一類基于商業(yè)運(yùn)作問題的最優(yōu)化模型

[摘要] 通過建立數(shù)學(xué)模型研究商場(chǎng)現(xiàn)象、進(jìn)行商業(yè)決策是現(xiàn)代市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的常用手段。本文研究了一類商業(yè)運(yùn)作問題，建立了最優(yōu)化模型。對(duì)模型進(jìn)行的靈敏性分析表明，該模型具有良好的適用性，可以作為決策的依據(jù)。同時(shí)，建模方法具有推廣借鑒價(jià)值。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)模型 非線性最優(yōu)化 線性規(guī)劃 靈敏性分析

利用數(shù)學(xué)模型研究商場(chǎng)現(xiàn)象、進(jìn)行商業(yè)決策是現(xiàn)代市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的常用手段。本文旨在研究一類商業(yè)運(yùn)作問題，建立了非線性最優(yōu)化模型。該問題表現(xiàn)出錯(cuò)綜復(fù)雜的商業(yè)利益關(guān)系，其原始提法可以參見，現(xiàn)將其整理重述如下:

某家地方日?qǐng)?bào)最近被一家大型媒體集團(tuán)收購(gòu)。報(bào)紙現(xiàn)在的零售價(jià)是1.5美元每周，發(fā)行量為80000份。報(bào)紙的廣告價(jià)格是250美元每頁(yè)，現(xiàn)在售出350頁(yè)每周(即50頁(yè)每天）。新的管理方正在尋求提高利潤(rùn)的方法。據(jù)估計(jì)，報(bào)紙的訂閱價(jià)格提高10美分每周，會(huì)導(dǎo)致訂戶數(shù)下降5000。報(bào)紙廣告價(jià)格提高100美元每頁(yè)，會(huì)導(dǎo)致每周約50頁(yè)廣告的損失。廣告的損失又會(huì)影響發(fā)行量，因?yàn)槿藗冑I報(bào)紙的一個(gè)原因就是為了看廣告。據(jù)估計(jì)，每周損失50頁(yè)廣告會(huì)使發(fā)行量減少1000份。如何確定報(bào)紙價(jià)格和廣告價(jià)格以使利潤(rùn)最大？

現(xiàn)在，在報(bào)紙上登廣告的廣告商可以直接將廣告郵寄給他的客戶。直接郵寄的花費(fèi)相當(dāng)于500美元每頁(yè)的報(bào)紙的廣告費(fèi)用。這一情況會(huì)對(duì)上面所制定的價(jià)格策略產(chǎn)生怎樣的影響？于是，報(bào)紙管理方?jīng)Q定廣告價(jià)位的提高不超出400美元每頁(yè)的價(jià)格。此時(shí)，如何確定報(bào)紙價(jià)格和廣告價(jià)格以使利潤(rùn)最大？

對(duì)上述報(bào)紙問題考慮經(jīng)營(yíng)開支?，F(xiàn)在每周的經(jīng)營(yíng)開支包括為:80000美元付給編輯部門(新聞、特寫、編輯），30000美元付給銷售部門(廣告），30000美元付給發(fā)行部門，60000美元為固定消耗(抵押、公用事業(yè)股票、運(yùn)轉(zhuǎn)經(jīng)營(yíng))。新的管理方正在考慮削減編輯部門的開支。據(jù)估計(jì)，報(bào)紙?jiān)谧畹?0000美元的編輯預(yù)算的條件下可以維持經(jīng)營(yíng)。減少編輯預(yù)算可以節(jié)約經(jīng)費(fèi)，但會(huì)影響報(bào)紙的質(zhì)量。根據(jù)在其他市場(chǎng)的經(jīng)驗(yàn)，每減少10%的編輯預(yù)算，會(huì)損失2%的訂戶和1%的廣告費(fèi)。管理方也在考慮提高銷售的預(yù)算。最近，在一個(gè)類似的市場(chǎng)上另一家報(bào)紙的管理者將其廣告銷售預(yù)算提高了20%，結(jié)果多獲得了15%的廣告費(fèi)。銷售預(yù)算可以提高到最多50000美元每周，但總的經(jīng)營(yíng)開支不能超過現(xiàn)在的200000美元每周的水平。假設(shè)依然保持報(bào)紙價(jià)格為1.5美元每周，廣告價(jià)格為250美元每頁(yè)。如何確定編輯預(yù)算和銷售預(yù)算以使利潤(rùn)最大？對(duì)每一約束的影子價(jià)格解釋其實(shí)際涵義。再進(jìn)一步地，假設(shè)編輯預(yù)算的削減在市場(chǎng)上產(chǎn)生了相當(dāng)強(qiáng)烈的負(fù)面作用，減少10%的編輯預(yù)算導(dǎo)致報(bào)紙損失q倍的廣告和2q倍的訂戶。確定最小的q值使得如果不減少編輯預(yù)算，報(bào)紙的盈利情況反而要好些。

