運(yùn)用高等數(shù)學(xué)對(duì)經(jīng)濟(jì)分析的探討

在高速發(fā)展的經(jīng)濟(jì)建設(shè)中，現(xiàn)代化經(jīng)濟(jì)理論已經(jīng)從過(guò)去的經(jīng)濟(jì)定性分析發(fā)展成為量性分析和定性分析相結(jié)合。因而高等數(shù)學(xué)的一些方法如函數(shù)理論微積分矩陣概率統(tǒng)計(jì)運(yùn)籌學(xué)等知識(shí)在經(jīng)濟(jì)管理中都有了廣泛的應(yīng)用。使得人們能從理論上分析有關(guān)的經(jīng)濟(jì)模型，從而給出合理的解釋?zhuān)玫貙?duì)經(jīng)濟(jì)建設(shè)起指導(dǎo)作用。

一、函數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中生產(chǎn)者與消費(fèi)者通過(guò)市場(chǎng)交換商品，消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)商品是為了得到它的效用，生產(chǎn)者提供商品為了獲取利潤(rùn)，而市場(chǎng)就是生產(chǎn)者和消費(fèi)者之間的橋梁我們知道某種商品的市場(chǎng)需求量是商品價(jià)格的函數(shù)，一般說(shuō)來(lái)將隨著價(jià)格的上漲而減少，即需求量是市場(chǎng)價(jià)格的單調(diào)減少函數(shù)，與需求函數(shù)相反，供給函數(shù)是隨著市場(chǎng)價(jià)格的上漲而增加。收人是生產(chǎn)者生產(chǎn)的商品售出后的收人，生產(chǎn)者銷(xiāo)售某種商品的總收人取決于該商品的銷(xiāo)售和價(jià)格，成本函數(shù)固定成本廠房設(shè)備管理者的固定工資等和變動(dòng)成本原材料勞動(dòng)者的工資等，利潤(rùn)是生產(chǎn)者扣除成本的剩余部分它也是產(chǎn)量的函數(shù)。.

例:已知生產(chǎn)某種商品q件時(shí)的總成本(單位：萬(wàn)元)為

C(q)=10+5q+0.2q

如果每售出一件該商品的收入為9萬(wàn)元。

(1)求生產(chǎn)10件該商品時(shí)的總利潤(rùn)。

(2)求生產(chǎn)20件該商品時(shí)的總利潤(rùn)。

解由題意可知，該商品的收入函數(shù)是R(q)=9q(萬(wàn)元)

又已知C(q)=10+5q+0.2q(萬(wàn)元)

利潤(rùn)的函數(shù)為L(zhǎng)(q)=R(q)一c(q)=4q一10一0.2q(萬(wàn)元)

(1)生產(chǎn)10件該商品時(shí)的利潤(rùn)為

L(10)=4x10一10一0.2x102=10(萬(wàn)件)

(2)生產(chǎn)20件該商品的總利潤(rùn)為

L(20)=4x20一10一0.2x 202=-10(萬(wàn)元)

從上面這個(gè)例子，我們可以分析這樣現(xiàn)象，即利潤(rùn)并不是總是隨著產(chǎn)量的增加而增加有時(shí)會(huì)產(chǎn)量增加，利潤(rùn)反而減少，甚至?xí)a(chǎn)生虧損。由理論分析得知利潤(rùn)函數(shù)分三種情況：

L(q)=R(q)一c(q) > 0此時(shí)生產(chǎn)者盈利。

L(q)= R(q)一C(q) < 0生產(chǎn)者虧損。

L(q)=R(q}-C(q)= 0此時(shí)生產(chǎn)者即不盈利也不虧損即收支平衡。

盈虧分析常用于企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理中各種價(jià)格或生產(chǎn)的決策。

二、微積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)學(xué)里習(xí)慣上用平均和邊際這兩個(gè)概念來(lái)描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)量對(duì)于另一個(gè)經(jīng)濟(jì)量的變化，如邊際成本其經(jīng)濟(jì)含義當(dāng)產(chǎn)量為再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總成本C(q+1)-C(q)=△C(q)=C(q)

邊際利潤(rùn)總利潤(rùn)的平均變化率設(shè)銷(xiāo)售某種產(chǎn)品利潤(rùn)函數(shù)為等于總收入減去總成本即那么由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可知所以，邊際利潤(rùn)等于邊際收人減去邊際成本。

例:已知生產(chǎn)某種彩色電視機(jī)的總成本函數(shù)為

C(q)=2.2x103q+8x107

通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查可以預(yù)計(jì)這種彩電的年需求量q=3.1x105一50p，試求使利潤(rùn)最大的銷(xiāo)售量和銷(xiāo)售價(jià)格。

解由需求量q=3.1x105一50p，解得

p=6.2x103-0.02q，那么當(dāng)銷(xiāo)售量為最大時(shí)，總收入函數(shù)為，R(q)=P(q)=6.2x103q-0.02q3利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(q)=R(q)-C(q)= 4x103q-0.02q3-8x107

L’(q)=4x103q -0.04q

令L’(q)=4x103q -0.04q=0，得惟一駐點(diǎn)q=105由實(shí)際問(wèn)題可知，q=105是利潤(rùn)函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是它的最大值點(diǎn)，最大利潤(rùn)為

L(105)= 4x103x105-0.02x108-8x107= 1.2x108

當(dāng)q=105，彩電的銷(xiāo)售價(jià)格為p=6.2x103-0.02x105=4200(元)

邊際需求為q(P)= -50，需求彈性為

使利潤(rùn)最大的彩電售價(jià)為P=4200(元)，那么需求彈性為

即當(dāng)彩電售價(jià)為需求彈性為富有彈性，此時(shí)適當(dāng)降價(jià)不僅能夠增加銷(xiāo)售量，擴(kuò)大本企業(yè)的彩電在銷(xiāo)售市場(chǎng)上的占有份額，同時(shí)也能減少產(chǎn)品的庫(kù)存積壓，降低庫(kù)存成本，增加銷(xiāo)售總收人，給企業(yè)帶來(lái)經(jīng)濟(jì)效益。

三、線(xiàn)性方程組在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

國(guó)民經(jīng)濟(jì)是一個(gè)相互聯(lián)系、彼此制約的大系統(tǒng)，任一因素的變動(dòng)都會(huì)產(chǎn)生一系列的直接影響和間接影響，當(dāng)各產(chǎn)業(yè)部門(mén)間的技術(shù)系數(shù)即直接消耗系數(shù)矩陣A確定后，就可以通過(guò)最終需求Y，求出一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，各產(chǎn)業(yè)部門(mén)之間存在著密切的關(guān)系。即

例如:下表列出了我國(guó)2005年三個(gè)產(chǎn)業(yè)部門(mén)的中間產(chǎn)品，最終產(chǎn)品的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

三產(chǎn)業(yè)的直接消耗函數(shù)矩陣

第一產(chǎn)業(yè)提價(jià)，那么，可以認(rèn)為第一產(chǎn)業(yè)的最終產(chǎn)品有4628億元的缺口，其他兩個(gè)產(chǎn)業(yè)的最終產(chǎn)品不變，即

可見(jiàn)，第一產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)品實(shí)際增量為555.36億元，增加幅度為，即第一產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)品只增加6.11%，由此可以知道并非漲多少就能賺多少。

總之，通過(guò)對(duì)經(jīng)濟(jì)模型的數(shù)學(xué)分析，可以更好的為企業(yè)進(jìn)行科學(xué)的管理，提供科學(xué)的理論依據(jù)。

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