《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》復(fù)習全攻略

陳路飛

一、教材解讀

1． 平移

在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移．平移不改變圖形的形狀和大小.

理解這個概念應(yīng)注意以下兩點：

（1）平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換．

（2）圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離．

經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等；對應(yīng)線段平行且相等；對應(yīng)角相等．

“對應(yīng)點所連的線段平行且相等”，這個性質(zhì)可作為平移作圖的依據(jù)．

2． 旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)是指由一個圖形繞著一個定點沿某種方向旋轉(zhuǎn)一定角度后形成另一個圖形．旋轉(zhuǎn)后，直線仍然變成直線，線段變成和原來線段相等的線段，平行直線仍為平行直線，并且旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等．

運用旋轉(zhuǎn)變換的關(guān)鍵在于選好旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角．

旋轉(zhuǎn)變換在解題中的應(yīng)用主要有以下兩個方面：

（1）在題設(shè)條件與結(jié)論間聯(lián)系不易建立或條件分散不易集中利用的情況下，通過旋轉(zhuǎn)變換鋪路架橋．

（2）圖形錯綜復(fù)雜，圖形中等量關(guān)系較多，可通過旋轉(zhuǎn)變換，移動部分圖形，讓相等的部分有所聯(lián)系，使題中隱蔽著的關(guān)系明朗起來，從而找到解題途徑．

二、常見考點透視

1． 平移概念及其特征

例1 如圖1，有一條小船，若把小船平移，使得點A平移到點B．

（1）請你在圖中畫出平移后的小船；

（2）若該小船先從點A航行到岸邊L上的點P處，再航行到點B，如果要求航程最短，試在圖中畫出點P的位置．

解析：（1）平移后的小船如圖2所示；

（2）如圖2，作點A關(guān)于直線L的對稱點A′，連接A′B交直線L于點P，則點P即為所求．

評注：平移的最顯著特征就是不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置．

2． 旋轉(zhuǎn)的概念及其特征

例2 如圖3所示，把一個直角三角板ABC繞著30°角的頂點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△EBD.點C、B、E在同一直線上．

（1）三角板旋轉(zhuǎn)了多少度？

（2）連接CD，試判斷△CBD的形狀.

（3）求∠BDC．

解析：（1）由∠ABC =∠DBE = 30°，則∠CBD=180°－30°=150°．

故三角板旋轉(zhuǎn)了150°．

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， 則BC=BD．

所以，△CBD是等腰三角形．

（3）由（1）、（2）知，△CBD是等腰三角形，∠CBD=150°．

所以，∠BDC =（180°－150°）= 15°．

評注：要注意平移與旋轉(zhuǎn)的區(qū)別和聯(lián)系．

3． 簡單的圖案設(shè)計

例3 （1）如圖4，在方格紙中（每個小方格都是邊長為1個單位的正方形），如何通過平移或旋轉(zhuǎn)兩種變換，由圖形A得到圖形B，再由圖形B得到圖形C？（對于平移變換要求寫出平移的方向和距離；對于旋轉(zhuǎn)變換要求寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度）

（2）圖5是某設(shè)計師設(shè)計的圖案的一部分，請運用旋轉(zhuǎn)變換的方法，在方格紙中將該圖形繞點O順時針依次旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°，依次畫出旋轉(zhuǎn)后所得到的圖形.將得到的圖形涂上合適的陰影，你會得到一個美麗的圖案.你來試一試吧！

解析：（1）由圖形A得到圖形B： 圖形A向上平移4個單位后得到圖形B.由圖形B得到圖形C： 先將圖形B向右平移4個單位后，以點P2為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°，即得圖形C．

（2）運用旋轉(zhuǎn)變換的方法，按照要求進行作圖，如圖6所示．

4． 平移與旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用

例4 數(shù)學課上，老師先讓同學們觀察圖7，然后問：“它繞著圓心旋轉(zhuǎn)多少度后可與它自身重合？”甲同學說是45°；乙同學說是60°；丙同學說是90°；丁同學說是135°．以上四位同學的回答中，錯誤的是（）.

Ａ． 甲Ｂ． 乙Ｃ． 丙Ｄ． 丁

解析：分析圖7，一個圓被分成8個小部分，故最少旋轉(zhuǎn)=45°就能與它自身重合.同時，旋轉(zhuǎn)45°的倍數(shù)也能重合.于是可知，四位同學的回答中，只有乙同學的回答錯誤，故選B．

評注：此類問題，只要分析出圖形被平均分成了幾個部分，然后用部分數(shù)除周角，即可確定旋轉(zhuǎn)的最小角度了．

例5 在梯形ABCD中，AD∥BC ，∠B+∠C=90° ，AB=4 cm，CD=3 cm．求BC-AD的值．

解析：如圖8，將CD平移，到AE的位置， 由平移的性質(zhì)可知：EC=AD，AE=CD=3 cm，∠AEB=∠C．

因為 ∠B+∠C=90°，所以∠B+∠AEB=90°．

所以△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°．

由勾股定理，得BE===5（cm）．

所以BC-AD=BE=5 cm．

評注：平移前后對應(yīng)點的連線平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，這些都是很重要的性質(zhì)．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。