上述敘述基本上模擬了實(shí)際商業(yè)問題，各方經(jīng)濟(jì)利益交織在一起。我們通過建立一個(gè)非線性最優(yōu)化模型將這一問題給出圓滿的解答。為此，以周為單位，先設(shè)出如下變量：p表示報(bào)紙價(jià)格（美元每份），a表示廣告價(jià)格(美元每頁(yè)），s表示廣告銷售量(頁(yè)），c表示報(bào)紙發(fā)行量(份），R表示每周的總收益(美元）。顯然，s=350+50(250-a)/100，c=80000+5000(1.5-p)/0.1+1000(s-350)/50，R=pc+as，這里p≥0，a≥0。我們問題轉(zhuǎn)化為，求報(bào)紙價(jià)格p和廣告價(jià)格a，以使每周的總收益R最大。這是一個(gè)多變量最優(yōu)化問題。為此，令x=p，y=a和z=R，于是，問題的優(yōu)化模型可以表示成:

maxz=x(80000+5000(1.5-x)/0.1+1000(50(250-y)/100)/50)+y(350+50(250-y)/100)，

s.t.x≥0，y≥0。

可以通過Maple解決上述問題。問題的解是，x=1.53，y=459.71和z=229592.1。這意味著，模型建議維持報(bào)紙每周的價(jià)格1.5美元不變，但提高廣告費(fèi)用到450美元每頁(yè)，在此前提下，每周的總收益大約為229600美元。

下面我們進(jìn)行靈敏性分析。由假設(shè)，當(dāng)報(bào)紙的訂閱價(jià)格提高10美分每周時(shí)，導(dǎo)致訂戶數(shù)下降5000。通過計(jì)算，可以得到靈敏度為S(x，n)=-0.51，S(y，n)=+0.017和S(z，n)=-0.01，其中n表示下降的報(bào)紙訂戶數(shù)5000。這一結(jié)果表明，對(duì)于訂量而言，報(bào)紙的最優(yōu)價(jià)格是敏感的。當(dāng)報(bào)紙廣告價(jià)格提高100美元每頁(yè)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致每周約50頁(yè)廣告的損失。類似的計(jì)算，可以得到靈敏度為S(x，m)=+0.01，S(y，m)=-0.76和S(z，m)=-0.22，其中m表示損失的廣告頁(yè)數(shù)50。這一結(jié)果表明，對(duì)于廣告頁(yè)數(shù)而言，報(bào)紙的最優(yōu)廣告價(jià)格和最大收益是敏感的，但是，報(bào)紙的最優(yōu)價(jià)格并非如此。如果廣告價(jià)格增加10%，總收益就會(huì)下降2.2%。

為了防止廣告銷量從直接投遞廣告的競(jìng)爭(zhēng)中受到損失，有理由建議廣告的最優(yōu)定價(jià)應(yīng)低于450美元每頁(yè)，盡管看上去450美元每頁(yè)依然低于直接投遞廣告的相當(dāng)花費(fèi)500美元每頁(yè)，但要知道原來的價(jià)格是250美元每頁(yè)，提價(jià)過高并不利于吸引廣告商，更何況尚無法鑒別報(bào)紙廣告與直接投遞廣告兩種形式那種更有效。下面就將討論廣告價(jià)格提高到不超過400美元每頁(yè)的情況下所面臨的形勢(shì)。

