２００８年高考圓錐曲線(xiàn)的考查熱點(diǎn)

鄭一平

求曲線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)、取定值、是定直線(xiàn)問(wèn)題是2008 年全國(guó)高考圓錐曲線(xiàn)試題中出現(xiàn)最多的題型.由于它在解題之前不知道定點(diǎn)、定值、定直線(xiàn)的結(jié)果情況，需要利用所學(xué)知識(shí)推理判斷結(jié)果的可能性.通過(guò)這些問(wèn)題的解決可以考查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)探索推理解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),因而受到命題者的青睞.解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在運(yùn)動(dòng)中尋求定點(diǎn)、定值、定直線(xiàn)的“不變”性，或通過(guò)探索先確定出定點(diǎn)、定值、定直線(xiàn)的可能性，將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，再進(jìn)行推理論證，從而找到解決問(wèn)題的突破口.下面對(duì)2008年全國(guó)各地高考解析幾何中涉及的曲線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)、取定值、定直線(xiàn)問(wèn)題以及圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中的探索推理問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)分析.

1 曲線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是先求滿(mǎn)足條件的曲（直）線(xiàn)方程，再根據(jù)曲（直）線(xiàn)方程的特征探求符合條件的定點(diǎn).

圖1

例1 （廣東卷18）．設(shè)b>0，橢圓方程為x22b2+y2b2=1，拋物線(xiàn)方程為x2=8(y-b)．如圖1所示，過(guò)點(diǎn)F(0,b+2)作x軸的平行線(xiàn)，與拋物線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為G，已知拋物線(xiàn)在點(diǎn)G的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F1．

（1）求滿(mǎn)足條件的橢圓方程和拋物線(xiàn)方程；

（2）設(shè)A,B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

分析與略解：

（1）由x2=8(y-b)得y=18x2+b，

由y=b+2得x=±4，所以G點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,b+2)，y′=14x，y′|x=4=1

，過(guò)點(diǎn)G的切線(xiàn)方程為y-(b+2)=x-4即y=x+b-2，

令y=0得x=2-b，所以F1點(diǎn)的坐標(biāo)為(2-b,0)，由橢圓方程得F1點(diǎn)

的坐標(biāo)為(b,0)，

所以2-b=b即b=1，則橢圓和拋物線(xiàn)的方程分別為x22+y2=1和x2=8(y-1)；

（2）因?yàn)檫^(guò)A作x軸的垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)P,所以以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個(gè)，

同理以∠PBA為直角的Rt△ABP只有一個(gè).

若以∠APB為直角，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,18x2+1)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0)和(2,0)，PA·PB=x2-2+(18x2+1)2=164x4+54x2-1=0.

關(guān)于x2的二次方程有一大于零的解，所以x有兩解，即以∠APB為直角的Rt△ABP有兩個(gè)，

因此拋物線(xiàn)上存在四個(gè)點(diǎn)使得△ABP為直角三角形.

評(píng)析 （1）由條件直接利用所學(xué)知識(shí)容易解決.（2）中要探究在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形，首先要明確△ABP中哪一個(gè)為直角，因此必須對(duì)角進(jìn)行分類(lèi)討論，再結(jié)合直角滿(mǎn)足的條件及有關(guān)知識(shí)去解決.

2 代數(shù)式取定值問(wèn)題

解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)條件求出滿(mǎn)足條件且所要求（證）與定值有關(guān)的關(guān)系式，進(jìn)而考慮變形化簡(jiǎn)逐漸向所要求的定值方向推證，達(dá)到問(wèn)題的解決.

例2 （浙江卷20）已知曲線(xiàn)C是到點(diǎn)P（-12,38）和到直線(xiàn)y=-58距離相等的點(diǎn)的軌跡.l是過(guò)點(diǎn)Q（-1，0）的直線(xiàn)，M是C上（不在l上）的動(dòng)點(diǎn)；A、B在l上，MA⊥l,MB⊥x軸（如圖2）.

（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的方程；（Ⅱ）求出直線(xiàn)l的方程，使得|QB|2|QA|為常數(shù).

