年期折現(xiàn)因子和哥登模型乘數(shù)

[摘 要] 本文主要介紹年期折現(xiàn)因子(ADF)的來(lái)源以及哥登模型。所謂ADF就是對(duì)于有限系列現(xiàn)金流，在假設(shè)其第一個(gè)現(xiàn)金流等于1元時(shí)按恒定增長(zhǎng)率或零增長(zhǎng)率增長(zhǎng)折現(xiàn)的現(xiàn)值。這樣，在收益法評(píng)估中，第一年的現(xiàn)金流乘以ADF就等于第一年到第n年的系列現(xiàn)金流在時(shí)間坐標(biāo)為零時(shí)的現(xiàn)值。

哥登模型乘數(shù)的含義與ADF是類(lèi)似的，只是其為期限趨于無(wú)限的現(xiàn)金流在第一個(gè)現(xiàn)金流等于1元時(shí)按恒定增長(zhǎng)率或零增長(zhǎng)率增長(zhǎng)折現(xiàn)的的現(xiàn)值。當(dāng)采用哥登模型乘數(shù)時(shí)，折現(xiàn)率必須大于增長(zhǎng)率，而ADF沒(méi)有這個(gè)限制。

一、概述

資金的時(shí)間價(jià)值是金融分析技術(shù)的支柱，也是企業(yè)價(jià)值評(píng)估、無(wú)形資產(chǎn)評(píng)估和不動(dòng)產(chǎn)評(píng)估中的技術(shù)支柱。由于不同時(shí)間的現(xiàn)金流具有不同的價(jià)值，資產(chǎn)評(píng)估中常常需要計(jì)算現(xiàn)金流的現(xiàn)值或其未來(lái)價(jià)值。而年期折現(xiàn)因子就是計(jì)算現(xiàn)金流現(xiàn)值的重要工具。為使評(píng)估師在評(píng)估實(shí)踐中能夠更加熟練運(yùn)用這一工具，本文擬對(duì)其作一紹介。

所謂年期折現(xiàn)因子（ Annual Discount Factor，以下稱(chēng)ADF）就是對(duì)于有限系列的現(xiàn)金流，在假設(shè)第一個(gè)現(xiàn)金流等于1元，并按恒定增長(zhǎng)率或零增長(zhǎng)率增長(zhǎng)的情況進(jìn)行折現(xiàn)的現(xiàn)值。那么，在資產(chǎn)評(píng)估中，將企業(yè)或資產(chǎn)第一年實(shí)際發(fā)生的現(xiàn)金流乘以ADF就等于這一時(shí)間間隔為從第一年到第n年的這個(gè)企業(yè)或資產(chǎn)系列現(xiàn)金流在時(shí)間坐標(biāo)為零（即第一年年初時(shí)）的現(xiàn)值。

由于現(xiàn)金流本身情況的變化，ADF也會(huì)有幾種變化。主要變化的情況有：

1.現(xiàn)金流是保持常數(shù)不變，還是增長(zhǎng)的或遞減的？

2.現(xiàn)金流是發(fā)生在年中，還是在年末？故有年中ADF和年末ADF之分。

3.現(xiàn)金流是從第一年開(kāi)始還是從別的什么時(shí)間開(kāi)始？

4.是每年都有現(xiàn)金流還是有規(guī)律地跳過(guò)一些年份？

5.完結(jié)時(shí)是一個(gè)完整的年份還是在一年的幾分之幾？如果現(xiàn)金流結(jié)束在某一年的幾分之幾時(shí)段上，那么應(yīng)該采用殘余時(shí)間段的ADF公式。

ADF是有限系列現(xiàn)金流的年期折現(xiàn)因子。當(dāng)這個(gè)有限序列現(xiàn)金流的期限變?yōu)闊o(wú)窮大時(shí)，且現(xiàn)金流的增長(zhǎng)率為一常數(shù)，則現(xiàn)金流的年期折現(xiàn)因子就變?yōu)楦绲悄Ｐ停℅orden Shapiro 1956）乘數(shù)。所以，哥登模型乘數(shù)就是恒定增長(zhǎng)率下的永久年金的折現(xiàn)因子。

二、年末現(xiàn)金流的ADF

由于ADF 的定義是第一年開(kāi)始的現(xiàn)金流為1元，按恒定增長(zhǎng)率n年內(nèi)現(xiàn)金流折現(xiàn)的現(xiàn)值。因此，我們可以用第一年的預(yù)測(cè)現(xiàn)金流乘以ADF，就可以得出整個(gè)現(xiàn)金流系列的現(xiàn)值。舉例說(shuō)，如果ADF = 8.467，第一年的現(xiàn)金流是10，000元，那么整個(gè)年期現(xiàn)金流的PV就是8.467×10，000 = 84，670元。