依然采用剛才所設(shè)變量，目標(biāo)函數(shù)也不變，但這里廣告價(jià)格a≤400美元每頁(yè)。這將是一個(gè)有約束的最優(yōu)化問題，在此所采用的數(shù)學(xué)工具是Lagrange乘子法。優(yōu)化模型可以表示成:

maxz=x(80000+5000(1.5-x)/0.+1000(50(250-y/)100)/50)+y(350+50(250-y)/100)，

s.t.s≥0，0≤y≤400。

從上一問題的研究，可以看到最優(yōu)解并不在可行域內(nèi)。我們要逐一考察邊界上的情況。首先，考察邊界線g(x，y)=y=400。g的梯度是(0，1)，利用Maple進(jìn)行計(jì)算，可得在該邊界上收益的最優(yōu)點(diǎn)是:x=1.54，y=400和最大收益是z=227811，此時(shí)，Lagrange乘子λ=59.65。同樣地，在邊界g(x，y)=y=0上，我們得到最優(yōu)點(diǎn)是:x=1.575，y=0和最大收益z=124031；在邊界g(x，y)=x=0上，我們得到最優(yōu)點(diǎn)是:x=0，y=475和最大收益z=112813。因?yàn)楫?dāng)x充分大時(shí)，z<0，所以全局最優(yōu)點(diǎn)在x=1.54，y=400取得，且最大收益是z=227811。我們希望廣告收入不大于400美元每頁(yè)，模型建議廣告價(jià)格設(shè)定在400美元每頁(yè)，而報(bào)紙價(jià)格每份大約增加5美分。此時(shí)，每周總的收益約為227800美元。這僅僅比上一問題的計(jì)劃預(yù)期收益229600美元少2200美元，而且這一價(jià)格策略將保護(hù)潛在廣告客戶的損失。

下面再進(jìn)行本模型的靈敏性分析。由假設(shè)，當(dāng)報(bào)紙的訂閱價(jià)格提高10美分每周時(shí)，導(dǎo)致訂戶數(shù)下降5000。通過計(jì)算，可以得到靈敏度為S(x，n)=-0.51和S(y，n)=0，其中n表示下降的報(bào)紙訂戶數(shù)5000。這一結(jié)果表明，對(duì)于訂量而言，報(bào)紙的最優(yōu)價(jià)格依然是敏感的。當(dāng)報(bào)紙廣告價(jià)格提高100美元每頁(yè)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致每周約50頁(yè)廣告的損失。可以通過類似的計(jì)算，可以得到靈敏度為S(x，m)=-0.01和S(y，m)=0，其中m表示損失的廣告頁(yè)數(shù)50。這一結(jié)果表明，對(duì)于廣告頁(yè)數(shù)而言，當(dāng)廣告價(jià)格增加時(shí)，決策變量不是敏感的。直覺告訴我們，這是由于我們將廣告價(jià)格保持在400美元每頁(yè)以內(nèi)的結(jié)果。

下面討論Lagrange乘子λ=59.65的涵義。它是每周總收益關(guān)于廣告價(jià)格a的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)前的a=400美元每頁(yè)。例如，如果廣告價(jià)格在這一基礎(chǔ)上每頁(yè)提高10美元，那么總收益每周將增加596.5美元。另一方面，由于直接投遞廣告競(jìng)爭(zhēng)的存在，可以粗略地認(rèn)為，直接投遞廣告價(jià)格每1美元的下調(diào)，報(bào)紙將為此花費(fèi)60美元。

針對(duì)報(bào)紙經(jīng)營(yíng)開支的管理，我們假設(shè)如下變量：s代表廣告銷售量(頁(yè)），c代表報(bào)紙發(fā)行量(份)，E代表每周的編輯部門開支(美元），B代表每周的銷售預(yù)算(美元），R代表每周的總收益(美元），C代表每周的支出成本(美元），P代表每周的利潤(rùn)。由假設(shè)，可以由如下關(guān)系式：

s=350+(0.01×350)(E-80000)/8000+(0.15×350)(B-30 000)/6000，c=80000+(0.02×80000)(E-80 000)/8000，R=1.5c+250s，C=E+B+90000，P=R-C，

