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    一類三元分式不等式及其證明

    2008-12-09 03:32:30
    中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年10期
    關(guān)鍵詞:綜上柯西正數(shù)

    宋 慶

    本文旨在介紹幾個新穎有趣的三元分式不等式,并給出它們的巧妙證明.

    例1 已知a,b,c為滿足abc=1的正數(shù),求證:12+a+12+b+12+c≤1.

    證明:因bc+ca+ab≥33abc=3,

    故1-(12+a+12+b+12+c)

    =1-bc+ca+ab+4(a+b+c)+12(2+a)(2+b)(2+c)

    =bc+ca+ab-3(2+a)(2+b)(2+c)≥0,從而,原不等式成立.

    注1:比較法是不等式證明中的一種常用方法,輔以均值不等式進行放縮是其重要手段.

    例2 已知a,b,c為滿足abc=1的正數(shù),求證:1(1+a)2+1(1+b)2+1(1+c)2≥34.

    證明:因(a+b)(1+ab)=b(1+a)2+a(1-b)2≥b(1+a)2,

    故1(1+a)2≥b(a+b)(1+ab).

    同理1(1+b)2≥a(a+b)(1+ab).以上兩式相加,便得1(1+a)2+1(1+b)2≥11+ab.

    因此,要證原不等式,只要證11+ab+1(1+c)2≥34赾1+c+1(1+c)2≥344c(1+c)+4≥3(1+c)2(c-1)2≥0.

    綜上,原不等式成立.

    注2:選擇合適的放縮技巧,是不等式證明的關(guān)鍵.

    例3 已知a,b,c為滿足abc=1的正數(shù),求證:11+b+c+11+c+a+11+a+b≤1.

    證明:因b+c-3bc(3b+3 c)=(3b+3c)(3b-3c)2≥0,故b+c≥3bc(3b+3c).于是,可得11+b+c≤13bc(3a+3b+ 3c)=3a3a+3b+3c.同理11+c+a≤3b3a+3b+3c,11+a+b≤3c3a+3b+3c.以上三式相加,便得原不等式.

    注3:解題兵法之一:靈活機動,各個擊破.

    例4 已知a,b,c為滿足abc=1的正數(shù),求證:a2+a2+b2+b2+c2+c2≤1.

    證明:a2+a2≤a1+2a,b2+b2≤b1+2b,c2+c2≤c1+2c,此三式相加,整理可得a1+a2+b2+b2+c2+c2≤32-12(11+2a+11+2b+11+2c).因此,要證原不等式,只要證11+2a+11+2b+11+2c≥1.

    令a=xy,b=yz,c=zx(x,y,z為正數(shù)),則由柯西不等式可得

    11+2a+11+2b+11+2c=y2y(y+2x)+z2z(z+2y)+x2x(x+2z)

    ≥(x+y+z)2y(y+2x)+z(z+2y)+x(x+2z)=1.

    綜上,原不等式成立.

    注4:化繁為簡是解題的一個方向;換元是轉(zhuǎn)化的一個手段.

    例5 已知a,b,c為滿足abc=1的正數(shù),求證:11+a+a2+11+b+b2+11+c+c2≥1.

    證明:令a=yzx2,b=zxy2,c=xyz2(x,y,z為正數(shù)),則原不等式等價于x4x4+x2yz+y2z2+y4y4+y2zx+z2x2+z4z4+z2xy+x2y2≥1.

    由簡單不等式y(tǒng)2z2+z2x2+x2y2≥x2yz+y2zx+z2xy及柯西不等式可得(x2+y2+z2)2(x4x4+x2yz+y2z2+y4y4+y2zx+z2x2+z4z4+z2xy+x2y2)≥[(x4+x2yz+y2z2)+(y4+y2zx+z2x2)+(z4+z2xy+x2y2)]?(x4x4+x2yz+y2z2+y4y4+y2zx+z2x2+z4z4+z2xy+x2y2)≥(x2+y2+z2)2.

    綜上,原不等式成立.

    注5:沒有“做不到”,只有“想不到”.

    例6 已知a,b,c為滿足abc=1的正數(shù),求證:(b+c)(c+a)(a+b)a+b+c-1≥4.

    證明:不妨設(shè)a≥1.原不等式等價于a2(b+c)+a(b2+c2)+bc(b+c)+6-4(a+b+c)≥0赼2(b2+c2)+(bc-3)(b+c)+3+[a2(b2+c2)-1]+[(a2-1)(b+c)-4(a-1)]≥0赼2(b+c)2+(1a-3)(b+c)+2+12(bc+cb-2)+(a-1)(b+1b+c+1c-4)≥0.

    因此,要證原不等式,只要證a2(b+c)2+(1a-3)(b+c)+2≥0,即只要證(1a-3)2-4?a2?2≤04a3-(3a-1)2≥0,4a3-(3a-1)2=4a3-[3(a-1)+2]2=4(a3-1)-9(a-1)2-12(a-1)=(a-1)[4(a2+a+1)-9(a-1)-12]=(a-1)(4a2-5a+1)=(a-1)2(4a-1)≥0.綜上,原不等式成立.

    注6:本例的證題思路在變形、轉(zhuǎn)化過程中逐漸凸現(xiàn).

    不等式的證明沒有固定程式,證法因題而異,靈活多變,除了掌握一些常用的基本方法外,代數(shù)變形能力和運算能力是成功證明不等式的關(guān)鍵.

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