為了簡(jiǎn)化復(fù)雜的預(yù)測(cè)工作，在收益法評(píng)估中一般都假設(shè)預(yù)測(cè)的現(xiàn)金流是年末現(xiàn)金流，且是具有恒定年增長(zhǎng)率的現(xiàn)金流。

在本文的ADF計(jì)算中，采用各種符號(hào)的定義如下:

r:折現(xiàn)率

g:現(xiàn)金流的年增長(zhǎng)率

PV:現(xiàn)值

CF:現(xiàn)金流

n:現(xiàn)金流的終止年份

t:時(shí)間（某一個(gè)時(shí)點(diǎn)或某一年）

ADF的公式推導(dǎo)如下：設(shè)第一年的現(xiàn)金流為1元，以后年份按恒定增長(zhǎng)率逐年增長(zhǎng)，并假定現(xiàn)金流發(fā)生在每年的年末，則年期跨度為n年的現(xiàn)值PV為：

由于ADF即第一年開(kāi)始的現(xiàn)金流為1元，按恒定增長(zhǎng)率n年內(nèi)現(xiàn)金流折現(xiàn)的現(xiàn)值，因此：

下一步，我們?cè)龠M(jìn)行一些代數(shù)運(yùn)算，可得出關(guān)于ADF的一系列公式。

我們可以將方程（1）的兩邊都乘以(1+g)/(1+r)，則得到方程（2）：

然后將方程（1）的兩邊分別減去方程（2）的兩邊，則得：

將方程（3）左邊轉(zhuǎn)換:

消去(1+r)之后，上式為：

將方程（4）變換后，可以得到三種表達(dá)式。我們將這三個(gè)表達(dá)式標(biāo)記為方程（4a）、(4b)與(4c)。這三種表達(dá)式在不同的情況下有其各自的用途。第一個(gè)表達(dá)式是

第二種變換形式是:

方程（4b）中的1/(r-g)就是經(jīng)典的哥登模型的乘數(shù)，可以將其命名為GM，并設(shè)x = (1+g)/(1+r)，則方程（4b）可轉(zhuǎn)換為：

通過(guò)上面的表達(dá)式，我們可以對(duì)ADF與其計(jì)算參數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行以下的分析：

1、由（1）可知，ADF與r成負(fù)相關(guān)而與g成正相關(guān)。也就是說(shuō)，折現(xiàn)率的增加會(huì)導(dǎo)致ADF的減少，而增長(zhǎng)率的增加卻會(huì)使ADF也同步增加。反之亦然。

2、當(dāng)g = 0時(shí)， ADF為普通年金，每年的現(xiàn)金流沒(méi)有增長(zhǎng)，方程（4）則簡(jiǎn)化為：

其中：1/r是g = 0時(shí)永久年期的現(xiàn)值因子，或者說(shuō)是g = 0時(shí)的哥登模型因子。

3、當(dāng)n→∞，且r > g時(shí)， ADF公式即成為哥登模型。

哥登模型是企業(yè)價(jià)值評(píng)估師較熟悉的一個(gè)模型。在企業(yè)價(jià)值評(píng)估中采用現(xiàn)金流量折現(xiàn)分析（DCF）的兩階段模型時(shí)，都會(huì)用到這一模型。這是以有限預(yù)測(cè)的期末(一般是第五個(gè)預(yù)測(cè)年的年末)的現(xiàn)金流為永久恒定增長(zhǎng)的現(xiàn)金流，計(jì)算至預(yù)測(cè)終端年份的現(xiàn)金流的現(xiàn)值。也就是對(duì)第一年到n年的現(xiàn)金流或凈收益折現(xiàn)之后，從n+1年開(kāi)始，將對(duì)至無(wú)限期遠(yuǎn)的現(xiàn)金流進(jìn)行折現(xiàn)。為了使這個(gè)公式有意義，增長(zhǎng)率必須小于折現(xiàn)率：即r > g。

但評(píng)估師應(yīng)了解，哥登模型只是ADF的一個(gè)特殊情況。哥登模型存在兩個(gè)假設(shè)，即：

（1）時(shí)間水平線(xiàn)是無(wú)限延伸的，即表明我們假定現(xiàn)金流是以恒定的增長(zhǎng)率g永遠(yuǎn)增長(zhǎng)下去，且現(xiàn)金流的終端年份n趨于無(wú)窮大。

