(xué)宏偉大廈的脊梁，而中國人又長期保持了缺乏數(shù)學(xué)理性思維的慣性.因此，必然導(dǎo)致近代自然科學(xué)不會在中國產(chǎn)生.正如楊玉良院士所說：“嚴密的邏輯推理和論證是精密科學(xué)所必不可少的，沒有演繹邏輯學(xué)就不可能誕生以牛頓力學(xué)為代表的精密的近代科學(xué).”[5]“缺乏以嚴密的邏輯推理和論證為特征的數(shù)學(xué)哲學(xué)精神，是無法催生現(xiàn)代科學(xué)的.”[5]由此易知，嚴密的邏輯推理和論證對現(xiàn)代科學(xué)的建立和發(fā)展是極其重要的.

3數(shù)學(xué)證明的教育價值

數(shù)學(xué)證明是人類文明進程中產(chǎn)生的科學(xué)、簡明的“說理”方式，同時也是數(shù)學(xué)中最為重要的一種思想方法，是數(shù)學(xué)教育獨特思維訓(xùn)練價值的具體體現(xiàn)[6].關(guān)于數(shù)學(xué)證明的教育價值，一些學(xué)者已有不少研究.王申懷教授認為，“數(shù)學(xué)證明的教育價值在于：通過證明的教與學(xué)，使學(xué)生理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識；通過證明，訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力（包括邏輯的和非邏輯的思維）以及數(shù)學(xué)交流能力；通過證明，幫助學(xué)生尋找新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生獲得的知識系統(tǒng)化；通過證明，使學(xué)生更牢固地掌握已學(xué)到的知識，并盡可能讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)新知識”[7].熊惠民等認為：“數(shù)學(xué)證明的教育價值應(yīng)該體現(xiàn)在：從文化上，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的理性精神，懂得理性地思考問題；從知識上，證明能加深對概念和定理的理解，并能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)；從思維上，證明能訓(xùn)練和培養(yǎng)邏輯和非邏輯的思維能力.”[8]G·Polya也說：“如果他沒有學(xué)會幾何證明，他就沒學(xué)到真實論據(jù)的最好和最簡單的例子，也錯過了獲得嚴格推理概念的最好機會.”[8]羅增儒教授指出：“數(shù)學(xué)證明有3個主要作用：核實、理解和發(fā)現(xiàn)”、“證明是數(shù)學(xué)的特征，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)要全面關(guān)注數(shù)學(xué)證明的3個作用.”[9]

研究者認為，數(shù)學(xué)證明的教育價值體現(xiàn)在：數(shù)學(xué)證明是理解數(shù)學(xué)知識特別是公式（定理、性質(zhì)等）不可缺少的基本方法，是開發(fā)大腦的有效途徑，可以激發(fā)許多人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于培養(yǎng)中國國民的理性精神.

