一道課本習(xí)題的推廣

【摘要】提高學(xué)生自學(xué)能力的學(xué)法指導(dǎo)的研究和實踐已是基礎(chǔ)教育改革的一個熱門課題。這一課題的提出和研究，不僅對當(dāng)前提高基礎(chǔ)教育質(zhì)量、實施素質(zhì)教育具有現(xiàn)實意義，而且對培養(yǎng)未來社會發(fā)展所需要的人才、促進(jìn)科教興國具有歷史意義。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué);學(xué)法指導(dǎo);素質(zhì)提高

Secondary school mathematics learning and instruction

Gu Shitao

【Abstract】Student self-learning ability to improve the Learning Methods of research and practice is the foundation of education reform has been a hot topic. Raised the subject and research， not only on the current quality of basic education to improve the implementation of quality education with practical significance， but also to foster the development of future talent needs， and promote the historic country through science and education.

【Key words】Secondary School Mathematics; Learning Methods; quality

華東師大版初中數(shù)學(xué)八年級(上)第107頁練習(xí)第一題如下:

在下列圖形中，有多少個正方形?有多少個矩形?

解:可將圖(1)看作2×2階網(wǎng)格，每個小正方形的邊長假設(shè)為1，圖(1)中邊長為1的正方形有2×2個，邊長為2的正方形有1個;共有正方形22+12=5個

將圖(2)看作3×3階網(wǎng)格，邊長為1的正方形有3×3=32個，邊長為2的正方形有(3-1)#8226;(3-1)=22個，邊長為3的正方形有1個，共有正方形32+22+12=14個。

圖(1)中矩形，我們將水平方向的邊看作“長”，豎直方向的邊看“寬”，則圖(1)中的矩形有以下四種情況，a.長1寬1，b.長1寬2，c.長2寬1，d.長2寬2，將a、b、c、d分別記作x11、x12、x21、x22，則x11=4、x12=2、x21=2、x22=1，共有矩形4+2+2+1=(2+1)2=9個

圖(2)中矩形我們仿照圖(1)的解法，有以下幾種情形:x11=9、x12=6、x13=3、x21=6、x22=4、x23=2、x31=3、x32=2、x33=1

矩形共有9+6+3+6+4+2+3+2+1=(3+2+1)2=36個

推廣1:n×n階網(wǎng)格中，正方形的個數(shù)為

12+22+32+……+n2=n(n+1)(2n+1)6

矩形的個數(shù)為(1+2+3+……+n)2=n2(n+1)24

證明:在n×n階網(wǎng)格中，記邊長為1的正方形為x11，邊長為2的正方形為x22……邊長為n的正方形為xnn。

則x11=n2 x22=(n-1)2……xnn=12

∴正方形的個數(shù)為12+22+……+n2=n(n+1)(2n+1)6

在n×n階網(wǎng)格中，矩形有以下情形:x11、x12……x1n;x21、x22……x2n;……xn1，xn2……xnn。它們分別為x11=n2，x12=n (n-1)，x1n=n#8226;1;x21=(n-1)#8226;n，x22=(n-1)#8226;(n-1)，x2n=(n-1)#8226;1;xn1=1#8226;n，xn2=1#8226;(n-1)，xnn=1#8226;1

矩形的個數(shù)共有

∑ni=1，k=1xik=[n2+n(n-1)+……+n#8226;1]+[(n-1)#8226;

n+(n-1)(n-1)+……+(n-1)#8226;1]+……

+[1#8226;n+1#8226;(n-1)+……+1#8226;1]

=n[n+(n-1)+……+2+1]+(n-1)

[n+(n-1)+……+2+1]+……

+1#8226;[n+(n-1)+……+2+1]

=[n+(n-1)+……+2+1]2

=n2(n2+1)4



推廣2:n×m階網(wǎng)格中，正方形的個數(shù)為

n#8226;m+(n-1)(m-1)+……+(n-m+1)#8226;1

=m(m+1)(3n-m+1)6

n×m階網(wǎng)格中，矩形的個數(shù)為

(1+2+3+……+n)(1+2+3+……+m)

=nm(n+1)(m+1)4

證明:不妨設(shè)水平方向上每行有n個方格，豎直方向上每列有m個方格，記邊長為1的正方形為x11，邊長為2的正方形為x22，邊長為m的正方形為xmm

則正方形的個數(shù)共有



∑mi=1xii=x11+x22+……+xmm=n#8226;m+(n-1)(m-1)

+……+(n-m+1)(m-m+1)

=n#8226;m+nm-n-m+1+……n#8226;m- n(m-1)-m(m-1)+(m-1)2

=nm2-n(1+2+……+m-1)-m(1+2+……

+m-1)+12+22+……(m-1)2

=nm2-nm#8226;(m-1)2-mm#8226;(m-1)2

+(m-1)#8226;(m-1+1)[2(m-1)+1]6

=nm2-nm2-nm2-m3-m22+2m3-2m2-m2+m6

= 6nm2-3nm2+3nm-3m3+3m2+2m3-2m2-m2+m6

=3nm2+3nm-m3+m6=m(m+1)(3n-3+1)6 

在n×m階網(wǎng)格中，矩形有以下情形:x11、x12……x1m;x31、x32……x3m;……xn1，xn1……xnm。它們的個數(shù)分別為:

nm，n(m-1)……n(m-m+1);

(n-1)m，(n-1)(m-1)……(n-1)(m-m+1);

(n-2)m+(n-2)(m-1)……(n-2)(m-m+1);

……(n-n+1)#8226;m，

(n-n+1)#8226;(m-1)……(n-n+1)#8226;(m-m+1)。

∴矩形的個數(shù)共有

∑mi=1x1i+∑mi=1x2i+……+∑mi=1xni+ 

=[nm+n(m-1)+……+n(m-m+1)]+

[(n-1)#8226;m+(n-1)(m-1)+……+(n-1)

(m-m+1)]+……+[(n-n+1)#8226;m+

(n-n+1)(m-1)+……+(n-n+1)(m-m+1)]

=n[m+(m-1)+……+(m-m+1)]+(n-1)[m+(m-1)

+……+(m-m+1)]+……+(n-n+1)

(m+m-1+……+m-m+1)

=(m+m-1+……+2+1)(n+n-1+……+2+1)

=m(m+1)2#8226;n(n+1)2

=mn(m+1)(n+1)4

收稿日期:2009-11-05