魯棒濾波技術(shù)在脈沖星導(dǎo)航中的應(yīng)用*

熊 凱，魏春嶺，劉良棟

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190）

魯棒濾波技術(shù)在脈沖星導(dǎo)航中的應(yīng)用*

熊 凱1，2，魏春嶺1，2，劉良棟1，2

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190）

提出將魯棒擴(kuò)展卡爾曼濾波（REKF）用于增強(qiáng)X射線脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)克服星表誤差影響的能力。指出星表誤差可以看作模型不確定性的一部分，采用魯棒濾波技術(shù)進(jìn)行處理。對(duì)REKF和傳統(tǒng)擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）的性能進(jìn)行對(duì)比。仿真結(jié)果表明，存在星表誤差的情況下，采用REKF算法進(jìn)行航天器導(dǎo)航，能夠獲得優(yōu)于EKF的定位精度。

航天器；自主導(dǎo)航；脈沖星；擴(kuò)展卡爾曼濾波；魯棒濾波

1 引 言

X射線脈沖星導(dǎo)航作為一項(xiàng)新興的航天器自主導(dǎo)航技術(shù)，是當(dāng)前國內(nèi)外航天技術(shù)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一[1-2]。美國國防高級(jí)研究項(xiàng)目局（DARPA）從2005年開始資助基于X射線源的自主導(dǎo)航定位（XNAV）計(jì)劃，研究所需的原始數(shù)據(jù)由Chandra號(hào)X射線觀測(cè)站提供，并計(jì)劃2009年在國際空間站上進(jìn)行X射線探測(cè)器性能測(cè)試。DARPA還支持美國海軍研究實(shí)驗(yàn)室（NRL）進(jìn)行了X射線脈沖信號(hào)源選擇和X射線探測(cè)器原理樣機(jī)的研制工作。另外，在NASA的SBIR基金支持下，Microcosm公司研究了基于脈沖星的導(dǎo)航和授時(shí)技術(shù)。國內(nèi)，如中國科學(xué)院、中國空間技術(shù)研究院、北京航空航天大學(xué)和國防科技大學(xué)等單位也在積極開展相關(guān)技術(shù)的研究工作。

典型的脈沖星導(dǎo)航方式是基于航天器軌道動(dòng)力學(xué)模型建立狀態(tài)方程，基于脈沖星角位置信息和脈沖星時(shí)間模型建立觀測(cè)方程，采用適當(dāng)?shù)臑V波算法處理由X射線探測(cè)器獲得的脈沖到達(dá)時(shí)間（TOA）觀測(cè)量，估計(jì)得到航天器的位置和速度矢量。受測(cè)量手段的限制，用于建立觀測(cè)方程的脈沖星角位置數(shù)據(jù)不可避免地會(huì)存在誤差。脈沖星角位置誤差被稱為星表誤差，星表誤差是影響脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)性能的主要因素之一。采用脈沖星觀測(cè)量差分技術(shù)是消除星表誤差影響的方法之一[3]，但采用該項(xiàng)技術(shù)要求同時(shí)獲得兩個(gè)或多個(gè)航天器的TOA觀測(cè)量，不適合用于僅對(duì)單個(gè)航天器進(jìn)行導(dǎo)航的情況。

事實(shí)上，星表誤差可看作模型不確定性，存在模型不確定性的情況下，基于最優(yōu)濾波理論設(shè)計(jì)的KF及其改進(jìn)算法，實(shí)際上都是次優(yōu)的。為了解決這一問題，人們進(jìn)行了多年的研究工作；其中，有關(guān)魯棒濾波的研究取得了較大進(jìn)展。與最優(yōu)濾波算法不同，魯棒濾波的設(shè)計(jì)指標(biāo)不是使估計(jì)誤差方差最小，而是使模型中的不確定因素對(duì)估計(jì)精度的影響最低。近些年來，針對(duì)模型中存在的線性化誤差、范數(shù)有界的不確定性、隨機(jī)不確定性和測(cè)量延遲等多種類型的不確定性，提出了多種魯棒濾波算法[4-5]，但魯棒濾波的研究多是針對(duì)假想的系統(tǒng)進(jìn)行的，在解決實(shí)際問題方面所做的研究相對(duì)較少。

本文首先介紹利用脈沖星TOA觀測(cè)量實(shí)現(xiàn)航天器導(dǎo)航的方法，以及星表誤差對(duì)導(dǎo)航精度的影響；接著，給出適用于非線性不確定系統(tǒng)的REKF算法；最后，通過數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證REKF的定位精度優(yōu)于傳統(tǒng)EKF算法。

