從三則教學案例看數(shù)學問題情境的有效設(shè)計

劉智強

新課程實施以來，許多教師的教學理念發(fā)生了變化，在教學中都很注重問題情境的創(chuàng)設(shè)，出 現(xiàn)了一些優(yōu)秀的問題情境設(shè)計方案，也有一些情境設(shè)計只是講究外面的包裝，看似很新、 奇、亮，但不知道其真正的目的是什么?是否有效地達成了目標?

情境設(shè)計的有效性是指情境設(shè)計所指向教學目標的達成度，包括顯性目標和隱性目標的達成 度，以及情境設(shè)計所展現(xiàn)的教學過程是否適切、是否經(jīng)濟，包括45分鐘的課堂效率.

一個有效的情境設(shè)計，“應(yīng)該有鮮明的目標指向，能融數(shù)學教與學為一體，具有數(shù)學教學活 動的內(nèi)驅(qū)力，并使數(shù)學課堂具有自我生長性的立體的環(huán)境”［1］.

一個有效的情境設(shè)計應(yīng)該包括它的問題性、指向性、適切性、探究性、現(xiàn)實性、趣味性.一 個情境設(shè)計的有效性的標準是看是否設(shè)置了一種問題的環(huán)境、背景和條件，有助于學生的探 究、發(fā)現(xiàn)和體驗，“是否選擇了有效的最近發(fā)展區(qū)，有助于本節(jié)課的核心目標達成，是否重 視 了問題的呈現(xiàn)方式，有助于學生自主發(fā)現(xiàn)，是否關(guān)注了學生學習的元認知因素，有助于提升 問題的思維價值，是否強調(diào)了數(shù)學本質(zhì)的認識，有助于探究有價值的真實問題，是否注重了 策略方法的研究，有助于提供新的學習渠道”［2］.

案例1：折紙游戲與橢圓——情境設(shè)計需要講究適度

設(shè)計方案1：

1.生活實際例子及圖片顯示：汽車油罐的橫截面的輪廓，行星和衛(wèi)星運行的軌跡等.

2.動手畫橢圓：教師利用兩個圖釘，一條一定長的細線，一根粉筆，在小黑板上演示畫一個 橢圓的過程.

3.學生觀察畫橢圓過程，思考橢圓的特征.

4.給出橢圓定義，推導橢圓的標準方程.

評注：設(shè)計1以教師在黑板上用橢圓的機械畫法，引入橢圓定義以及焦點的概 念.生活實際例 子、圖片、機械畫法，所設(shè)置的情境指向明確，橢圓的機械畫法這種情境中蘊涵著橢圓內(nèi)部 的數(shù)學本質(zhì)聯(lián)系，粉筆到兩個圖釘?shù)木嚯x和等于細線的定長，但這種呈現(xiàn)方式過于顯性、直 接、簡單、容易.缺少探究的空間，幾乎是教師直接地、生硬地把概念“拋”給學生.本節(jié)課 的教學目標是橢圓定義的發(fā)生、橢圓方程的推導和簡單的應(yīng)用，其中探索橢圓定義是認識橢 圓并掌握橢圓方程的前提，因此，教學的重點是基于過程性的探索橢圓定義、方程和知識技 能性的簡單運用，從這個意義出發(fā)，該情境與本節(jié)課的核心目標達成有一定的距離和偏差.

設(shè)計方案2：

1.折紙活動：(如圖1)在一張圓形紙片內(nèi)部設(shè)置一不同于圓心的一點，折疊紙片，使圓的周 界上有一點落于設(shè)置點.如圖折疊數(shù)次，形成一系列折痕，它們整體地勾畫出一條曲線的輪 廓.

2.觀察、猜想：眾多折痕圍出一個橢圓.

3.幾何畫板動態(tài)演示折紙過程及形成的橢圓.

4.探究本質(zhì)特征，發(fā)現(xiàn)形成定義：橢圓上的點到點C、點O的距離和等于圓半徑，由學生概括 、教師補充，整理成定義.

