二元一次方程組中考題賞析

朱元生

隨著課程改革的進一步推進，中考中出現(xiàn)了不少新題型.命題者往往給出一些新情境，設置一些新問題，以考查同學們的應變能力和創(chuàng)新能力.現(xiàn)就2008年中考中有關方程組的新題型，精選幾例介紹如下，供同學們參考.

例1 （2008年·溫州） 溫州皮鞋暢銷世界，享譽全球．某皮鞋專賣店老板對第一季度男、女皮鞋的銷售收入進行統(tǒng)計，并繪制了扇形統(tǒng)計圖（如圖1）．三月份由于開展促銷活動，男、女皮鞋的銷售收入分別比二月份增長了40%和60%．已知第一季度男、女皮鞋的銷售總收入為200萬元．

（1）一月份銷售收入是萬元，二月份銷售收入是萬元，三月份銷售收入是萬元.

（2）二月份男、女皮鞋的銷售收入各是多少萬元？

分析：這是一道將方程組和統(tǒng)計圖有機結合的好題.從統(tǒng)計圖中采集信息是解題的關鍵.先根據(jù)扇形統(tǒng)計圖所反映的第一季度男、女皮鞋的銷售收入百分比，求得一、二、三月的收入.再根據(jù)二、三月的收入和三月男、女皮鞋的銷售收入的增長率，通過方程組分別求得二月男、女皮鞋的銷售收入.

解：（1）第一季度男、女皮鞋的銷售總收入為200萬元，從扇形統(tǒng)計圖

可以得到：一月份的銷售收入為200×25%=50（萬元），二月份的銷售收入為200×30%=60（萬元），三月份的銷售收入為200×45%=90（萬元）.

（2）由（1）知，二月份銷售收入為60萬元，三月份銷售收入為90萬元.又由題設，三月份男、女皮鞋的銷售收入分別比二月份增長了40%和60%．

設二月份男皮鞋的銷售收入為x萬元，女皮鞋的銷售收入為y萬元.

根據(jù)題意，可得x+y=60，（1+40%）x+（1+60%）y=90.解得：x=30，y=30.

∴ 二月份男皮鞋的銷售收入為30萬元，女皮鞋的銷售收入為30萬元.

評注：要學會從統(tǒng)計圖中獲取全部的有價值的信息.

例2 （2008年·內(nèi)江）有甲、乙、丙三種商品.如果購甲3件、乙2件、丙1件，共需315元錢；如果購甲1件、乙2件、丙3件，共需285元錢.那么，購甲、乙、丙三種商品各1件共需多少錢？

分析：設購1件甲、乙、丙商品分別需要x元、y元、z元，根據(jù)題意，只能列出兩個方程.三個未知數(shù)兩個方程，難以求得x、y和z的值.而本例只要求算出購甲、乙、丙三種商品各1件共需多少錢，故可整體求解.

解：設購甲種商品1件需x元，購乙種商品1件需y元，購丙種商品1件需z元.

根據(jù)題意，可得3x+2y+z=315，x+2y+3z=285.兩式相加，得4x+4y+4z=600.

∴ x+y+z=150.

所以，購甲、乙、丙三種商品各1件共需150元錢．

評注：本題也可通過方程組，解出其中任兩個未知數(shù)（用第三個未知數(shù)表示），然后代入x+y+z中，即可求得結果.

例3 （2008年·內(nèi)江）汶川大地震后，某藥業(yè)生產(chǎn)廠家為支援災區(qū)人民，準備捐贈320箱某種急需藥品.該廠備有甲、乙兩種型號的貨車多輛.如果單獨用甲型號車若干輛，則裝滿每車后還余20箱未裝；如果單獨用同樣輛數(shù)的乙型號車裝，則裝完后還可以再裝30箱.已知裝滿時，每輛甲型號車比乙型號車少裝10箱．求甲、乙兩型號車每輛車裝滿時各能裝多少箱藥品.

分析：這是一道比較特殊的應用題.若按常規(guī)設未知數(shù)，不易理清數(shù)量之間的關系，難以列方程.而根據(jù)具體問題，恰當增設輔助元，能使數(shù)量關系一目了然，使復雜問題迎刃而解.

解：設甲型號車每輛車裝滿時，能裝x箱藥品，則乙型號車每輛車裝滿時，能裝x+10箱藥品.增設輔助未知數(shù)，設“單獨用車”時是用a輛車.

根據(jù)題意，得ax=320-20，a（x+10）=320+30.兩方程相減得a=5，代入可解得x=60，則x+10=70.

∴ 甲型號車每輛車裝滿時，能裝60箱藥品；乙型號車每輛車裝滿時，能裝70箱藥品.

評注：列出的方程組形式上并不是二元一次方程組，但如果視ax為一個未知數(shù)，a為一個未知數(shù)，就可以轉化為我們熟悉的方程組了.列方程組解應用題，技巧性強.有時需根據(jù)具體問題恰當增設輔助未知數(shù)，以使問題化難為易.如果不設輔助未知數(shù)，則可根據(jù)題意列出=，再求解.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。