故障模式下的空間交會防撞設(shè)計

盧 山，徐世杰

（北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100191）

故障模式下的空間交會防撞設(shè)計

盧 山，徐世杰

（北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100191）

針對軌道平面內(nèi)某一方向發(fā)動機失效的情況，利用控制力的耦合效應(yīng)，設(shè)計了航天器軌道轉(zhuǎn)移的控制律。利用碰撞概率計算公式分析航天器發(fā)生碰撞的可能性，并結(jié)合燃料消耗選擇一條碰撞概率小于給定的警戒值且燃料最優(yōu)的轉(zhuǎn)移軌道。最后通過仿真驗證了發(fā)動機失效情況下的主動防撞機動控制律的有效性。

交會對接；主動防撞；碰撞概率；發(fā)動機失效

1 引 言

隨著航天器交會對接任務(wù)的日益增多，尤其是自主交會技術(shù)的發(fā)展，空間交會的安全性成為一個不容忽視的問題。在設(shè)計交會軌跡時，任務(wù)專家會事先定義一條安全交會走廊，在該走廊內(nèi)，主動航天器即使發(fā)生推力失效等故障，也不會與目標(biāo)航天器發(fā)生碰撞，這種防撞方式稱為被動防撞[1-2]。而如果主動航天器超出了安全交會走廊，則需要采取主動防撞措施來避開目標(biāo)，一般可以根據(jù)C-W方程來設(shè)計防撞機動的控制律。

為了更準確地描述兩個航天器發(fā)生碰撞的可能性，文獻[3-5]提出了采用碰撞概率來表示兩個航天器碰撞可能性的方法，該方法通過定義安全區(qū)域包絡(luò)體和相對狀態(tài)誤差的協(xié)方差矩陣，求出任意時刻的碰撞概率密度，并在整個安全區(qū)域內(nèi)積分得到兩個航天器的碰撞概率。這種方法能定量地描述發(fā)生碰撞的可能性，并且將航天器的安全區(qū)域和相對狀態(tài)誤差都考慮在內(nèi)，具有全面性。但由于需要積分得到碰撞概率，會對星上判斷是否會發(fā)生碰撞的快速性產(chǎn)生影響。文獻[6]基于碰撞概率設(shè)計了主動防撞的軌道機動控制律。但是目前針對主動防撞的研究都忽略了一個問題，即主動航天器發(fā)生故障往往是由于某一方向上的發(fā)動機失效而無法噴氣，因此即使根據(jù)相應(yīng)的控制律得到機動所需要的推力，也有可能因為在某一方向上無法提供推力而造成主動防撞失敗。

本文利用軌道平面內(nèi)控制力的耦合效應(yīng)，設(shè)計某一方向發(fā)動機失效狀態(tài)下的軌道轉(zhuǎn)移控制律，同時利用簡化后的碰撞概率計算公式分析了航天器之間發(fā)生碰撞的可能性，最后設(shè)計出一條符合安全要求的主動防撞轉(zhuǎn)移軌道。

2 基于碰撞概率的空間安全分析

為了計算兩個航天器之間的碰撞概率，需要先定義安全區(qū)域包絡(luò)體和位置誤差3σ橢球。

（1）安全區(qū)域包絡(luò)體

每個航天器都需要定義一個安全區(qū)域，任何其他航天器都不能進入該區(qū)域，否則認為兩個航天器發(fā)生了碰撞。一般可以把航天器的安全區(qū)域定義為一個球體，該包絡(luò)體的中心為參考航天器中心。

（2）相對位置誤差3σ橢球

由于相對狀態(tài)的測量存在著誤差，假設(shè)該誤差可以用三維Gauss分布來描述，則相對位置誤差可以用協(xié)方差矩陣來表示，在空間描述為一個3σ橢球，該橢球的中心定義為主動航天器中心。兩者在空間的關(guān)系如圖1所示。

