巧用ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ證明不等式

盧偉峰

在很多問題中都涉及了這樣一個重要的不等式：當(dāng)x>-1且x≠0時，有l(wèi)n(1+x)

證：構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x，求導(dǎo)得f′(x)=1x+1-1.當(dāng)x>0時，則f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x在(0，+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)，則有f(x)0，所以函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x在(-1，0)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則有f(x)

變式 當(dāng)x>0且x≠1時，lnx0時，1+x

這個不等式及變式的應(yīng)用非常廣泛，下面結(jié)合幾個實例來加以說明.

例1 已知ai>0(i=1,2,…)，證明：a1+a2+a3+…+ann≥na1a2a3…an.

證：令A(yù)=a1+a2+a3+…+ann,因為aiA>0，則有l(wèi)naiA≤aiA-1(i=1,2,…)成立，所以lna1A+lna2A+…+lnanA≤a1A+a2A+…+anA-n=n-n=0,即lna1A+lna2A+…+lnanA≤0，即a1a2a3…anAn≤1，則An≥a1a2a3…an,即a1+a2+a3+…+ann≥na1a2a3…an得證.

評注：均值不等式的證明方法非常多，此法采用構(gòu)造重要不等式lnaiA≤aiA-1(i=1,2,…)來證明，更顯得格外的簡潔

明快.

例2 (2004全國，理22題改編)已知g(x)=xlnx，當(dāng)b>a>0時，求證：0

證：由g(a)+g(b)-2g(a+b2)=alna+blnb-(a+b)lna+b2=aln2aa+b+bln2ba+b,結(jié)合b-a2a>0,-1

-ln(1+b-a2a)>-b-a2a和ln2ba+b=-ln(1+a-b2b)>-a-b2b,所以aln2aa+b+bln2ba+b>-b-a2-a-b2=0,即0

綜上所述0

評注：這道題目的證明難度較大，問題在于學(xué)生不能很快的發(fā)現(xiàn)ln(1+x

)

例3 (2005重慶，理22改編)數(shù)列{an}滿足a1=1且當(dāng)n≥2時，有an≥2,an+1=(1+1n2+n)an+12n(n≥1)，證明：an

證：因為an≥2(n≥2)且a1=1,則有an+1=(1+1n2+n)an+12n≤(1+1n2+n+12n)an(n≥1)，對其兩邊取對數(shù)得：lnan+1≤ln(1+1n2+n+12n)+lnan

評注：解決此問題要有很強(qiáng)的目標(biāo)意識，注意到證明的目標(biāo)中含有特征數(shù)e

，此時我們聯(lián)想到自然對數(shù)，自然就考慮重要不等式，于是變換目標(biāo)結(jié)構(gòu)，即證lnan<2，再圍繞著目標(biāo)，對條件適當(dāng)放大產(chǎn)生積式，然后對于積式取對數(shù)，變成和式再迭加，從而問題得到解決.

例4 若數(shù)列{an}滿足a1∈(0，1)，an+1=ln(2-an)+an(n∈N*)，證明：0

分析：題目條件中具有結(jié)構(gòu)ln(2-an)=

ln［1+(1-an)］，所以考慮直接應(yīng)用重要不等式進(jìn)行證明.

證：當(dāng)n=1時，因為a1∈(0,1),a2=ln(2-a1)+a1=ln［1+(1-a1)］+a1<1-a1+a1=1且a2-a1=ln(2-a1)>0,則0

假設(shè)n=k時，ak+1=ln(2-ak)+ak,有00,∴0

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文