從一題多解與多變中培養(yǎng)學(xué)生的解題能力
2009-01-01 00:00:00石海珍
新華教育研究 2009年1期
貴州銅仁市六中 （554300）
【摘要】本文論述了利用一題多解與多變培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，以例題闡明加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系，重視知識(shí)延伸拓展，讓學(xué)生從中歸納、類比、總結(jié)以提高解題能力。
【關(guān)鍵詞】一題多解與多變；培養(yǎng)學(xué)生；解題能力
1.一題多解，加強(qiáng)知識(shí)縱橫聯(lián)系下面這道題是初二幾何第三章常遇到的題目如圖1，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)。
證明：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C
解法一：利用三角形內(nèi)角和定理及周角的定義
如圖2，連接CD，△CBD和△CAD中
∠BCD+∠CBD=180°-∠CDB
∠ACB+∠CAD=180°-∠CDA
∠BCD+∠CBD+∠ACD+∠CAD=360°-∠CDB-∠CDA=∠DBA
∴∠BCA+CBD+DAC=DBA
解法二：利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系
如圖3，連接CD，并延長(zhǎng)CD與BA交于E
∵∠BDE=∠BCD+CBD
∠ADE=∠ACD+∠CAD
∴∠BDE+∠ADE=∠BCD+∠ACD+∠CBD+∠CAD
即∠BCA+∠CBD+DAC=∠BDA
解法三：利用平行線性質(zhì)
如圖4，過D作AC的平行線EF交BC于E，BA于F
∵EF//AC
∴∠C=∠FEB，∠CAD=∠ADF
在△EDB中∠FDB=∠FEB+∠EBD
∵∠BDA=BDF+∠FDA=∠CBD+∠DAC+∠C
此題還有其它類似證法，請(qǐng)學(xué)者完成。
本題從不同的側(cè)面去分析，熟練地應(yīng)用各種不同的數(shù)學(xué)知識(shí)及聯(lián)系紗，理清思路，找到多種解法，培養(yǎng)了分析問題，解決問題的能力。
2.一題多變，重視知識(shí)延伸拓展仍以上題為例，在△ABC內(nèi)，限定D點(diǎn)的位置，可以變化出下面的題目：
1、如圖5，已知AE、BF是△ABC的兩條高，AE、BF交于D，∠C=70°求∠ADB的度數(shù)。
解：∵BF⊥AC，AE⊥BC，∠C=70°
∴∠CAE=20°，∠CBF=20°
∵∠ADB=70°+20°+20°=110°（當(dāng)然在學(xué)習(xí)了四邊形內(nèi)角和后可直接得出答案）
2、如圖6，已知AE、BF是△ABC的兩條角平分線，AE、BF交于D，∠C=70°，求∠ADB的度數(shù)。
解：∵∠C=70°
∴∠CAB+CBA=180°-70°=110°
∵AE、BF是角平分線
∴ （∠CAB+CBA）=∠CAE+∠CBF
∠CAE+∠CBF=55°
∵∠ADB=70°+55°=125°
3、已知：如圖7，在△ABC中，D是CB、AC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，求證：∠ADB=2∠C
證明：連接CD
∵D是CB、AC兩邊垂直平分線交點(diǎn)
∴DA=BD=DC
∴∠CAD+∠DCA ∠CBD=∠DCB
∴∠ADB=∠C+∠CBD+∠CAD
=∠C+（∠DCB+∠DCA）
=2∠C
從上面的論證過程中可以發(fā)現(xiàn)只要D在△ABC同，均有
∠ADB＞∠C。
對(duì)于同一個(gè)題目，或從特殊情況考慮，或從一般情形推廣，變化出相近或相關(guān)的一類題，讓學(xué)生在歸納、類比、總結(jié)中提高解題能力。