圖1 相對位置誤差橢球和安全區(qū)域包絡(luò)體

圖2表示根據(jù)碰撞概率設(shè)計的空間防撞流程。首先給定兩個航天器的初始相對狀態(tài)和預(yù)先設(shè)計好的安全防撞轉(zhuǎn)移的目標(biāo)位置，然后外推一段時間內(nèi)的相對位置和誤差協(xié)方差矩陣并計算每個時刻的瞬間碰撞概率。如果存在某一個時刻，碰撞概率大于給定的警戒值，則表明兩個航天器存在發(fā)生碰撞的可能性，主動航天器需要采取防撞機動，可以根據(jù)給定的初始相對位置和目標(biāo)位置，選擇一個機動時間。如果機動后的軌道外推得到的每個時刻的碰撞概率均小于警戒值，則該機動時間選擇合適，可以進行軌道機動。如果仍存在大于警戒值的時刻，則說明選擇的機動時間不合適，需要重新選擇時間并重復(fù)上述步驟，直至找到合適的機動時間。

圖2 空間防撞設(shè)計的流程

3 相對狀態(tài)誤差矩陣和碰撞概率

3.1 相對狀態(tài)誤差矩陣計算

定義目標(biāo)航天器的軌道坐標(biāo)系So，原點在目標(biāo)航天器的質(zhì)心，z軸沿徑向朝向地球，x軸垂直于z軸且沿速度方向，y軸符合右手定則，即沿軌道面負法線方向。

假設(shè)目標(biāo)航天器運行在圓軌道或近圓軌道上，在交會對接階段兩個航天器的距離較近，故相對運動可以用如下C-W方程來描述：

式中，x、y、z表示主動航天器相對于目標(biāo)航天器的位置在軌道坐標(biāo)系上的分量，n表示目標(biāo)航天器的軌道角速度。

上式是一個常系數(shù)線性微分方程組，可以得到其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

式中，t為轉(zhuǎn)移時間，C（nt）=cos（nt），S（nt）=sin（nt）。

設(shè)初始時刻相對狀態(tài)誤差的協(xié)方差矩陣為Cx0，則協(xié)方差矩陣的傳播方程為

3.2 碰撞概率計算

定義相對位置R=[x y z]T，取相對位置的誤差協(xié)方差矩陣，即協(xié)方差矩陣Cx的左上角的3×3子矩陣，記為CR。用符號‖CR‖表示行列式|CR|的絕對值。根據(jù)文獻[3]直接得到兩個航天器在t時刻的瞬時碰撞概率密度為

則t時刻的瞬時碰撞概率為概率密度在整個安全包絡(luò)體內(nèi)的積分，即

主動航天器在接近目標(biāo)的過程中，可以通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和協(xié)方差矩陣的傳播方程外推得到在一段時間內(nèi)任意時刻的相對狀態(tài)和誤差協(xié)方差矩陣，并根據(jù)式（6）積分得到任意時刻的碰撞概率。一旦在某一時刻的瞬時碰撞概率大于預(yù)先給定的安全值，則主動航天器可以提前采取機動措施防止發(fā)生碰撞。

但觀察式（6）也可以發(fā)現(xiàn)，在外推計算某一時刻的碰撞概率時都需要進行三維積分運算，而航天器上計算機的運算能力有限，這就大大降低了計算速度。對于安全防撞而言，實時性和快速性十分重要，同時通過文獻[5]的比較結(jié)果，可以近似認為在安全包絡(luò)體內(nèi)的概率密度是一致的，因此式（6）可以簡化為

式中Venvelope為安全包絡(luò)體的體積，由于在兩個航天器接近過程中安全包絡(luò)體的體積是恒定的，則瞬時碰撞概率的求解可以進一步簡化為求解瞬時碰撞概率密度ρ。由于瞬時碰撞概率密度的求解是一個簡單的外推計算過程，因此就可以大大縮短碰撞分析的時間，有利于主動航天器及時地發(fā)現(xiàn)碰撞危險，并迅速地采取防撞機動。

預(yù)先給定碰撞概率密度的安全警戒值ρsafe及外推一段時間內(nèi)的瞬時碰撞概率密度，可以得到該時間范圍內(nèi)最大碰撞概率密度ρmax，如果該值大于安全警戒值，則表明主動航天器需要提前采取防撞措施。