2 基于脈沖星的航天器導(dǎo)航方法

X射線脈沖星是宇宙空間中以穩(wěn)定的周期高速自轉(zhuǎn)的中子星，這類天體能夠沿磁極方向發(fā)射X射線束，由于其自轉(zhuǎn)軸與磁極方向不一致，脈沖星的轉(zhuǎn)動(dòng)帶著輻射波束在宇宙中掃過一個(gè)巨大的錐形，當(dāng)波束掃過觀測(cè)者時(shí)，觀測(cè)者就獲得一個(gè)X射線脈沖信號(hào)。某個(gè)脈沖信號(hào)到達(dá)航天器與到達(dá)太陽系質(zhì)心（SSB）的時(shí)間之差反映了航天器相對(duì)于SSB的位置矢量robs在脈沖星視線矢量n（p）上的投影，如圖1所示。

通過航天器上的X射線探測(cè)器記錄得到脈沖信號(hào)到達(dá)航天器的時(shí)間，通常稱為脈沖到達(dá)時(shí)間（TOA）觀測(cè)量，符號(hào)中的上標(biāo)p用于區(qū)分不同的脈沖星。根據(jù)建立在SSB的脈沖星時(shí)間模型精確地預(yù)測(cè)得到脈沖信號(hào)到達(dá)SSB的時(shí)間，c表示光速。

圖1 基于脈沖星觀測(cè)量的航天器定位原理

下面介紹利用EKF處理TOA觀測(cè)量，通過遞推計(jì)算得到航天器位置矢量估計(jì)值的方法。要進(jìn)行濾波器的設(shè)計(jì)，首先要選擇狀態(tài)變量，并建立描述狀態(tài)量和觀測(cè)量關(guān)系的系統(tǒng)模型。選擇航天器位置矢量r和速度矢量在地心慣性坐標(biāo)系的3個(gè)分量為狀態(tài)向量，即

式中，

其中，μ為地球引力常數(shù)，J2為二階帶諧項(xiàng)系數(shù)，Re為地球平均赤道半徑表 示地心距；wt表示系統(tǒng)噪聲，用來描述各攝動(dòng)項(xiàng)的建模誤差。

式中，

其中，D（p）0表示SSB到脈沖星的距離，b是SSB相對(duì)于太陽質(zhì)心的位置矢量，μs是太陽引力常數(shù)，式（5）是在精確的時(shí)間轉(zhuǎn)換方程的基礎(chǔ)上忽略高次項(xiàng)得到的，并且未考慮航天器時(shí)鐘偏差、整周模糊度和色散效應(yīng)誤差的影響；vt表示與系統(tǒng)噪聲wt無關(guān)的測(cè)量噪聲。

視線矢量n（p）根據(jù)脈沖星的赤經(jīng)α（p）和赤緯δ（p）計(jì)算得到，計(jì)算公式為

但通過天文觀測(cè)獲得的α（p）和δ（p）均帶有誤差，用表示帶有誤差的赤經(jīng)和赤緯。其中，Δα（p）和Δδ（p）表示星表誤差，利用?α（p）和?δ（p）計(jì)算得到的帶有星表誤差影響的視線矢量記為?n（p）。星表誤差對(duì)航天器定位精度的影響如圖2所示。

圖2 星表誤差對(duì)脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的不利影響

不難看出，如果模型中的脈沖星視線矢量是不準(zhǔn)確的，那么，即使TOA觀測(cè)量是準(zhǔn)確的，根據(jù)該觀測(cè)量得到的航天器位置也是不準(zhǔn)確的。以現(xiàn)在的技術(shù)測(cè)量脈沖星角位置，精度介于0.01″～0.001″之間，對(duì)應(yīng)數(shù)百米的定位誤差，并且星表誤差對(duì)定位精度的影響隨航天器與SSB距離的增大而增大。

3 魯棒擴(kuò)展卡爾曼濾波算法

本文將魯棒濾波技術(shù)用于克服星表誤差的影響，基本思路是通過不確定模型描述帶有模型不確定性的系統(tǒng)，并根據(jù)所建立的模型形式和給定的指標(biāo)要求推導(dǎo)相應(yīng)的濾波方程。考慮如下所示的離散非線性不確定系統(tǒng)