3.1數(shù)學(xué)證明是理解數(shù)學(xué)知識特別是定理（公式、性質(zhì)等）不可缺少的基本方法

理解數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標.《辭海》對“理解”的定義是“了解、領(lǐng)會”，是通過解釋事物之間的聯(lián)系而認識新事物的過程.理解數(shù)學(xué)就是讓學(xué)生明白“數(shù)學(xué)對象之間的聯(lián)系是基于邏輯的聯(lián)結(jié)”，理解數(shù)學(xué)是一個認知內(nèi)化的過程.數(shù)學(xué)證明是理解數(shù)學(xué)知識特別是公式（定理、性質(zhì)等）不可缺少的基本方法.認知心理學(xué)家將知識在學(xué)習(xí)者頭腦中的呈現(xiàn)和表達方式稱為知識的表征.知識的理解與知識的表征密切相關(guān).對數(shù)學(xué)公式（定理）的理解就是對這個數(shù)學(xué)公式（定理）的正確、完整、合理的表征.當(dāng)學(xué)生對數(shù)學(xué)定理（公式）達到理性認識時才能說對這個公式（定理、性質(zhì)等）理解了，也可以說，當(dāng)學(xué)生弄懂弄清了公式（定理）的條件、結(jié)論、推論以及證明過程的每一步之后，才能說對此公式（定理）理解了.毛澤東在《實踐論》中指出：“感覺到了的東西，我們不能立刻理解它，只有理解了的東西才更深刻地感覺它.感覺只解決現(xiàn)象問題，理論才解決本質(zhì)問題.”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既需要對數(shù)學(xué)對象的感性認識，更需要對諸多數(shù)學(xué)對象（如定義、命題）之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系達到理性認識.比如，對于數(shù)學(xué)定義之間的邏輯關(guān)系，應(yīng)弄清哪個定義是上位定義，哪個定義是下位定義，哪些定義具有等價關(guān)系；對于數(shù)學(xué)命題之間的邏輯關(guān)系，應(yīng)弄清哪個結(jié)論是某個定理的推論或特例，哪些定理在邏輯上是等價的等，這些都離不開證明.數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)理論的重要組成部分，是數(shù)學(xué)嚴謹邏輯性的根本特征.學(xué)生對數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)，理所當(dāng)然應(yīng)理解數(shù)學(xué)基本公式和重要定理的證明過程，應(yīng)掌握數(shù)學(xué)證明的基本方法，如綜合法、分析法、反證法等，應(yīng)認識數(shù)學(xué)證明的必要性，體會數(shù)學(xué)證明的理性價值.但非常遺憾的是，作為“數(shù)學(xué)中最精良的武器——反證法”（阿達瑪語），在教學(xué)中形同虛設(shè)，中考是不考的，甚至據(jù)高考命題專家講高考也不敢理直氣壯的考，這可能是這輪課程改革的一大笑話和歷史悲劇.

3.2數(shù)學(xué)證明是開發(fā)大腦的有效途徑

高效的數(shù)學(xué)教學(xué)重視大腦的開發(fā).著眼于大腦的開發(fā)，可著手于適當(dāng)時機以及合適難度的演繹推理（數(shù)學(xué)證明）的訓(xùn)練.心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，演繹推理中存在的各種認知偏向足以表明人類的推理的確具有非邏輯特性的一面[10].數(shù)學(xué)證明作為演繹推理的核心內(nèi)容與基本方法，如果不通過長期的有效訓(xùn)練，“人類推理具有的非邏輯特性一面”恐怕是難以克服的.

皮亞杰關(guān)于人的智力發(fā)展階段的理論認為，人的最高級的思維形式是形式運算，所謂形式運算，就是命題運算思維.皮亞杰通過大量的實驗觀察發(fā)現(xiàn)，12至15歲的人的智力已達到“形式運算階段”的水平，這是和成人思維接近的、達到成熟的思維形式.Kwon和Lawson（2000）的一項研究發(fā)現(xiàn)，在青少年早期前額葉的成熟和科學(xué)推理能力相關(guān)，并且在15歲時表現(xiàn)出明顯的飛躍[11].Kwon等認為，這種推理能力要求青少年具有抑制與任務(wù)無關(guān)信息的能力和顯示與任務(wù)相關(guān)信息的能力[11].在青春期進行數(shù)學(xué)理性思維的教育、完善大腦與理性思維以及控制執(zhí)行功能相關(guān)的皮層區(qū)域不僅是可能的，也是必要的，這為中學(xué)階段的數(shù)學(xué)推理證明教學(xué)提供了腦科學(xué)依據(jù)[12].腦科學(xué)的研究成果表明，青少年在15歲（相當(dāng)于中國初中二、三年級學(xué)生的年齡）時前額葉的成熟接近成人，因此，15歲左右是進行邏輯推理訓(xùn)練的良好時機（也可能是最佳時機）.心理學(xué)關(guān)于演繹推理的“雙加工理論”表明，個體在完成演繹推理任務(wù)（規(guī)范三段論，條件推理）時，激活了包括左半球和右半球的廣泛腦區(qū)，涉及枕葉、顳葉、頂葉和前額葉皮層[10].可見，演繹推理的訓(xùn)練可以激活“全腦思維”.腦科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，大腦皮層具有可塑性.大腦發(fā)育與認知發(fā)展是相互影響、相互促進的[12].這些理論表明，初中學(xué)生的思維已達到命題運算（形式運算）的水平，初中二、三年級學(xué)生和高中學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握命題之間的關(guān)系、比較簡單的邏輯推理規(guī)則、數(shù)學(xué)證明方法等是有腦科學(xué)研究成果作保障的.通過演繹推理的訓(xùn)練促進學(xué)生認知的發(fā)展，學(xué)生認知的發(fā)展又促進或加快大腦的發(fā)育和成熟，大腦的發(fā)育和成熟又為學(xué)生認知的發(fā)展提供了強大的硬件基礎(chǔ).因此，初中學(xué)生處于學(xué)習(xí)和訓(xùn)練數(shù)學(xué)證明的最佳時期.農(nóng)民都知道播種季節(jié)的重要性，如果農(nóng)作物錯過了播種的黃金季節(jié)，那么無論怎么施肥補救，都難以改變減產(chǎn)甚至絕收的結(jié)果.學(xué)習(xí)和訓(xùn)練數(shù)學(xué)證明也是這個道理，錯過初中階段這一最佳學(xué)習(xí)時期，就會錯失邏輯思維訓(xùn)練良機，降低思維發(fā)展水平，并對大腦的開發(fā)不利.

