特征值與特征向量的若干性質(zhì)及其幾例應(yīng)用

摘要本文介紹了特征值與特征向量的相關(guān)內(nèi)容和性質(zhì)，以及它們在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用計(jì)算和分三部分探討有關(guān)矩陣的特征值與特征向量的問題，分別是引言，特征值與特征向量的常用性質(zhì)，接著通過例題詳加討論。

關(guān)鍵詞特征值特征向量方陣

中圖分類號(hào):G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

1 引言

工程技術(shù)中的一些問題，如振動(dòng)問題和穩(wěn)定性問題，?？蓺w結(jié)為求一個(gè)方陣的特征值和特征向量的問題，數(shù)學(xué)中諸如方陣的對(duì)角化及解微分方程組的問題，也都要用到特征值的理論。故其應(yīng)用之廣泛可見一斑，以下即是其幾點(diǎn)常見的特征值和特征向量的應(yīng)用問題。

2 矩陣特征值、特征向量的常用性質(zhì)

2.1相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值、相同的跡和相同的行列式。

2.2如果€%d是矩陣 A 的一個(gè)特征值，是一個(gè)多項(xiàng)式，那么是矩陣多項(xiàng)式的一個(gè)特征值。

2.3如果A 是一個(gè)可逆陣，€%d是 A 的一個(gè)特征值，那么，1/€%d是A-1 的一個(gè)特征值。

2.4屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。

2.5對(duì)矩陣A 的每個(gè)特征值，它的幾何重?cái)?shù)一定不超過代數(shù)重?cái)?shù)。

2.6如果A 是一個(gè)對(duì)稱矩陣，那么它的每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)相等，從而它有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，他一定可以對(duì)角化。

3 應(yīng)用舉例

3.1 特征值與特征向量

例1 求矩陣的特征值，特征向量。解:|€%d|==(-3)(-2).即，對(duì)應(yīng)特征向量為，.即，對(duì)應(yīng)特征向量為，.例2對(duì)階矩陣、，試證與必有相同的特征值。解證一 若的特征值，則det，從而必det，所以亦是的特征值。若是的任一非零特征值，則必有特征向量，使。兩邊同乘，有，因(若則矛盾)，故上式表明是的特征值而對(duì)應(yīng)的特征向量是，證畢。

證二對(duì)2階矩陣作分塊初等變換，有故即det()=det

因與有相同的特征方程，故特征值全同。證畢。

3.2 矩陣相似性之判定

例2求矩陣的特征值和特征向量，并討論其是否可相似對(duì)角化。

解

∴ J有特征值，

故可得的基礎(chǔ)解系為及. 即對(duì)應(yīng)的特征向量為，，由此可知可相似對(duì)角化，事實(shí)上是對(duì)稱矩陣。

3.3 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形問題

例3求矩陣 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形:.

解先求-的初等因子:

因此，的初等因子是，()2，故的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是

3.4 二次型的正定性問題

例4判別二次型是否為正定二次型。

解:二次型的矩陣為，

從而可知是正定二次型。

例5設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣，且，問是否為正定矩陣。

解:設(shè)為的特征值，則滿足方程。

即。從而此方程的實(shí)根僅有

又實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù)，所以的特征值均為1，所以是正定矩陣。