最優(yōu)價格的數(shù)學模型

[摘 要] 本文主要闡述了最優(yōu)價格模型在經(jīng)濟學中的指導意義。

[關(guān)鍵詞] 經(jīng)濟學 數(shù)學模型 最優(yōu)價格

一、引言

建立數(shù)學模型是溝通擺在面前的實際問題與工作者掌握的數(shù)學工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁。將數(shù)學方法應用到實際問題中時，往往首先是把這個問題的內(nèi)在規(guī)律用數(shù)字、圖表或者公式、符號表示出來，然后經(jīng)過數(shù)學的處理得到定量的結(jié)果，以供人們作分析、預報、決策或者控制，這個過程實際上就是一個建立數(shù)學模型的過程。數(shù)學和經(jīng)濟的聯(lián)系是十分緊密的，而對數(shù)學的應用往往要通過數(shù)學模型。下面的最優(yōu)價格模型是我們經(jīng)濟學中比較經(jīng)典的一個數(shù)學模型，從中也可以看出數(shù)學模型的建立對經(jīng)濟學有很重要的意義。

二、最優(yōu)價格模型

1.模型假設(shè):最優(yōu)價格，簡單的說就是使商家或企業(yè)獲得最大利潤的產(chǎn)品的價格。對于最優(yōu)價格的問題，應該是每個企業(yè)關(guān)注的。如果一個廠長有權(quán)根據(jù)產(chǎn)品成本和銷售情況制定商品價格的話，他當然會尋求能使工廠利潤最大的所謂最優(yōu)價格。本文所討論的最優(yōu)價格模型，是指在產(chǎn)銷平衡狀態(tài)下的模型，這里的產(chǎn)銷平衡是指工廠產(chǎn)品的產(chǎn)量等于市場上的銷售量。為了模型的更加合理性，這里假設(shè)產(chǎn)品的銷售量依賴于產(chǎn)品的價格，產(chǎn)品的成本與產(chǎn)品的產(chǎn)量也是相關(guān)聯(lián)的。

2.模型建立:利潤是銷售收入與生產(chǎn)支出之差。假設(shè)每件產(chǎn)品售價為p，成本為q，銷售量為x（與產(chǎn)量相等），總收入與總支出分別是I和C，則可以得到

I=px（1）

C=qx (2）

另外，我們知道在市場競爭的情況下銷售量x依賴于價格p，因此銷售量應該是價格的函數(shù)，記作

x=f(p) （3）

這里f稱為需求函數(shù)，是p的減函數(shù)。

我們再考慮成本與產(chǎn)品數(shù)量的關(guān)系。通常情況下，成本是隨著產(chǎn)品的數(shù)量逐漸降低的，因此可以認為產(chǎn)品的成本是產(chǎn)品數(shù)量的函數(shù)，記作

q=Q(x) （4）

其中，我們把Q叫做成本函數(shù)，是x的減函數(shù)。

這樣，x和q都可以由p來確定?？梢缘玫戒N售收入和生產(chǎn)支出C都是價格p的函數(shù)，設(shè)利潤為U，則可以表示為

U(p)=I(p)-C(p) （5）

其中，I(p)=px=pf(p)，C(p)=qx=Q(x)x=Q(f(p))f(p)。

使利潤U達到最大的價格就是最優(yōu)價格。設(shè)最優(yōu)價格為p*，那么可以得到當dU/dp=0時p的值即為p*。即有dU/dp=dU/dp，當p=p*時。

我們把dI/dp稱為邊際收入（價格變動一個單位時收入的改變量），dC/dp稱為邊際支出（價格變動一個單位時的支出的改變量）。上式表明，最大利潤是在邊際收入等于邊際支出時達到的。

為了得到進一步的結(jié)果，本文假設(shè)出需求函數(shù)和成本函數(shù)的具體形式。設(shè)需求函數(shù)是簡單的線性函數(shù)

f(p)=abp a，b>0 (6）

其中，a可以理解為這種產(chǎn)品免費供應(p=0）社會的需求量，稱為“絕對需求量”。b表示價格上漲一個單位時銷售量下降的幅度（當然也是價格下跌一個單位時銷售量上升的幅度），它反映市場需求對價格的敏感程度。

設(shè)成本函數(shù)為Q(x)=m+1/(tx+n)m，t，n>0（7）

其中，m表示產(chǎn)品的最底成本，t表示產(chǎn)品數(shù)量增加或減少帶來的幅度，n調(diào)節(jié)常數(shù)，即產(chǎn)品的最大成本為(m+1/n）。

將(1)～(3)和(6），(7)帶入(4)式可得

U(p)=I(p)-C(p)=pf(p)-Q(f(p))f(p)

=(a-bp)[p-m-1/(ta+n-tbp)]（8）

用微分的方法可以求出使U(p)最大的最優(yōu)價格。由dU/dp=0式和(8)式可以得到btp-(2btn+2abt+btm)p+(n+2atn+at+2abtm+2btmn)p-m(n+ta)n=0(9）

這是一個關(guān)于p的三次方程，對于實際問題，當?shù)玫絘、b、m、n、t的數(shù)值帶到(9)式中，再用相應的數(shù)學方法求出p*。在實際的工作之中，a和b可以由價格p和銷售量x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合來確定。m和n實際上是已知的常數(shù)，t也是根據(jù)產(chǎn)量的多少可以得出的。對于(9)式的求解在有些時候可能不容易得到精確的數(shù)值，我們可以根據(jù)實際情況得到具有一定精度的近似值。

三、總結(jié)

除了上述最優(yōu)價格模型，經(jīng)濟學中的彈性理論，金融工程中的期貨期權(quán)理論，最優(yōu)化和影子價格都是經(jīng)濟和數(shù)學的完美結(jié)合，數(shù)學模型為經(jīng)濟學的研究開辟了一條寬闊的大路，同時也使經(jīng)濟學從定性研究向定量研究轉(zhuǎn)化，更加具有理性和發(fā)散思維，正是數(shù)學和經(jīng)濟學的結(jié)合為社會科學的發(fā)展增加了動力，也為社會創(chuàng)造了很大的物質(zhì)財富，相信數(shù)學模型這個工具將來會給經(jīng)濟學更廣闊的發(fā)展空間。

參考文獻:

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[2]迪迪埃·科森 于格·皮羅特，王唯翔 殷劍峰 程 煉等譯:高級信用風險分析:評估、定價和管理信用風險的金融方法和數(shù)學模型[M].北京:機械工業(yè)出版社，2005

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文