5.根據(jù)橢圓定義，推導橢圓的標準方程.

評注：設(shè)計2引入了折紙活動，使原本單調(diào)、枯燥的數(shù)學變得生動、有趣.定 義的給出，不是 教師直接“拋”出的，而是學生自己發(fā)現(xiàn)、概括的.教師的工作是把教學設(shè)計成學生動手操 作、多媒體輔助、觀察猜想、揭示規(guī)律、引入定義、形成概念等一系列過程.從情境任務(wù)與 問題表達、情境對問題解決的暗示程度來看，折紙情境相比設(shè)計1中的機械畫法，較隱性、 間接，有一定的探究的空間，是在“最近發(fā)展區(qū)”的一種恰當?shù)亩?

案例2：e值的討論與拋物線——情境設(shè)計需要講究適時

設(shè)計方案：

1.折紙游戲：閱讀游戲規(guī)則，動手操作折紙(如圖2).

2.觀察、發(fā)現(xiàn)1：折線的交點是拋物線.

3.幾何畫板動態(tài)演示折紙過程及拋物線(如圖3).

4.探究、發(fā)現(xiàn)2：拋物線上的點到定點的距離等于到紙邊的距離.

5.形成定義、推導拋物線標準方程.

6.知識應(yīng)用和變式練習.

評注：如果孤立地看這個設(shè)計，和上述橢圓的設(shè)計一樣是個很有效的情境設(shè) 計.但從圓錐曲 線整個單元系統(tǒng)來看，采用復習橢圓、雙曲線的統(tǒng)一定義，由對離心率e<1、e>1的分類討 論 ，引出問題e=1，并直接告訴拋物線定義，進而推導拋物線方程.這種方式自然、直接、省時 ，在這節(jié)課的三個教學目標，拋物線定義、方程推導、性質(zhì)應(yīng)用的實施中可以重心適當后移 ，更經(jīng)濟、高效地達成教學目標.有效的情境設(shè)計應(yīng)該是“一章節(jié)(單元)教學中情境—問題 教學的總體設(shè)計”［3］，所以說從整個單元系統(tǒng)來看，這個設(shè)計不適時.

同樣另外的幾種情境的設(shè)計，都不是很適切.一種是通過多媒體展現(xiàn)生活中拋物線的現(xiàn)象， 如姚明投籃、紹興橋的圖片等，從現(xiàn)象引入課題，直接給出定義，豐富、精美的畫面能很好 地渲染氣氛、調(diào)動學生情緒，也能直觀地、簡單地說明拋物線的現(xiàn)實性，但缺少對拋物線定 義本質(zhì)的揭示過程.另一種是從一個具體的應(yīng)用問題情境引入課題，直接給出拋物線定義， 如紹興環(huán)城河的水位、船載物高度與紹興廊橋的形狀及通航的關(guān)系等具體情景，這種現(xiàn)實生 活中具有挑戰(zhàn)性的問題，學生運用已有知識無法解決的問題情境，能使學生在實際情境中產(chǎn) 生“疑”，但情境與定義的發(fā)生沒有聯(lián)系.

案例3：李白和酒杯中的數(shù)學——情境不只是為了渲染

設(shè)計方案1：

1.多媒體播放李白的資料：生平、畫像、詩詞，所用時間1分鐘.

2.配音朗誦并分析李白的《將進酒》：詩深沉渾厚，氣象不凡.情極悲憤狂放，語極豪縱 沉著，大起大落，奔放跌宕.詩句長短不一，參差錯綜，節(jié)奏快慢多變，一瀉千里等等，所 用時間8分鐘.

3.用“莫使金木尊空對月”引出“酒杯”：“人生得意 須盡歡，莫使金木尊空對月.天生我材必有用，千金散盡 還復來.”其中的“金木尊”為何意?——酒杯，所用時 間1分鐘.

4.介紹酒杯(課件演示)：直角酒杯、橢圓酒杯、拋物線酒杯(按酒杯的軸截面形狀分)，所用 時間1分鐘.

