也談離心率相等的圓錐曲線都相似

李建潮　沈水榮

文［1］在直角坐標系下分別證明了離心率相等的橢圓、雙曲線是相似圖形及任意兩條拋物線是相似圖形(也為文［2］).出于圓錐曲線統(tǒng)一定義(平面內(nèi)與一個定點F的距離和到一條定

直線l的距離的比等于正常數(shù)e的點的軌跡叫做圓錐曲線)的考慮，本文擬通過極坐標系下圓

錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程統(tǒng)一處理“離心率相等的圓錐曲線都相似”，并建立與之相關的一

個新性質(zhì).

不失一般性，不妨設離心率都等于e的兩個圓錐曲線C1、C2的極坐標方程分別為

ρ=ep11-ecosθ (1)，ρ=ep21-ecosθ (2)

其中pi(i=1,2)分別為焦點F(即極點)到相應準線的距離.

由方程(1)、(2)易見，過焦點F與曲線C1相交的任意射線FK與曲線C2必相交.于是可設射線FK與曲線C1、C2分別相交于點A(ρA、θ)、B(ρB、θ)，即ρA=ep11-ecosθ,ρB=ep21-ecosθ,且|FA|=|ρA|,|FB|=|ρB|，于是|FA||FB|=|ρA||ρB|=p1p2.

由文［3］關于兩個圖形位似的定義，立知圓錐曲線C1與C2位似，且焦點F是它們的位似中心.據(jù)此，我們獲得：

定理1 離心率相等的圓錐曲線是相似圖形.

由以上定理一的極坐標證明我們已經(jīng)意識到：有關圓錐曲線統(tǒng)一性質(zhì)的獲取和證明極坐標法較直角坐標法要明快得多.在對圓錐曲線的公共屬性的認識上極坐標法較直角坐標法要深刻得多、思維形成上要自然得多.從美學角度講，極坐標法更能顯耀出圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程的形式美與和諧美.以下性質(zhì)的確立就是一面鏡子.

定理2 設圓錐曲線C1、C2的極坐標方程分別為ρ=ep11-ecosθ、ρ=ep21-ecosθ(其中e>0,p1>0,p2>0,且p1≠p2).過公共焦點F(即極點)的動射線FK分別交曲線C1、C2于點A、B，點M在直線AB上，滿足AM