4 發(fā)動機故障情況下的軌道機動控制

主動航天器在得到需要采取防撞措施的指令后，可以根據(jù)C-W方程和預(yù)先指定的安全目標(biāo)點，采取合適的機動操作轉(zhuǎn)移至安全位置。但如果發(fā)生發(fā)動機失效的故障，根據(jù)C-W方程計算得到的主動航天器三軸軌道控制力可能會由于某一軸發(fā)動機的失效而無法實施，從而影響軌道轉(zhuǎn)移的效果，甚至在機動后仍然會出現(xiàn)碰撞事故。

從式（1）的C-W方程可以看出，垂直于軌道平面（y軸）的兩個航天器的相對運動是獨立的，而軌道平面內(nèi)（x軸和z軸）兩個航天器的相對運動是相互耦合的，因此，如果這兩個軸的某一軸發(fā)動機失效無法噴氣，則可以通過另一個軸的耦合作用進行噴氣控制。下面就針對軌道平面內(nèi)某一軸發(fā)動機失效的狀況設(shè)計控制律。

4.1 正常情況下軌道平面內(nèi)的C-W機動控制

考慮軌道平面內(nèi)的相對運動控制情況，式（2）的6×6矩陣可以簡化為只包含軌道平面內(nèi)相對狀態(tài)的4×4矩陣，即

式中R0、V0分別為初始時刻主動航天器相對于目標(biāo)航天器的位置和速度。ΔV=[ΔvxΔvz]T，即在機動初始時刻施加給主動航天器的速度增量。

當(dāng)給定目標(biāo)點的相對狀態(tài)，就可以直接求解上式得到軌道轉(zhuǎn)移機動需要的速度增量。

4.2 某一方向發(fā)動機失效時的C-W機動控制

假設(shè)主動航天器z軸的發(fā)動機失效無法噴氣，則軌道平面內(nèi)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣變成

z軸發(fā)動機失效情況下的C-W機動為

給定轉(zhuǎn)移的目標(biāo)位置R（tf），則展開上式后可以得到相對位置的方程為

由于Γ′12是列滿秩，可求得其廣義逆為

則x軸所需施加的速度增量為

若x軸的發(fā)動機失效無法噴氣，則可以省略狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中與Δvx有關(guān)的項，同樣采用上述方法，可計算得到所需Δvz的大小。

4.3 發(fā)動機開關(guān)邏輯設(shè)計

實際的航天器上發(fā)動機是以有限推力方式工作的，且存在測量誤差，因此需要實時地計算所需速度增量，當(dāng)速度增量達到某一閾值時發(fā)動機開機工作，當(dāng)小于某一閾值時關(guān)機。設(shè)開機閾值為Δ1，關(guān)機閾值為Δ2，且Δ1＞Δ2。一般Δ1與允許的速度誤差有關(guān)，Δ2與控制精度有關(guān)。發(fā)動機開機的判斷邏輯為：

式中，fx（k）表示k時刻x軸的控制加速度，fx（k-1）表示k時刻的前一步x軸控制加速度，a表示加速度大小。

5 仿真分析

設(shè)目標(biāo)航天器運行在600km高度的圓軌道上，主動航天器的質(zhì)量為200kg，6個方向均配備一臺10N的發(fā)動機，初始時刻主動航天器的+z軸發(fā)動機出現(xiàn)故障無法噴氣，此時初始相對狀態(tài)為X（0）=[-300 0-40 2.2 0 0.75]T，單位分別為m和m/s。給定初始相對狀態(tài)的誤差協(xié)方差矩陣為Cx0=diag｛2，2，2，0.1，0.1，0.1｝，碰撞概率密度警戒值ρsafe為1×10-7，安全區(qū)域包絡(luò)體的半徑為50m。選擇防撞機動的目標(biāo)位置為[300 0 0]m，機動時間范圍為[200 2500]s之間，即目標(biāo)航天器半個軌道周期之內(nèi)。

