點(diǎn)擊“角的比較與運(yùn)算”

毛春松

如何學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)？學(xué)習(xí)方法很重要！下面請(qǐng)毛老師就角的比較與運(yùn)算方面的知識(shí)，幫我們梳理一下吧.

一、點(diǎn)擊重點(diǎn)知識(shí)

1.角的大小比較.

與比較兩條線段的長(zhǎng)短類似，比較兩個(gè)角的大小也有兩種方法.（1）度量法：用量角器量出角的度數(shù)，按角的度數(shù)的大小比較角的大小.（2）疊合法：把兩個(gè)角疊合起來，使兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合，另一邊落在重合的這條邊的同旁，然后根據(jù)另一邊的不同位置關(guān)系，分三種情況總結(jié)出兩角的大小關(guān)系.細(xì)心的同學(xué)是不是已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了角的大小比較與線段的長(zhǎng)短比較之間的聯(lián)系了呢？

2.角的平分線.

在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.

數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“類比就是一種相似.”把兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，找出它們相似的地方，從而推出這兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的其他一些屬性也有相似之處，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)等常用的方法.

研究線段的中點(diǎn)及線段的和、差與研究角的平分線及角的和、差，其方法都很相似，學(xué)習(xí)時(shí)把它們進(jìn)行對(duì)比，學(xué)習(xí)效果會(huì)更好.如，“點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)”，寫成AM=MB=AB，同學(xué)們可以仿照線段中點(diǎn)的表示方法，寫出OB是∠AOC的平分線的表達(dá)式∠AOB=∠BOC=∠AOC，從而更好地理解和掌握角的平分線知識(shí).

另外，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)角平分線時(shí)，應(yīng)掌握折一個(gè)角的平分線的方法：在一張紙上畫一個(gè)角并剪下，將這個(gè)角對(duì)折，使其兩邊重合，折痕與角兩邊所成的兩個(gè)角大小相等，此時(shí)折痕所在射線（射線的端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)）就是這個(gè)角的平分線.

3.余角和補(bǔ)角.

如果兩個(gè)角的和等于90°，就說這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.如果兩個(gè)角的和等于180°，就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角.

學(xué)習(xí)時(shí)要注意：余角和補(bǔ)角是指兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，而與它們之間的位置關(guān)系無關(guān).另外，三個(gè)角或三個(gè)以上的角不叫余角或補(bǔ)角.

二、點(diǎn)擊注意事項(xiàng)

1．要注意正確理解角的有關(guān)概念.

幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)重要目標(biāo)就是培養(yǎng)同學(xué)們把“文字語言”翻譯成“符號(hào)語言”的能力.同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中一定要重視對(duì)概念的理解和掌握.

比如，如果∠AOB=2∠AOC，那么OC是∠AOB的平分線嗎？由于沒有充分地理解角平分線的定義，很多同學(xué)會(huì)認(rèn)為OC是∠AOB的平分線.實(shí)際上，OC不一定是∠AOB的平分線.角的平分線有三種描述方式（如圖1）：①OC是∠AOB的平分線；②∠AOC=∠BOC=∠AOB；③∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.實(shí)際上，如果∠AOB=2∠AOC，并且OC在∠AOB的內(nèi)部，那么OC才是∠AOB的平分線.

2.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要與實(shí)際相結(jié)合.

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.由于同學(xué)們平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往會(huì)脫離生活實(shí)際，所以在解決問題時(shí)，不能主動(dòng)嘗試從數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和方法，來尋求解決問題的策略.

比如這個(gè)問題：時(shí)鐘鐘面上，求4時(shí)10分的時(shí)候時(shí)針與分針的夾角.

解決這個(gè)問題時(shí)，很多同學(xué)得出這個(gè)錯(cuò)誤結(jié)果：夾角是120°-60°=60°.為什么會(huì)出現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤結(jié)果呢？是因?yàn)檫@些同學(xué)忽略了分針轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，時(shí)針也在轉(zhuǎn)動(dòng)！在鐘面上，時(shí)針、分針轉(zhuǎn)動(dòng)一周分別經(jīng)過12大格、60小格.因此，每小時(shí)時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)=30°，每分鐘時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)=0.5°，每分鐘分針轉(zhuǎn)動(dòng)=6°.在這個(gè)問題中要先找到三個(gè)角的大小，即4時(shí)整時(shí)針與分針的夾角是120°，從4時(shí)到4時(shí)10分，時(shí)針旋轉(zhuǎn)了5°，分針旋轉(zhuǎn)了60°，然后根據(jù)角的和、差關(guān)系，就可以求出此時(shí)時(shí)針與分針的夾角，即120°+5°-60°=65°.

三、點(diǎn)擊中考熱點(diǎn)

這部分內(nèi)容中考命題方向：注重考查角的和、差的關(guān)系和角平分線、余角、補(bǔ)角等幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)經(jīng)常與其他知識(shí)點(diǎn)綜合出現(xiàn)在中考解答題中，有時(shí)也以選擇題和填空題的形式出現(xiàn).

例如圖2，AB∥CD，∠C＝65°，CE⊥BE，垂足為E，則∠B的度數(shù)為.

解析：由AB∥CD，得∠EAB=∠C=65°.又∠EAB+∠B=90°，所以∠B=25°.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。