（2）折現(xiàn)率大于增長(zhǎng)率，即r>g。由于r>g，而且因n = ∞，所以：

此時(shí)，方程（4）為：

方程（5）就是年末現(xiàn)金流的哥登模型乘數(shù)。而年末現(xiàn)金流的哥登模型為：

其中：

CF為起始年份的預(yù)測(cè)現(xiàn)金流。切記不能采用企業(yè)歷史現(xiàn)金流數(shù)據(jù)。1/(r-g)為哥登模型乘數(shù)。用起始年份的現(xiàn)金流乘以它之后，便得到這一無(wú)限期恒定增長(zhǎng)的現(xiàn)金流折現(xiàn)的現(xiàn)值。

三、對(duì)ADF方程的理解

我們需要更深入地了解一下方程（4）。方程右邊是兩個(gè)永久項(xiàng)的差。其中第一項(xiàng)1/(r-g)，是處于t=0的時(shí)點(diǎn)，從t=1到無(wú)限期遠(yuǎn)的現(xiàn)金流的折現(xiàn)因子。第二項(xiàng)是處于在t=0的時(shí)點(diǎn)，從t=n+1到無(wú)限期遠(yuǎn)的現(xiàn)金流的折現(xiàn)因子。這兩項(xiàng)的差就是處于t=0時(shí)點(diǎn)，從t=1到t=n這段時(shí)間現(xiàn)金流現(xiàn)值的折現(xiàn)因子。

而對(duì)于方程（4a）方括號(hào)中的內(nèi)容，可以給出這樣的解釋。即以第一年預(yù)測(cè)的現(xiàn)金流為1元時(shí)，這里（1+g）n就是第n+1年的預(yù)測(cè)現(xiàn)金流，那么乘以哥登乘數(shù)1/(r-g)之后就得出從n+1年到無(wú)限期的預(yù)測(cè)現(xiàn)金流于t=n的時(shí)點(diǎn)上的現(xiàn)值。最后，除以(1+r)n就是將t=n時(shí)點(diǎn)的現(xiàn)值轉(zhuǎn)換為t=0時(shí)點(diǎn)的現(xiàn)值。

在方程（4a）中，從t=1到無(wú)限期遠(yuǎn)的現(xiàn)金流的現(xiàn)值，以及從t=n+1到無(wú)限期遠(yuǎn)的現(xiàn)金流的現(xiàn)值，實(shí)際上都是第一年預(yù)測(cè)的現(xiàn)金流為1元時(shí)不同時(shí)期的哥登模型。從圖1可以看出，ADF就是這兩個(gè)時(shí)期哥登模型的差。

四、年中現(xiàn)金流的ADF

大部分企業(yè)每年各時(shí)段的現(xiàn)金流并不是很均勻的，因此，在企業(yè)價(jià)值評(píng)估中，采用年中現(xiàn)金流作為折現(xiàn)的對(duì)象比較妥當(dāng)，而不是采用年末的現(xiàn)金流。

年中現(xiàn)金流是在半年時(shí)的現(xiàn)金流，即折現(xiàn)比年末現(xiàn)金流要早。在年末現(xiàn)金流方程（1）中，分母中的指數(shù)代表的是現(xiàn)金流折現(xiàn)的時(shí)間區(qū)間，1+r 表示折現(xiàn)期為一年，（1+r）2表示折現(xiàn)期為兩年，（1+r）3表示折現(xiàn)期為三年……。但現(xiàn)在是在年中進(jìn)行折現(xiàn)，不是在年末進(jìn)行折現(xiàn)，則方程（1）需改變?yōu)榉匠蹋?）：

方程（7）將方程（1）各分母的折現(xiàn)周期減少0.5年，相當(dāng)于對(duì)方程（1）的每一個(gè)分子項(xiàng)乘以一個(gè)（1+r）0.5。也就是年中現(xiàn)金流ADF是年末現(xiàn)金流的ADF的（1+r）0.5倍，因此，根據(jù)年末現(xiàn)金流ADF的公式方程（4），即可得出年中現(xiàn)金流下列的ADF公式方程（8）:

根據(jù)年中現(xiàn)金流ADF方程（8），當(dāng)然我們也可以將哥登模型乘數(shù)因子提出來(lái)，得出下面的變換形式（8a）。

如果我們此時(shí)命名年中現(xiàn)金流的乘數(shù)/(r-g)為GM，設(shè)x = (1+g)/(1+r)，則得到（8b）。

下面用一個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明年中ADF的計(jì)算。

某企業(yè)現(xiàn)金流預(yù)測(cè)年數(shù)為:n = 10

折現(xiàn)率:r = 15.0%

現(xiàn)金流的增長(zhǎng)率:g = 5.1%

根據(jù)上述參數(shù)，可以計(jì)算：

變換參數(shù) x = (1+g)/(1+r) = (1+5.1%)/(1+15.0%)