3.3數(shù)學(xué)證明可以激發(fā)許多人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

數(shù)學(xué)證明可以激發(fā)許多人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.這里只是說“許多人”而不是所有人（學(xué)生）.研究者認為，不可能也不需要激發(fā)所有人（學(xué)生）對數(shù)學(xué)證明的學(xué)習(xí)興趣.關(guān)于數(shù)學(xué)證明可以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣有許多實例可以證明，下面介紹愛因斯坦、羅素、牛頓、菲爾茲獎獲得者丘成桐等對幾何證明感興趣的故事.（1）愛因斯坦對幾何證明的興趣.愛因斯坦說：“在12歲時，……當(dāng)我得到一本關(guān)于歐幾里德平面幾何的小書時所經(jīng)歷的，這本書里有許多斷言，比如，三角形的三個高交于一點，它們本身雖然不是顯而易見的，但是可以很可靠地加以證明，以至任何懷疑似乎都不可能，這種明晰性和可靠性給我造成了一種難以想象的印象……如果我能依據(jù)一些其有效性在我看來是無容置疑的命題來加以證明，那么我就完全心滿意足了……對于第一次經(jīng)驗到它的人來說，在純粹思維中竟能達到如此可靠而又純粹的程度，就象希臘人在幾何學(xué)中第一次告訴我們的那樣，是足夠令人驚訝的了.”[13]愛因斯坦在12歲就接觸和學(xué)習(xí)平面幾何了，他認為他是在感受到邏輯體系的奇跡和邏輯推理的勝利后，才獲得了為取得以后的成就所必需的信心的.（2）數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家羅素學(xué)習(xí)歐氏幾何到了入迷的程度.他說：“我在11歲的時候，開始學(xué)習(xí)歐幾里德幾何，并請我的哥哥教我、這是我一生中的大事，他使我像初戀一樣入迷.我當(dāng)時沒有想到世界上還會有這樣迷人的東西.”[14]（3）牛頓對歐氏幾何的興趣.年輕時的牛頓原本是一個厭學(xué)的學(xué)生，是從讀了《原本》之后開始了他天才的思維，兩年后他發(fā)明了微積分[15].（4）世界數(shù)學(xué)大師丘成桐教授在讀小學(xué)時，數(shù)學(xué)常?？疾缓?，對千篇一律的練習(xí)，感到枯燥乏味，直到13歲接觸到平面幾何，發(fā)現(xiàn)能用簡單的公理來推導(dǎo)漂亮復(fù)雜的定理時，情況才有所改變，他隨即嘗試自己找出有趣的命題，利用公理加以證明，沉迷當(dāng)中，其樂無窮[16].這些事例清楚地表明，愛因斯坦、羅素、牛頓、丘成桐等許多大數(shù)學(xué)家、大科學(xué)家，正是由于平面幾何中的數(shù)學(xué)證明使他們感受到了邏輯的魅力與力量，激發(fā)了他們的好奇心和求知欲，才使他們一步步走上了數(shù)學(xué)研究或科學(xué)研究之路的.需要說明的是，數(shù)學(xué)證明不是平面幾何的專利，而且也廣泛地包含在中學(xué)代數(shù)（如多項式的恒等變換等）的內(nèi)容中.

