三角形的外角應(yīng)用例析

三角形的外角是三角形一邊的延長(zhǎng)線與另一邊所構(gòu)成的角，它與相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，由此可推得三角形外角的兩個(gè)重要性質(zhì)：1.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；2. 三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.這兩個(gè)性質(zhì)在實(shí)際問(wèn)題中都有著重要的應(yīng)用.下面舉例分析.

例1一張小馬扎的結(jié)構(gòu)如圖1，小明發(fā)現(xiàn)∠1=∠2，他量出∠3=100°，請(qǐng)你求出∠1的度數(shù).

分析：從圖中可以看出，小馬扎結(jié)構(gòu)形成了一個(gè)三角形，∠1、∠2是這個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角，∠3是三角形的一個(gè)外角，從而利用三角形外角的性質(zhì)可以求出∠1.

解：根據(jù)題意知，∠3是三角形的一個(gè)外角，所以∠3=∠1+∠2.

因?yàn)椤?=∠2，

所以∠3=2∠1，

因?yàn)椤?=100°，

所以∠1=∠3=50°.

點(diǎn)評(píng)：本題從“∠3是△ABC的外角”找到解題思路，可見學(xué)會(huì)觀察圖形、發(fā)現(xiàn)圖形特性是順利解題的關(guān)鍵.

例2小明去美術(shù)館參觀（如圖2），他從同一直線上三點(diǎn)C、D、E處分別觀察油畫AB（如圖3），得視角為∠ACB、∠ADB、∠AEB，請(qǐng)你比較這三個(gè)視角的大小.

分析：比較角的大小，一般常用三角形外角的另一個(gè)性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.從圖中可以看到∠ADE既是△ADE的內(nèi)角，又是△ACD的外角，且∠AEF也是如此，從而可以比較直線CF上方角的大小.直線CF下方的情況相似，結(jié)論同理可得.最后用不等式性質(zhì)相加即可.

解：因?yàn)椤螦DE是△ACD的外角，

所以∠ACE＜∠ADE.

因?yàn)椤螦EF是△AED的外角，

所以∠ADE＜∠AEF.

所以∠ACE＜∠ADE＜∠AEF.

同理在直線CF的下方有，∠BCF＜∠BDE＜∠BEF，

所以∠ACB＜∠ADB＜∠AEB.

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是利用外角定理來(lái)比較大小，難點(diǎn)是想到把所比較的角分成上下兩個(gè)部分分別來(lái)比較大小.

例3學(xué)完《與三角形有關(guān)的角》后，小明在紙上畫出了圖4，然后神秘地對(duì)同桌小天說(shuō)：“我發(fā)現(xiàn)了圖中一個(gè)神奇的結(jié)論，只要你報(bào)出圖中∠A、∠ABP、∠ACP、∠BPC四個(gè)角中的三個(gè)，我就能求出第四個(gè).”小天報(bào)了∠A=64°，∠B

=21°，∠BPC=138°后，小明立即報(bào)出了答案，小天經(jīng)過(guò)反復(fù)思考后，發(fā)現(xiàn)小明報(bào)出的答案是對(duì)的.聰明的你，認(rèn)為小明報(bào)出的∠C是多大？

分析：我們不妨先探求小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，這個(gè)結(jié)論一定與這四個(gè)角有關(guān).由于圖中無(wú)三角形，需構(gòu)造輔助線.聯(lián)想到三角形的外角定理，我們可以延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E（如圖5），也可連接AP并延長(zhǎng)，交BC于E（如圖6）.

解法（一）延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E（如圖5），

因?yàn)椤螧PC是△CEP的一個(gè)外角，

所以∠BPC＝∠PEC＋∠ACP.

因?yàn)椤螾EC是△ABE的一個(gè)外角，

所以∠PEC＝∠ABP+∠A，

所以∠BPC=∠ABP+∠A +∠ACP.

把∠A=64°，∠ABP=21°，∠BPC=138°代入上式得∠ACP=53°.

解法（二）連接AP并延長(zhǎng)，交BC于E（如圖6）.

因?yàn)椤螧PE是△ABP的一個(gè)外角，

所以∠BPE＝∠ABP＋∠BAE.

因?yàn)椤螮PC是△ACP的一個(gè)外角，

所以∠EPC＝∠EAC+∠ACP.

所以∠BPC=∠ABP＋∠BAE＋∠EAC+∠ACP，

所以∠BPC=∠ABP＋∠BAC+∠ACP.

把∠BAC=64°，∠ABP=21°，∠BPC=138°代入上式得∠ACP=53°.

點(diǎn)評(píng)：從以上解題過(guò)程中可以看出，解題時(shí)充分挖掘題目中的規(guī)律很重要.另外本題還用到了常用的構(gòu)造外角的輔助線，大家要認(rèn)真體會(huì).

三角形的外角及其性質(zhì)是三角形的重要內(nèi)容，是今后求角度、證明角的關(guān)系的常用知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)點(diǎn)雖簡(jiǎn)單，但應(yīng)用中能解決很多問(wèn)題.