= 105.1/115.0 = 0.9139

哥登模型乘數(shù)

將這些參數(shù)代入：

ADF = GM (1 - xn ) = 10.8321×(1-0.4064)

= 6.42898

如果采用方程（1），用Excel程序來(lái)計(jì)算ADF，得到的是一個(gè)同樣的結(jié)果。

方程（8）同方程（4）的推導(dǎo)結(jié)果是相同的，在方程（4d）中，1/r是g = 0時(shí)永久年期的現(xiàn)值因子，也是g = 0時(shí)的哥登模型因子。在方程（8c）中，是永久年期的年中現(xiàn)值因子，即g = 0時(shí)的年中哥登模型因子。在方程（8c）中，第一項(xiàng)是從現(xiàn)金流永遠(yuǎn)為1元時(shí)，第一年到無(wú)限期年中現(xiàn)金流折現(xiàn)價(jià)值，第二項(xiàng)是現(xiàn)金流永遠(yuǎn)為1元時(shí)從第n+1年到無(wú)限期的年中現(xiàn)金流折現(xiàn)價(jià)值，1/（1+r）n就是t = n年的折現(xiàn)率。ADF就是這兩項(xiàng)之差，即從第一年到第n年的年中現(xiàn)金流的折現(xiàn)值。

將方程（8c）中的哥登模型因子提出來(lái)后，方程可改寫(xiě)為（8d）：

2、當(dāng)n→∞，且在r>g時(shí)的特殊情形下， 則方程（8）中的，則將與方程（4）轉(zhuǎn)化為方程（5）那樣，得到年中現(xiàn)金流的哥登模型：

五、小結(jié)

以上，我們推導(dǎo)了ADF，并測(cè)試了它的特殊情況（哥登模型和零增長(zhǎng)公式），解釋了哥登模型和ADF的關(guān)系，并以同樣的方式推導(dǎo)了年中ADF及其哥登模型。讀者可以因此初步了解ADF和哥登模型的基本原理。但ADF的其他變化形式還有很多，根據(jù)千變?nèi)f化的需要，ADF還有許多種應(yīng)用，主要包括：

● 計(jì)算年金的現(xiàn)值

這一應(yīng)用由Mercer 在1997年提出。在Mercer所提出的定量市場(chǎng)流通折現(xiàn)模型中，ADF是增長(zhǎng)的。目前這一模型變得越來(lái)越重要。在Mercer的有關(guān)書(shū)籍和論文中，都有關(guān)于增長(zhǎng)ADF的計(jì)算公式。

● 在評(píng)估期間現(xiàn)金流價(jià)值時(shí)，如搬家費(fèi)用，法律訴訟損失等，需要計(jì)算一個(gè)專(zhuān)用的ADF，叫期間永恒因子(PPF)。上述介紹的ADF和哥登模型都是連續(xù)年份現(xiàn)金流條件下的方程。當(dāng)現(xiàn)金流存在有規(guī)律的間歇期或?qū)儆谥芷谧兓缘默F(xiàn)金流時(shí)，就需要應(yīng)用ADF的變化形式PPF了。

此外，PPF在進(jìn)行購(gòu)買(mǎi)新設(shè)備還是舊設(shè)備的決策時(shí)，也十分有用。

● 計(jì)算貸款的現(xiàn)值

當(dāng)融資利率小于市場(chǎng)利率時(shí)，ADF對(duì)于計(jì)算正確的企業(yè)資產(chǎn)賣(mài)價(jià)時(shí)十分重要。如在美國(guó)的雇員股票擁有計(jì)劃（ESOP）價(jià)值評(píng)估中，計(jì)算貸款的現(xiàn)值需要用到ADF。

● 采用ADF和哥登模型推導(dǎo)企業(yè)的PE常數(shù)

在推導(dǎo)企業(yè)的PE常數(shù)時(shí)，ADF還需要進(jìn)行許多變換與推導(dǎo)。包括起始期不在第一年時(shí)的ADF的方程，現(xiàn)金流為周期性間歇時(shí)的PPF方程，現(xiàn)金流結(jié)束時(shí)不是年末或年中，而是在某年的某一時(shí)點(diǎn)，都需要專(zhuān)門(mén)予以計(jì)算。

參考文獻(xiàn)

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（作者單位：中財(cái)國(guó)政（北京）資產(chǎn)評(píng)估公司）