5.酒杯中的數(shù)學1：如果已知一拋物線酒杯，我們測量得杯口寬4cm，杯深8cm，能 否求出該拋物線方程?通過練習，復習拋物線的定義、標準方程等問題，為后面的探究在知 識上做好鋪墊，所用時間3分鐘.

6.酒杯中的數(shù)學2：定長為2的細棒AB的兩個端點在拋物線酒杯x²=1/2y 上移動，記線段AB的中點為M，求點M到x軸的最短距離，并求此時點M的坐標.

評注：這是一節(jié)拋物線知識的應(yīng)用課，感覺

從聲音、畫面、情境都很有感染力，但前面的14 分鐘，只引出了酒杯，不經(jīng)濟，浪費時間.從李白、酒杯到酒杯中的數(shù)學，這樣的故事情境 具有一定的人文性和生活化，但情境指向的僅僅是酒杯，不是本節(jié)課的本質(zhì)問題，這樣的情 境太重形式，表面的東西，沒有意義.設(shè)計中的1至4步與課的目標及內(nèi)容沒有什么聯(lián)系，遠 離數(shù)學本質(zhì)，為情境化而設(shè)計情境.

設(shè)計方案2：

1.李白豪飲、狂書、甩筆：假如李白一手握杯，一手執(zhí)筆.先將美酒一飲而盡，將酒杯置于 身后.然后揮筆草書《將進酒》.寫完后，甩筆，恰入酒杯中.假設(shè)此杯為大號拋物線酒杯， 因唐朝制杯工藝優(yōu)秀，古杯壁光滑可忽略摩擦，現(xiàn)視筆為粗細均勻的細棒.問題當筆最后達 到平衡狀態(tài)時，筆在酒杯中的位置如何?(課件演示).

2.從物理學科角度看：“物體處于平衡位置與其重心有什么關(guān)系”?(細棒的中心即細棒的重 心處于最低位置).

3.請學生編寫數(shù)學題：“根據(jù)上述現(xiàn)象的結(jié)論，舉例編寫出數(shù)學問題”.

4.酒杯中的數(shù)學：定長為2的線段AB的兩個端點在拋物線x²=1/2y上移 動，記線段AB的中點為M，求點M到x軸的最短距離，并求此時點M的坐標.

評注：“李白豪飲、狂書、甩筆”的故事情境，描述了筆“從滑動到最后平 衡狀態(tài)”的物理現(xiàn)象，情境設(shè)計中的2、3兩個“問題串”，引導學生從物理的角度揭示問題 本質(zhì)，進一步數(shù)學化為本節(jié)課的核心問題.與設(shè)計1比較，這樣的情境既有故事的趣味性、又 有 問題的本質(zhì)的東西，這樣的“問題串”“適度”，能“引導學生從實際情境中發(fā)現(xiàn)問題，并 歸結(jié)為數(shù)學模型，嘗試用數(shù)學知識和方法去解決問題.”［4］

有效的數(shù)學情境設(shè)計“不要脫離課堂教學目標”，“為情境而設(shè)置情境”，不要刻意追求“ 為課件而制作課件”.要恰當處理“復雜的情境”，要注重“虛擬情境”中的數(shù)學信息探析 ，要處理好核心知識學習與學生興趣的關(guān)系”.［5］

參考文獻

［1］黃翔，李開慧.關(guān)于數(shù)學課程的情境化設(shè)計［J］.課程教材教法，2006(9)：39-43.

［2］李曉明.例說“情境”中問題設(shè)置的改造［J］.數(shù)學教學，2006(7)：0-2.

［3］呂傳漢，汪秉.論中小學“數(shù)學情境與提出問題”的教學［J］.數(shù)學教育學報，2006(5 )：74-79.

［4］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準［S］.北京：人民教育出版社，2003.1 09.

［5］呂傳漢，汪秉.論中小學“數(shù)學情境與提出問題”的教學［J］.數(shù)學教育學報，2006(5 )：74-79.