函數(shù)定義域在解題中的重要作用

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，函數(shù)的定義域看似非常簡單，然而在解決問題中不加注意，常常會使人誤入歧途，導(dǎo)致錯誤。在解函數(shù)題中強調(diào)定義域?qū)忸}的作用與影響，對提高學(xué)生解決函數(shù)問題的能力，逐漸形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)十分有益。

一、函數(shù)解析式與定義域

函數(shù)解析式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的解析式時必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)解析式可能是錯誤的。如:

例1:某單位計劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100 m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)解析式。

解:設(shè)矩形的長為x米，則寬為(50-x)米，由題意得

S=(50-x)

故函數(shù)解析式為S=x(50-x)。

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還不夠完整，缺少自變量的取值范圍。也就是說，學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因為當(dāng)自變量取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實際問題不符，所以還應(yīng)補上自變量的取值范圍0

這個例子說明，在用函數(shù)方法解決實際問題時，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響。若沒有考慮這一點，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性;若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好的嚴(yán)密性。

二、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此，在求函數(shù)值域時，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如:

例2:求函數(shù)y=4x-5+ 的值域。

錯解:令t= ，則2x=t2+3。

∴y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=2(t+ )2+ ≥ ，

故所求的函數(shù)值域是[ ，+∞)。

剖析:經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù)y=2t2+t+1在[0，+∞)上是增函數(shù)，

所以當(dāng)t=0時，ymin=1.

故所求的函數(shù)值域是[1， +∞)。

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤的產(chǎn)生。也就是說，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細(xì)地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。

三、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如:

例3:指出函數(shù)f(x)=log2(x2+2x)的單調(diào)區(qū)間。

解:先求定義域:

∵x2+2x>0，∴x>0或x<-2。

∴ 函數(shù)定義域為(-∞，-2) (0，+∞)。

令u=x2+2x，知在x∈(-∞，-2)上時，u為減函數(shù);在x∈(0，+∞)上時， u為增函數(shù)。

又∵f(x)=log2u在[0，+∞)上是增函數(shù)，

∴函數(shù)f(x)=log2(x2+2x)在(-∞，-2)上是減函數(shù)，在(0，+∞)上是增函數(shù)。

即函數(shù)f(x)=log2(x2+2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞，-2)。

如果在做題時，沒有在定義域的兩個區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說明學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的概念理解不準(zhǔn)確，只會對題型，套公式，而不去領(lǐng)會解題方法的實質(zhì)，也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性。

四、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱，如果定義域區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)原點不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如:

例4:判斷函數(shù)y=x3，x∈[-1，3]的奇偶性。

解:∵2∈[-1，3]，而-2[-1，3]，

∴ 定義域區(qū)間[-1，3]關(guān)于坐標(biāo)原點不對稱，

∴ 函數(shù)y=x3，x∈[-1，3]是非奇非偶函數(shù)。

如果學(xué)生如以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學(xué)生解題思維的敏捷性;

如果學(xué)生不注意函數(shù)的定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯誤結(jié)論:

∵ f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，

∴ 函數(shù)y=x3，x∈[-1，3]是奇函數(shù)。

錯誤剖析:因為以上做法是在沒有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成的，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯誤的原因。

因此，在求解函數(shù)關(guān)系式、值域、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能做到首先探求函數(shù)的定義域?qū)忸}結(jié)果有無影響，就能使學(xué)生提高解決函數(shù)問題的綜合能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的良好解題習(xí)慣和思維品質(zhì)。