式中，xt和yt分別表示狀態(tài)量和觀測(cè)量，wt和vt分別是系統(tǒng)噪聲和與系統(tǒng)無關(guān)的測(cè)量噪聲，Bt和Dt是已知的時(shí)變矩陣，φ（·）和ψ（·）為已知的與狀態(tài)變量有關(guān)的函數(shù)，未知參數(shù)ηt和ξt滿足條件

式中，Btηtφ（xt-1）和Dtξtψ（xt）用于描述模型不確定性。

沿用KF理論的思想，REKF算法還是采用KF中的“預(yù)測(cè)-更新”結(jié)構(gòu)形式，即

但濾波增益陣Kt的設(shè)計(jì)方法與KF的不同。REKF的設(shè)計(jì)要求為：對(duì)于如式（7）和（8）所示的非線性不確定系統(tǒng)，設(shè)計(jì)Kt，使得估計(jì)誤差的方差Σt=不大于與Kt有關(guān)的正定矩陣序列Pt（t=0，1，2，…），并使Pt的值最小。其中，第一個(gè)要求的意義是保證濾波穩(wěn)定性；第二個(gè)要求的意義在于提高算法的估計(jì)精度。

REKF的設(shè)計(jì)方法為：首先，根據(jù)系統(tǒng)模型（7）、（8）和濾波器結(jié)構(gòu)形式（10）、（11）構(gòu)造估計(jì)誤差的表達(dá)式，并推導(dǎo)相應(yīng)的估計(jì)誤差方差陣的表達(dá)式；接著，應(yīng)用有關(guān)矩陣不等式的研究成果，得到Σt的上界Pt；然后，通過設(shè)計(jì)濾波增益陣Kt，使得估計(jì)誤差上界Pt最??；最后，結(jié)合具體系統(tǒng)中對(duì)模型不確定性的分析結(jié)果優(yōu)化濾波參數(shù)。所設(shè)計(jì)的濾波增益陣可通過如下定理進(jìn)行表述。

定理1.對(duì)于由式（7）和（8）描述的非線性不確定系統(tǒng)，假定條件（9）成立，如果存在正常數(shù)γ和矩陣L，使得下列離散Riccati差分方程

有正定解Pt，并且

那么，對(duì)于0≤t≤n，如式（10）和（11）所示的增益陣為

定理1中的矩陣Ft和Ht分別表示狀態(tài)方程和觀測(cè)方程的雅克比矩陣，At和Ct用于刻畫線性化誤差的大小，ψT（xt）]。具體的公式推導(dǎo)可參見文獻(xiàn)[7]。

與EKF算法不同，REKF的設(shè)計(jì)指標(biāo)不是使估計(jì)誤差最小，而是使估計(jì)誤差的上界最?。徊捎眠@一指標(biāo)的原因在于：存在模型不確定性的情況下，估計(jì)誤差方差陣Σt的表達(dá)式中存在未知參數(shù)，不能直接用于濾波增益的設(shè)計(jì)。注意到在REKF的設(shè)計(jì)過程中考慮了模型不確定性的影響，主要體現(xiàn)在不確定模型中的Btηtφ（xt-1）和Dtξtψ（xt）兩個(gè)誤差項(xiàng)。應(yīng)用REKF的關(guān)鍵是合理的選取Bt和Dt的值，使得所建立的不確定模型能夠有效地描述實(shí)際系統(tǒng)中不確定性的影響，具體的說，所選擇的Bt和Dt應(yīng)使式（9）所示條件得到滿足。

4 仿真結(jié)果

以軌道半長(zhǎng)軸為12275km，偏心率為0.0038，軌道傾角為109.8°的LAGEOS-1衛(wèi)星為例，驗(yàn)證本文提出的REKF算法的有效性。在仿真生成衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)的過程中，考慮了地球非球形引力、太陽引力、月球引力、太陽光壓和大氣阻力的影響。假設(shè)各航天器上X射線探測(cè)器的有效面積為1m2，取背景輻射光子流量FluxB=0.005photons/（cm2·s），分時(shí)段觀測(cè)3顆脈沖星B0531+21、B1821-24和B1937+21，航天器上的指向裝置每1000s進(jìn)行一次換向，TOA測(cè)量噪聲根據(jù)文獻(xiàn)[1]所述方法確定。設(shè)3顆脈沖星對(duì)應(yīng)的赤經(jīng)和赤緯誤差以及相應(yīng)的誤差界如表1所示。

