立體幾何中的軌跡問(wèn)題

胡燕麗

近幾年高考命題改革的一個(gè)重要方向是“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題”.軌跡問(wèn)題往往是在解析幾何中所涉及的，那么立體幾何中的軌跡問(wèn)題應(yīng)該如何處理呢?它與解析幾何中的軌跡問(wèn)題有什么聯(lián)系嗎?下面從不同的解題途徑來(lái)看立體幾何中的軌跡問(wèn)題.

一、常見軌跡

立體幾何中的常見軌跡有：

(1)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是球面.

(2)到一條定直線的距離為定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是底面半徑為定長(zhǎng)的圓柱面.

(3)到一個(gè)平面的距離為定值的點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)平行平面.

例1 直線m與平面α間距離為h，那么到直線m與平面α的距離都為2h的點(diǎn)的集合為().

A.一個(gè)平面 B.一條直線

C.空集 D.兩條直線

分析：到直線m的距離為2h的點(diǎn)的集合是一個(gè)圓柱面，而到平面α的距離為2h的點(diǎn)的集合是兩個(gè)平行平面，所求軌跡就是兩曲面相交所得的兩條直線.故答案選D.

例2 已知平面α∥平面β，直線m在平面α內(nèi)，點(diǎn)P∈m,α，β間的距離為8

，則在平面β內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10且到直線m的距離為9的點(diǎn)的軌跡是().

A.一個(gè)圓B.兩條直線

C.四個(gè)點(diǎn)D.兩個(gè)點(diǎn)

分析：答案為C.平面β內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，β內(nèi)到直線m的距離是9的點(diǎn)的軌跡是兩條平行直線，所以所求點(diǎn)的軌跡是他們的交點(diǎn)的集合.

二、空間軌跡平面化

“以空間圖形為載體的軌跡問(wèn)題”將立體幾何，解析幾何，平面幾何巧妙而自然的交匯在一起，立意新穎，構(gòu)思巧妙，極富思考性和挑戰(zhàn)性.

例3 (2004北京高考題)如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是().

A.直線 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線

分析：因?yàn)镃1D1⊥平面BC1，所以PC1即為點(diǎn)P到直線C1D1的距

離，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面BC1內(nèi)，點(diǎn)P到定點(diǎn)C1的距離與點(diǎn)P到直線BC的距離相等，根據(jù)拋物線的定義，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡應(yīng)為過(guò)CC1的中點(diǎn)的拋物線.故應(yīng)選D.

評(píng)注：本題主要考查拋物線的定義，線面垂直關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離概念.

立意新，角度好，有創(chuàng)意.解決此問(wèn)題的關(guān)鍵要善于把立體幾何中的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化到同一平

面上的距離，再應(yīng)用解析幾何的知識(shí).

例4 兩根直立的旗桿相距10m，高分別是6m和8m，地面上的點(diǎn)P到兩旗桿頂?shù)难鼋窍嗟龋驪在地面上的軌跡.

分析：如圖2，BD=6,AC=8,∠BPD=∠APC,∴PD∶PC=BD∶AC=3∶4,以直線DC為

x軸，線段DC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則D(-5，0)，C(5，0).設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則(x+5)2+y2(x-5)2+y2=34,化簡(jiǎn)整理得：7x2+7y2+250x+175=0，此方程對(duì)應(yīng)的曲線為圓.

評(píng)注：求解“以空間圖形為載體的軌跡問(wèn)題”的基本思路是：要善于把立體

幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面上，再聯(lián)合運(yùn)用平面幾何、立體幾何、解析幾何等知識(shí)去求解，實(shí)現(xiàn)立

體幾何到解析幾何的過(guò)渡.

例5 設(shè)異面直線a,b成60°角，他們的公垂線段為EF，且|EF|=2，線段AB的長(zhǎng)為4，兩端點(diǎn)A，B分別在a,b上移動(dòng).

(1)指出AB中點(diǎn)P的軌跡所在位置；

(2)求AB的中點(diǎn)P的軌跡.

分析：(1)如圖3，設(shè)EF的中點(diǎn)為O，而P為AB中點(diǎn)，故O，P在EF的中垂面上，

從而P點(diǎn)軌跡一定在EF的中垂面上.

(2)設(shè)A，B在面α的射影

為C，D.則由AP=PB=2得AC=BD=1.因?yàn)閍∥OC,b∥OD，所以∠COD=60°.

如圖4，在平面α內(nèi)，以O(shè)為原點(diǎn)，∠COD的角平分線為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.令C(3t1,t1),D(3t2,-t2),則P點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)滿足x=32(t1+t2),y=t1-t22.因?yàn)镃D=23,所以(3t1-3t2)2+(t1+t2)2=12,即x29+y2=1，故P點(diǎn)軌跡是EF的中垂面上以O(shè)為中心，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，短軸長(zhǎng)為2的橢圓.

評(píng)注：本題的關(guān)鍵是如何將動(dòng)點(diǎn)在空間所滿足的條件轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)在某個(gè)平面

內(nèi)所滿足的條件，再利用解析法求軌跡.若把條件中“異面直線a,b成60°角”改成“異面直線a,b成90°角”，則P點(diǎn)的軌跡為圓.

三、空間問(wèn)題向量化

我們知道，在空間直角坐標(biāo)系下，直線l的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x-x0X=y-y0Y=z-z0Z,平面的一般方程為：Ax+By+Cz+D=0(A，B，C不全為零)，以原點(diǎn)為球心的球面方程為：x2+y2+z2=r2.

例6 求到A(1，2，3)和B(2，-1，4)距離相等的點(diǎn)M的軌跡.

分析：由|AM|=|BM|，所以

(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=

(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2,化簡(jiǎn)整理得：2x-6y+2z-7=0，所求點(diǎn)M的軌跡為一平面，而且是AB的垂直平分面.

例7 已知A(1，2，-1)，B(2，0，2)，在xOz平面內(nèi)的點(diǎn)P到A與B的距離相等，求點(diǎn)P的軌跡方程.

分析：因?yàn)辄c(diǎn)P在xOz平面內(nèi)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0,z)，由AP=BP有：

(x-1)2+(-2)2+(z+1)2=

(x-2)2+02+(z+2)2，整理得：x+3z-1=0，即點(diǎn)P在xOz平面上的軌跡方程為x+3z-1=0，軌跡為一條直線.

評(píng)注：本題也可利用上題的結(jié)論，到兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)平

面，又在xOz平面上，所以點(diǎn)P的軌跡是兩個(gè)平面的交線，即直線.

通過(guò)這類問(wèn)題的解決，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，也有利于培養(yǎng)學(xué)生分類討論、化歸等數(shù)學(xué)意識(shí)及創(chuàng)新意識(shí).

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文