圖3表示選擇不同的機動時間t所對應(yīng)的最大碰撞概率密度和需要的機動速度增量Δv，根據(jù)給定的碰撞概率密度警戒值ρsafe，可以將機動時間分成兩個區(qū)域：一個是碰撞區(qū)，主動航天器選擇在該區(qū)域內(nèi)進行機動仍然存在與目標(biāo)航天器發(fā)生碰撞的可能；另一個是安全區(qū)，選擇在該區(qū)域內(nèi)進行機動可以保證兩個航天器的安全。同時還可以發(fā)現(xiàn)在該區(qū)域內(nèi)機動所需的速度增量隨著機動時間的增加而單調(diào)遞增，因此機動的時間越短越節(jié)省燃料，最終選擇機動時間為545s。

圖3 機動時間對最大碰撞概率密度和速度增量的影響

圖4和圖5分別顯示機動前后兩個航天器在軌道平面內(nèi)的相對運動軌跡和碰撞概率密度的變化。從圖4可以看到，機動前主動航天器會進入目標(biāo)航天器的安全區(qū)域，存在碰撞的可能，而機動后可以避開該安全區(qū)域，最終轉(zhuǎn)移至預(yù)定的安全區(qū)域。從圖5可以看到機動前的最大碰撞概率密度會達到9.5×10-7左右，而機動后的最大碰撞概率密度小于給定的警戒值。

圖4 機動前后的軌道平面內(nèi)的相對軌跡

圖5 機動前后的碰撞概率密度

圖6顯示主動航天器x軸和z軸的推力變化，可以發(fā)現(xiàn)+z軸由于發(fā)動機失效不再產(chǎn)生推力，而通過控制力的耦合作用，主動航天器最終仍然實現(xiàn)了有效的軌道轉(zhuǎn)移，驗證了控制律的有效性。

圖6 x軸和z軸的控制力

6 結(jié) 論

本文針對交會對接中，在軌道平面內(nèi)主動航天器某一方向發(fā)動機的失效情況，采用瞬時最大碰撞概率密度計算公式分析了兩個航天器發(fā)生碰撞的可能性，并結(jié)合軌道機動的燃料消耗選擇出一條最佳的防撞機動路徑。同時，設(shè)計了在缺少某一方向推力情況下的軌道轉(zhuǎn)移控制律，并通過仿真驗證了該控制律的有效性，為航天器安全防撞提供了一個選擇方案。

但本文所設(shè)計的控制律利用了軌道平面內(nèi)相對運動互相耦合的特點，因此對于軌道平面外（y軸）發(fā)動機失效的情況不再適用。

[1] Fehse W.Automated rendezvous and docking of spacecraft[M].Cambridge，UK：Cambridge University Press，2003

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[3] Patera R P.General method for calculating satellite collision probability[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，2001，24（4）：716-722

[4] Patera R P.Method for calculating collision probability between a satellite and a space tether[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，2002，25（5）：940-945

[5] 王華，李海陽，唐國金.飛行器碰撞概率計算的一般方法[J].國防科技大學(xué)學(xué)報，2006，28（4）：27-31

[6] 王華，李海陽，唐國金.基于碰撞概率的交會對接最優(yōu)碰撞規(guī)避機動[J].宇航學(xué)報，2008，29（1）：220-223

Collision Avoidance Design of Space Rendezvous in the Failure M ode

LU Shan，XU Shijie
（School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

A new control law of collision avoidance maneuver（CAM）is designed using coupling effect under a thruster failure.The collision probability is used to analyze the collision probability of two spacecrafts.And a transfer trajectory of orbitmaneuver with safe and optimal fuel consumption is able to be selected in combination with the analysis of collision probability and fuel consumption.Simulation results validate that the CAM control law is effective under a thruster failure.

rendezvous and docking；collision avoidance maneuver；collision probability；thruster failure

V412

A

1674-1579（2008）06-0039-05

2008-08-08

盧 山（1982-），男，浙江人，博士研究生，研究方向為空間飛行器制導(dǎo)、導(dǎo)航與控制（e-mail：buaals@sohu.com）。