二元一次方程應(yīng)用新走向

一、表格信息題

例1（湖北省恩施自治州）團(tuán)體購買公園門票票價如下：

今有甲、乙兩個旅行團(tuán)，已知甲團(tuán)人數(shù)少于50人，乙團(tuán)人數(shù)不超過100人.若分別購票，兩團(tuán)共計應(yīng)付門票費1392元，若合在一起作為一個團(tuán)體購票，總計應(yīng)付門票費1080元．求甲、乙兩旅行團(tuán)各有多少人？

解析：設(shè)甲、乙兩旅行團(tuán)分別有x人、y人，甲乙兩團(tuán)人數(shù)之和超過100人.若y＜50，則x+y＜100，（x+y）×13＜100×13＜1300＜1392，所以乙團(tuán)的人數(shù)不少于50人，不超過100人，所以13x+11y=1392，9（x+y）=1080.解得：x=36，y=84.所以甲、乙兩旅行團(tuán)分別有36人、84人.

說明：本題必須要對乙團(tuán)的人數(shù)進(jìn)行討論，即乙團(tuán)的人數(shù)是否超過50人.這種人數(shù)不同價格也不同的情形，在日常生活中是一種普遍的現(xiàn)象，解決問題一定要分類進(jìn)行討論.

二、判斷說理題

例2（江西省南昌市)2008年北京奧運會比賽的門票開始接受公眾預(yù)訂．下表為北京奧運會官方票務(wù)網(wǎng)站公布的幾種球類比賽的門票價格，球迷小李用8000元作為預(yù)訂下表中比賽項目門票的資金．

（1）若全部資金用來預(yù)訂男籃門票和乒乓球門票共10張，問男籃門票和乒乓球門票各訂多少張？

（2）小李想用全部資金預(yù)訂男籃、足球和乒乓球三種門票共10張，他的想法能實現(xiàn)嗎？請說明理由．

解析：（1）設(shè)訂男籃門票x張，乒乓球門票y張．由題意，得1000x+500y=8000，x＋y=10.

解得x=6，y＝４.

答：小李可以訂男籃門票6張，乒乓球門票4張．

（2）能，理由如下：設(shè)小李訂男籃門票x張，足球門票y張，則乒乓球門票為（１０－x－y）張．由題意，得1000x＋８００y＋５００（１０－x－y）＝８０００．整理得5x+3y=30，y

=．因為x，y均為正整數(shù)，所以當(dāng)x=3時，y=5，所以10-x-y=2．因為小李可以預(yù)訂男籃門票3張，足球門票5張和乒乓球門票2張，所以小李的想法能實現(xiàn).

說明：本題以2008年北京奧運會為背景進(jìn)行命題，旨在提醒我們要多關(guān)注社會熱點問題.第2問是通過列二元一次方程，求出它的正整數(shù)解.因為一般情形下二元一次方程的解有無數(shù)個，所以要注意未知數(shù)隱含的條件，即未知數(shù)的取值范圍，如本題中因為票數(shù)為正整數(shù)，所以要求未知數(shù)必須為正整數(shù).

三、數(shù)形結(jié)合題

例3（2007年重慶市）小王購買了一套經(jīng)濟(jì)適用房，他準(zhǔn)備將地面鋪上地磚，地面結(jié)構(gòu)如圖所示．根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)（單位：m），解答下列問題：

（1）用含x，y的代數(shù)式表示地面總面積；

（2）已知客廳面積比衛(wèi)生間面積多21m2，且地面總面積是衛(wèi)生間面積的15倍．若鋪1m2地磚的平均費用為80元，那么鋪地磚的總費用為多少元？

解析：（1）觀察圖形知道：地面由四部分組成，臥室、廚房、客廳、衛(wèi)生間，其面積分別為：3×（2＋2）＝12，2×（6－3）＝6，6x，2y，所以地面總面積為：6x+2y+18（m2）．

（2）由題意，得６x-2y=21，6x+2y+18=5×2y.解得x=4，y＝.

地面總面積為：6x+2y+18=6×4+2×+18=45（m2）． 所以，鋪地磚的總費用為45×80=3600（元）．

說明：本題把數(shù)量關(guān)系借助于圖形展示，兼容了數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.解決這類問題的關(guān)鍵是要能從圖形中獲取有用的信息.

四、自編應(yīng)用題

例4（內(nèi)蒙古赤峰）“方程”是現(xiàn)實生活中十分重要的數(shù)學(xué)模型，請結(jié)合你的生活實際編寫一道二元一次方程組的應(yīng)用題，并使所列出的二元一次方程組為x＝2y，x+y=６０，并寫出求解過程．

解析：應(yīng)用題：我家里有60棵樹，其中楊樹是柳樹的2倍，求楊樹和柳樹各有多少棵？

解答過程：設(shè)楊樹x棵，柳樹y棵，依題意：x+y＝６０，x＝2y.解得x＝４０，y＝２０.

答：我家有楊樹40棵，柳樹20棵．

說明：依據(jù)已知條件，按照某一些形式自主編擬試題，逐漸成為中考的熱點.這類自編問題不但可以加深同學(xué)們對解題思路的理解，而且可以培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新思維能力，希望同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中多加練習(xí).

五、圖文信息題

例5（山東濟(jì)寧）同學(xué)們喜歡足球嗎？足球一般是用黑白兩種顏色的皮塊縫制而成的，如圖所示，黑色皮塊是正五邊形，白色皮塊是正六邊形．若一個球上共有黑白皮塊32塊，請你計算一下，黑色皮塊和白色皮塊的塊數(shù)分別為（ ）.

A．16塊，16塊B．8塊，24塊

C．20塊，12塊D．12塊，20塊

解析：設(shè)黑色皮塊塊數(shù)為x塊，白色皮塊的塊數(shù)為y塊，從圖形上可以發(fā)現(xiàn)，與每一塊正六邊形白色皮塊相連的是3塊正五邊形黑色皮，所以足球上所有正六邊形的邊數(shù)和是所有正五邊形的邊數(shù)和的2倍，再結(jié)合一個球上共有黑白皮塊32塊，可列出方程組，x+y＝32，６y＝２×５x，解得x＝１2，y＝２０，所以選D.

說明：將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與我們的生活相聯(lián)系是新課標(biāo)提倡的一種學(xué)習(xí)方式，我們要從已有的生活經(jīng)驗出發(fā)去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，所以為了更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，我們要多留意生活中的數(shù)學(xué)問題.