表1 脈沖星星表誤差及其誤差界

相對(duì)于星表誤差而言，線性化誤差和軌道動(dòng)力學(xué)模型的建模誤差對(duì)估計(jì)精度影響較小，因此，仿真中忽略線性化誤差和軌道動(dòng)力學(xué)模型J2項(xiàng)以外的建模誤差，即選擇At、Bt和Ct為0矩陣。根據(jù)式（16）的要求，選擇γ=εmax（eig（LP0LT））0.5，L=I。設(shè)初始位置誤差為5km，初始速度誤差為10m/s，選擇系統(tǒng)噪聲方差陣其中q1=2×10-5m，q2=2×10-4m/s，初始估計(jì)誤差方差陣，其中p1=10km，p2=25m/s。TOA觀測(cè)量每100s進(jìn)行一次更新，仿真時(shí)間為L(zhǎng)AGEOS-1衛(wèi)星的3個(gè)軌道周期。

分別采用EKF和REKF算法進(jìn)行10組仿真，計(jì)算得到的三軸位置矢量的估計(jì)誤差均方根，如圖3所示。兩種濾波算法在最后一個(gè)軌道周期內(nèi)的位置估計(jì)誤差均方根如表2所示。在X射線脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)中，模型不確定性主要體現(xiàn)為星表誤差，赤經(jīng)和赤緯的誤差會(huì)對(duì)EKF性能產(chǎn)生不利影響。而REKF將有關(guān)脈沖星赤經(jīng)和赤緯的誤差界的先驗(yàn)知識(shí)用于濾波器的設(shè)計(jì)，所得的增益陣Kt能夠減小受星表誤差影響較大的TOA觀測(cè)量的修正作用，并充分發(fā)揮受星表誤差影響較小的TOA觀測(cè)量的作用。因此，對(duì)于受到星表誤差影響的脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)而言，REKF的性能優(yōu)于傳統(tǒng)EKF算法。

表2 REKF與EKF算法精度對(duì)比

圖3 EKF和REKF的估計(jì)誤差均方根曲線

5 結(jié) 論

本文研究了通過魯棒濾波技術(shù)來改善X射線脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)性能的方法。所提出的REKF算法將脈沖星赤經(jīng)和赤緯的誤差界用于建立不確定模型，并將不確定模型用于優(yōu)化濾波增益陣的設(shè)計(jì)，從而獲得了更加合理的濾波增益陣。因此，采用REKF算法能夠有效地削弱星表誤差的不利影響，改善脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的性能。

[1] Sheikh S I，Pines D J，et al.Spacecraft navigation using X-ray pulsars[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2006，29（1）：49-63

[2] Wood fork DW.The use of X-ray pulsars for aiding GPS satellite orbit determination[D].MS thesis，Department of the Air Force，Air University，2005

[3] Xiong K，Wei C L，Liu L D.The use of X-ray pulsars for aiding navigation of satellites in constellations[J].Acta Astronautica，to be published

[4] Seo J，Yu M J，Park C G，Lee JG.An extended robust H∞filter for nonlinear constrained uncertain systems[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2006，54（11）：4471-4475

[5] Calafiore G.Reliable localization using set-valued nonlinear filters[J].IEEE Transactions on System，Man，and Cybernetics-Part A：Systems and Humans，2005，35（2）：189-197

[6] 章仁為.衛(wèi)星軌道姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，1998

[7] 熊凱.基于脈沖星的空間飛行器自主導(dǎo)航技術(shù)研究[R].中國空間技術(shù)研究院博士后研究報(bào)告，2008

Application of Robust Filtering in Pu lsars-Based Navigation

XIONG Kai1，2，WEIChunling1，2，LIU Liangdong1，2
（1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China；2.National Laboratory of Space Intelligent Control，Beijing 100190，China）

The robust extended Kalman filter（REKF）is adopted to overcome the unfavorable effect of the pulsar's position error on the pulsar's navigation system in this paper.It is shown that the pulsar's position error can be seen a smodel uncertainty，and the effect of the uncertainty can be reduced by using the robust filtering technique.The performance of the REKF is illustrated in comparison with the standard EKF.Numerical simulation shows that the REKF is more accurate than the EKF for spacecraft navigation in the presence of pulsar's position error.

spacecraft；autonomous navigation；pulsar；extended Kalman filter；robust filter

V249.32

A

1674-1579（2008）06-0008-04

*國家自然科學(xué)基金（60702019）.

2008-07-16

熊 凱（1976-），男，北京人，博士后，主要研究方向?yàn)榉蔷€性濾波及航天器自主導(dǎo)航（e-mail：tobelove@yeah.net）。