平面解析幾何在管理會計中的一些應(yīng)用

[摘要] 平面解析幾何中的一些原理和方法，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖像等在管理會計中都有廣泛的應(yīng)用，運用這些方法學(xué)習(xí)管理會計，有事半功倍的效果。

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù) 三角函數(shù) 增函數(shù) 減函數(shù)

管理會計中的某些內(nèi)容可以采用平面解析幾何中的原理和方法進(jìn)行教學(xué)和課外輔導(dǎo)，對于沒有學(xué)過高等數(shù)學(xué)的人學(xué)習(xí)管理會計，也具有重要的現(xiàn)實意義。現(xiàn)將這些方法舉例如下:

一、二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

[例1]某企業(yè)計劃年度單位產(chǎn)品價格由基期價格P變動到P1、銷售量由基期銷售量Q變動到Q1，設(shè)△P=P-P1，△Q=Q1-Q，一般地，銷售量變動方向與價格變動方向相反，∴△P與△Q同號。該產(chǎn)品計劃期銷售收入為：

R=P1Q1=（P-△P）（Q+△Q）

設(shè)X為價格變動率，X=△P/P；需求價格彈性系數(shù)Ep=(△Q/Q)/(△P/P）>0

移項得:△Q=EpQX

于是，R=P1Q1=（P-△P）（Q+△Q）=（P-PX）（Q+EpQX）

將上式化簡，得價格需求變動目標(biāo)函數(shù)為：R=PQ[-EpX2+（Ep-1）X+1]。試說明，當(dāng)Ep為已知時，銷售收入R的值將如何隨X的變化而變化。

設(shè)關(guān)于X的二次函數(shù):f(X)= R=PQ[-EpX2+（Ep-1）X+1]

配方后得f(X)=PQ{-Ep[X-（Ep-1)/2Ep ]2+（Ep+1）2/4Ep}

∵Ep>0，∴- Ep<0，二次函數(shù)f(X)的圖像是一條開口向下的拋物線(圖1），它的對稱軸方程是，X=（Ep-1）/2Ep；頂點坐標(biāo)是A（（Ep-1）/2Ep；PQ（Ep+1）2/4Ep）， 從圖像可知，當(dāng)X小于（Ep-1）/2Ep時，f(X)為增函數(shù)；當(dāng)X大于（Ep-1）/2Ep時，f(X)為減函數(shù)；當(dāng)X等于(Ep-1)/2Ep時，f（X）取最大值。

因此，我們得到結(jié)論：當(dāng)X小于（Ep-1）/2Ep時，銷售收入R隨X的增加而增加（提價對企業(yè)有利）；當(dāng)X增加到等于(Ep-1)/2Ep時，銷售收入達(dá)到最大值PQ[（Ep+1）2/4Ep];當(dāng)X大于(Ep-1)/2Ep時，銷售收入反而會隨X的增加而下降（這時，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)降價，使銷售收入回歸到最大值PQ[（Ep+1）2/4Ep]）。

二、三角函數(shù)的增減性和一次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

[例2]假定華夏公司今年擬生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其售價、成本及約束條件的資料如下表所示：

試為華夏公司做出應(yīng)如何安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能獲得最大貢獻(xiàn)毛益總額。

設(shè)華夏公司今年生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件，兩種產(chǎn)品的貢獻(xiàn)毛益總額S(元)為：

S=（85－55）x＋（90－65）y

S=30x＋25y

目標(biāo)函數(shù)S=30x＋25y為極大值時的約束條件如下：

在平面直角坐標(biāo)系中作出上述不等式組對應(yīng)的幾何圖形（圖2）。設(shè)直線L1∶y=－3/2x＋900，L2∶y=－6/5x＋1/25S，L3∶y=－3/4x＋600，所對應(yīng)的傾斜角分別為α1，α2，α3，

∵－3/2＜－6/5＜－3/4

即tgα1＜tgα2＜tgα3正切函數(shù)y=tgα，α∈（900，1800）時是增函數(shù)，∴α1＜α2＜α3

y=－6/5x＋1/25S的圖象是在Y軸上截距為1/25S，斜率為－6/5的一簇平行線，根據(jù)本題條件，該直線上的點（x，y）應(yīng)在上述不等式組所確定的區(qū)域內(nèi)取值（包括該區(qū)域的邊界）。由圖2知，當(dāng)該直線平行移動到經(jīng)過該區(qū)域邊界點A（400，300）時，截距1/25S最大。將A的坐標(biāo)代入方程y=－6/5x＋1/25S，

得：Smax=19，500（元）

甲產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)400件，乙產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)300件。

三、三點共線，任意兩點連線鈄率相等原理的應(yīng)用

[例3]現(xiàn)有下列投資方案，試計算方案的內(nèi)含報酬率。

設(shè)i為折現(xiàn)率，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)以i為自變量的函數(shù)y1=60×1/(1＋i）1＋70×1/（1＋i）2 的圖像為曲線f1，y2=100的圖像為直線f2，f1與f2相交于點T（i，100）（圖3），i即為所要求的內(nèi)含報酬率。

f(i)=NPV=60×1/(1＋i）1＋70×1/（1＋i）2－100。

根據(jù)內(nèi)含報酬率定義，本題意為，求使f(i)=70×1/(1＋i）2＋60×1/(1＋i）1－100=0時的i值。

先對折現(xiàn)率進(jìn)行測試，測試結(jié)果如下：

NPV由正到負(fù)所對應(yīng)的兩個相鄰的折現(xiàn)率是18%和19%，內(nèi)含報酬率i處于18%與19%之間。

根據(jù)《折現(xiàn)率測試計算表》，設(shè)f1上的兩點為A（18%，101.12），B（19%，99.8517）。把曲線f1在區(qū)間[18%，19%]之間的圖像近似地看作線段AB，則根據(jù)A（18%，101.12）、T（i，100）、B（19%，99.8517）三點共線，任意兩點連線斜率相等的原理，得比例算式:

(18%-i)/(18%-19%)=(101.12－100)/(101.12-99.8517)

解之得，內(nèi)含報酬率i≈18.8831%

雖然平面解析幾何的許多方法在管理會計中有著廣泛的應(yīng)用，但它只能解決簡單問題。管理會計中有許多問題是用初等數(shù)學(xué)方法解決不了。我們要學(xué)好管理會計并把它應(yīng)用于實際工作，不但要學(xué)好高等數(shù)學(xué)，而且要學(xué)好計算機(jī)技術(shù)。

參考文獻(xiàn):

[1]孫茂竹文光偉楊萬貴主編:管理會計學(xué)，北京:中國人民大學(xué)出版社，2006年3月第3版

[2]李天民編著:現(xiàn)代管理會計學(xué)，上海:立信會計出版社，1999