需要說明的是，數(shù)學(xué)證明由于本身具有能力要求高、學(xué)習(xí)難度大、證題費時多等問題，不少初中學(xué)生甚至連大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)生望數(shù)學(xué)證明題而生畏，這就造成數(shù)學(xué)證明因?qū)W習(xí)困難、題目難做，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的挫敗感.可見，數(shù)學(xué)證明既有激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的一面，也有抑制學(xué)習(xí)興趣的一面.這一事實是進行數(shù)學(xué)課程改革和數(shù)學(xué)教學(xué)改革必須正視的.研究者認為，數(shù)學(xué)證明的教學(xué)要求不能搞平均主義，對全體學(xué)生提出過高要求或過低要求都是不可取的.可以借用分層教學(xué)的理念，對數(shù)學(xué)證明的教學(xué)提出如下建議：讓喜歡數(shù)學(xué)證明的學(xué)生多學(xué)一些數(shù)學(xué)證明，讓不喜歡甚至討厭數(shù)學(xué)證明的學(xué)生少學(xué)一些甚至學(xué)很少一點.

3.4數(shù)學(xué)證明有利于培養(yǎng)中國國民的理性精神

中國傳統(tǒng)文化歷來有重經(jīng)驗而輕理論的特點，其直接的結(jié)果是中國國民缺乏理性精神.突出量化和恪守邏輯是數(shù)學(xué)最根本的特點.數(shù)學(xué)是理性思維的有效方式，數(shù)學(xué)是培育理性精神的沃土，理性精神是數(shù)學(xué)貢獻給人類極為寶貴的精神財富.所謂理性精神，就是用理性的思維方法去分析事物的特點、揭示現(xiàn)象的本質(zhì)、證明命題的真假、探索問題的規(guī)律，其表現(xiàn)形式是反對愚昧與迷信、反對神秘論與不可知論，不迷信權(quán)威但堅信真理，不是人云亦云而是言必有據(jù).理性精神的精髓是信奉真理、敢于批評、質(zhì)疑反思，這也恰是創(chuàng)新人才應(yīng)具備的品質(zhì).張乃達認為，理性精神的缺失是我國文化的痼疾，這對社會的發(fā)展已經(jīng)造成了巨大的傷害[14].數(shù)學(xué)理性是一種對周圍的事物客觀的、定量的看法，一種人們有理有據(jù)地推理、論證的思維，一種不迷信權(quán)威，堅持真理的精神[17].1995年，Gila Hanna認為，證明是一種透明的辯論，其中所用到的論據(jù)、論證及推理過程，都清楚地展示給讀者，任由人們公開批評.證明給學(xué)生發(fā)出了信號，他們能憑自己進行推理，不必向權(quán)威低頭.因此，證明是反權(quán)威的[18].數(shù)學(xué)計算和證明并不是一系列簡單的運算程序或邏輯程序，而是要受到運算法則和數(shù)學(xué)邏輯的嚴格控制，對就是對，錯就是錯.數(shù)學(xué)計算、演繹證明都不能靠主觀愿望的想當(dāng)然，而只能靠一步一步地推理與計算.通過數(shù)學(xué)證明的學(xué)習(xí)或訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生實事求是的科學(xué)態(tài)度、一絲不茍的嚴謹學(xué)風(fēng)、言必有據(jù)的說理方式、崇尚真理的優(yōu)秀品格、質(zhì)疑反思的良好習(xí)慣.數(shù)學(xué)科學(xué)是一門老老實實的學(xué)問，也可以說，數(shù)學(xué)證明是一門求“真”的學(xué)問，這里的“真”包括邏輯規(guī)則的“真”、證明方法的“真”、證明過程的“真”、證明結(jié)果的“真”等.數(shù)學(xué)證明過程中的一切結(jié)論都必須有理有據(jù)，數(shù)學(xué)證明必須遵守邏輯、言必有據(jù)，數(shù)學(xué)只崇尚真理而不迷信權(quán)威等，數(shù)學(xué)證明的這些特點，可以促使學(xué)生養(yǎng)成誠實正直、思維嚴謹、敢于批判的優(yōu)良作風(fēng).因此，從中國的傳統(tǒng)文化特點和國情來看，適當(dāng)加強數(shù)學(xué)證明的教育有利于培養(yǎng)中國國民的理性精神.

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