其中40000≤E≤80000，30000≤B≤50000，C≤200000。我們的目標(biāo)是使P最大。這是一個(gè)多變量?jī)?yōu)化問題，依然采用Lagrange乘子法進(jìn)行研究。令x=E，y=B和z=P，于是，模型可以表示為:

maxz=1.5(80000+(0.02×80000)(x-80000)/8000)+250(350+(0.01×350)(x-80000)/8000+(0.15×350)(y-30000)/6000)-(x+y+90000)

s.t.40000≤x≤80000，30000≤y≤50000，x+y≤110000。

這里目標(biāo)函數(shù)是線性的，而且z的梯度不為0。因此，不存在內(nèi)部極值點(diǎn)。模型的約束條件也是線性的，于是，沿著可行域邊界線上不存在極值點(diǎn)。因此，最大值點(diǎn)只可能在角點(diǎn)處取得。我們檢驗(yàn)每一角點(diǎn)出的函數(shù)值，通過比較，可知最大值在(x，y)=(40000，50000)處取得，最大值為z=54875。這一結(jié)果表明，模型建議將編輯部門開支縮減到40000美元每周，增加廣告預(yù)算至50000美元每周。這一決策將由現(xiàn)在周利潤(rùn)水平7500美元(即編輯部門開支為80000美元，廣告預(yù)算30000美元時(shí))大幅度提高為55000美元。

約束條件g1(x，y)=x=40000和g2(x，y)=y=50000是關(guān)鍵約束。它們的梯度向量分別是(1，0)和(0，1)，相應(yīng)的Lagrange乘子方程是(dz/dx，dz/dy)=λ1(1，0)+λ2(0，1)。在最優(yōu)點(diǎn)，我們有λ1=-0.59，λ2=1.1875。在其他等式都成立時(shí)，每當(dāng)廣告預(yù)算由50000增加到50001時(shí)，公司將凈盈利約1.19美元。在其他等式都成立時(shí)，每當(dāng)編輯部門支出由40000增加到40001時(shí)，公司將為此多支出約59美分?？偟膩碚f，如果廣告預(yù)算增加1美元而編輯部門支出下降1美元，公司凈收益將增加約1.19+0.59=1.78美元。廣告預(yù)算的下界、編輯預(yù)算的上界和總預(yù)算的上界并不是關(guān)鍵約束。它們聯(lián)合的影子價(jià)格是0。需要指出，決策變量的微小變動(dòng)并不影響凈收益。

模型解的可行域是被半平面x+y≤110000分割下的長(zhǎng)方形:40000≤x≤80000，30000≤y≤50000。最優(yōu)點(diǎn)是約束條件g1(x，y)=x=40000和g2(x，y)=y=50000的交點(diǎn)。兩個(gè)關(guān)鍵約束條件的影子價(jià)格非零。

通過計(jì)算可知，如果q<0.024或2.4%，那么削減編輯部門的預(yù)算至每周40000美元的水平是最佳的。如果q>0.024，那么就應(yīng)削減編輯部門的預(yù)算至每周60000美元的水平。當(dāng)前編輯部門的預(yù)算水平維持在80000美元并不利于公司成長(zhǎng)。從幾何上看，最優(yōu)點(diǎn)在水平集z=c與可行域相交處。對(duì)于q<0.024，水平集曲線帶有正斜率，對(duì)于q>0.024，水平集曲線帶有負(fù)斜率。當(dāng)c>0遞增并向上移動(dòng)時(shí)，僅可能在可行域的最上面的角點(diǎn)處取得最大值。

綜上所述，我們建立了一類基于市場(chǎng)運(yùn)作的最優(yōu)化模型。它揭示了復(fù)雜的利益關(guān)系，給出了有效的決策方案。模型所使用的數(shù)學(xué)工具涉及非線性規(guī)劃和線性規(guī)劃。對(duì)于企業(yè)管理人員而言，總是試圖通過對(duì)一些因素的控制使收益達(dá)到最大，或在達(dá)到某一預(yù)期目標(biāo)的前提下使成本最低。這一應(yīng)用可以建立一類共同的數(shù)學(xué)模型：有一個(gè)或多個(gè)可以控制的變量，它們通常受一些實(shí)際情況的限制，通過對(duì)這些變量的控制，從而使某個(gè)目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。本文所建立的最優(yōu)模型具有借鑒意義，可以通過模型的建立思想處理其他問題。

參考文獻(xiàn):

[1]Mark M Meerschaert. Mathematical Modeling [M]. San Diego: Academic Press， 2007

[2]R Fletcher. Practical methods of optimization， second edition [M]. Chichester: John Wiley Sons， 1987