也談利用柯西不等式及其推論證明不等式

陳唐明

文［1］在分析文［2］解題過程后，從柯西不等式出發(fā)，推導(dǎo)出兩個(gè)推論(推論1和推論2)，并通過舉例試圖說明利用這兩個(gè)推論可方便迅速地解決很多不等式證明問題.筆者仔細(xì)研讀后，發(fā)現(xiàn)文［1］中給出的方法比文［2］的方法方便得多；但同時(shí)也發(fā)現(xiàn)文［1］對(duì)柯西不等式表達(dá)不夠嚴(yán)謹(jǐn)，給出的兩個(gè)推論過于特殊化(受條件∑ni=1ai=1的限制)，制約了解題效益的提高.筆者發(fā)現(xiàn)通過配湊直接使用柯西不等式或利用柯西不等式的變式將會(huì)使文［1］中所舉兩個(gè)例題的證明變得更加簡(jiǎn)潔明晰.

下面讓我們先回顧一下柯西不等式：

(∑ni=1x²i)(∑ni=1y2i)≥(∑ni=1xiyi)2，其中xi,yi∈R,i=1,2,…，n(1)，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn=0或yi=kxi(k為常數(shù)，i=1,2,…，n)時(shí)等號(hào)成立.

文［1］中此處遺漏了x1=x2=…=xn=0，是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，因?yàn)楫?dāng)y1,y2,…,yn不全為零且x1=x2=…=xn=0時(shí)等號(hào)亦成立.(筆者查閱了大量的報(bào)刊雜志和數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)書籍，幾乎全是這樣的寫法，可見此謬流傳久矣!)

例1(文［1］中例2)已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1.求證：a3+b3+c3≥a2+b2+c23.

分析：條件a+b+c=1正好適合文［1］中推論1的條件∑ni=1ai=1，故文［1］采用推論1證明，筆者下面給出通過配湊直接運(yùn)用柯西不等式證明，亦顯簡(jiǎn)潔明晰.

證明：由條件，左邊=(a+b+c)(a3+b3+c3)=［(a)2+(b)2+(c)2］?［(a3)2+(b3)2+(c3)2］(*)≥(a?a3+b?b3+c?c3)2，即左邊≥(a2+b2+c2)2.

下面只需證明(a2+b2+c2)2≥a2+b2+c23，即需證3(a2+b2+c2)≥1.而3(a2+b2+c2)=(12+12+12)(a2+b2+c2)(**)≥(a+b+c)2=1,知原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng)aa3=bb3=cc3，即a=b=c時(shí)(*)處等號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)1a=1b=1c，即a=b=c時(shí)(**)處等號(hào)成立.所以，知a=b=c時(shí)原不等式等號(hào)成立.

在(1)式中令x²i=a2ibi,y2i=bi(ai∈R,bi∈R+)，即得推論：

柯西變式 ∑ni=1a2ibi≥(∑ni=1ai)2∑ni=1bi,當(dāng)且僅當(dāng)a1b1=a2b2=…= anbn時(shí)等號(hào)成立.

例2 (文［1］中例1)求證：a2b+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c≥a+b+c，其中a,b,c為△ABC三邊.

分析：文［1］為了能利用推論1的條件∑ni=1ai=1費(fèi)了不少周折湊出常數(shù)“1”，過于繁瑣，而直接運(yùn)用柯西變式，證明將非常簡(jiǎn)潔.

證明：由柯西變式知左邊≥(a+b+c)2(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c，即原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng)ab+c-a=bc+a-b=ca+b-c，即a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

注：本題亦可通過配湊直接運(yùn)用柯西不等式，證明如下：

由［(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)］?(a2b+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c)=［(b+c-a)2+(c+a-b)2+(a+b-c)2］?［(ab+c-a)2+(bc+a-b)2+(ca+b-c)2］≥(a+b+c)2，整理即得.

需要說明的是，柯西變式在解決分式不等式證明問題時(shí)非常實(shí)用，特別是含n的分式不等式問題，下面舉例說明.

例3 設(shè)a1,a2,…，an是正數(shù)，且∑ni=1ai=p(p為常數(shù))，試證明：a21a1+a2+a22a2+a3+a2n-1猘n-1+an+a2nan+a1≥p2.

證明：由柯西變式，左邊≥

(a1+a2+…+an)2(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an-1+an)+(an+a1)，

即左邊≥p22p=p2.

例4 設(shè)ai,bi∈R(i=1,2,…，n)，且∑ni=1ai=∑ni=1bi，求證：∑ni=1a2iai+bi≥12∑ni=1ai.

證明：由柯西變式，左邊≥(∑ni=1ai)2∑ni=1(ai+bi)=(∑ni=1ai)2∑ni=1ai+∑ni=1bi=(∑ni=1ai)2∑ni=1ai+∑ni=1ai=12∑ni=1ai，即原不等式成立.

參考文獻(xiàn)

［1］徐國(guó)平.柯西不等式的兩個(gè)推論及其應(yīng)用.中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西師大)，2006(8).

［2］王勝林，衛(wèi)賽平.證明不等式的幾種特殊方法.數(shù)學(xué)通訊，2004(11).