圖2分析與略解 （Ⅰ）設(shè)N(x,y)為C上的點(diǎn)，則|NP|=(x+12)2+(y-38)2，N到直線(xiàn)y=-58的距離為|y+58|．

由題設(shè)得

(x+12)2+(y-38)2=|y+58|．

化簡(jiǎn)，得曲線(xiàn)C的方程為y=12(x2+x)．

（Ⅱ）解法一 設(shè)M(x,x2+x2)，直線(xiàn)l:y=kx+k，則B(x,kx+k)

，從而|QB|=1+k2|x+1|．

在Rt△QMA中，因?yàn)閨QM|2=(x+1)2(1+x24)，|MA|2=(x+1)2(k-x2)21+k2．

所以|QA|2=|QM|2-|MA|2=(x+1)24(1+k2)(kx+2)2.|QA|=|x+1|·|kx+2|21+k2，|QB|2|QA|=2(1+k2)1+k2|k|·x+1x+2k.

當(dāng)k=2時(shí)，|QB|2|QA|=55，從而所求直線(xiàn)l方程為2x-y+2=0．

圖3

解法二 設(shè)M(x,x2+x2)，直線(xiàn)l:y=kx+k，則B(x,kx+k)，從而|QB|=1+k2|x+1|.

過(guò)Q(-1,0)作垂直于l的直線(xiàn)l1:y=-1k(x+1)．

因?yàn)閨QA|=|MH|，

所以|QA|=|x+1|·|kx+2|21+k2，

|QB|2|QA|=2(1+k2)1+k2|k|·x+1x+2k．

當(dāng)k=2時(shí)，|QB|2|QA|=55，從而所求直線(xiàn)l方程為2x-y+2=0．

評(píng)析 （Ⅰ）由條件容易用直接法解決.（Ⅱ）由l是過(guò)點(diǎn)Q（-1，0）的直線(xiàn)，考慮用點(diǎn)斜式設(shè)直線(xiàn)方程，根據(jù)條件只要求出斜率即可.由條件列出|QB|2|QA|關(guān)于k的關(guān)系式，觀察關(guān)系式中使其為常數(shù)時(shí)k的值.本題的難點(diǎn)就在于由條件列出|QB|2|QA|關(guān)于k的關(guān)系式后無(wú)法觀察判斷求得k的值，結(jié)果半途而廢.

3 點(diǎn)在定直線(xiàn)上或滿(mǎn)足條件的結(jié)果為定直線(xiàn)問(wèn)題

例3 （安徽卷22）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)M(2,1)，且左焦點(diǎn)為F1(-2,0).

（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A,B時(shí)，在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)Q，滿(mǎn)足|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|，證明：點(diǎn)Q總在某定直線(xiàn)上.

分析與略解 (Ⅰ)由題意：c2=22a2+1b2=1c2=a2-b2，解得a2=4,b2=2，所求橢圓方程為x24+y22=1.

(Ⅱ)方法一設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2).

由題設(shè)知|AP|,|PB|,|AQ|,|QB|均不為零，記λ=|AP||PB|=|AQ||QB|,則λ>0且λ≠1，又A，P，B，Q四點(diǎn)共線(xiàn)，從而AP=-λPB,AQ=λQB

于是4=x1-λx21-λ，1=y1-λy21-λ，x=x1+λx21+λ，y=y1+λx21+λ

,從而x21-λ2x221-λ2=4x，……（1）y21-λ2y221-λ2=y，……（2）

又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即x21+2y21=4，……(3),x22+2y22=4,……(4).

（1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得4x+2y=4，即點(diǎn)Q(x,y)總在定直線(xiàn)上2x+y-2=0上.

方法二 設(shè)點(diǎn)Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)，由題設(shè)，|PA|,|PB|,|AQ|,|QB|均不為零.

且|PA||AQ|=|PB||QB|，又P,A,Q,B四點(diǎn)共線(xiàn)，可設(shè)PA=-λAQ,PB=λBQ(λ≠0,±1),于是

x1=4-λx1-λ,y1=1-λy1-λ （1），x2=4+λx1+λ,y2=1+λy1+λ（2）.

由于A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程x2+2y2=4并作差,

整理得8(2x+y-2)λ=0,因?yàn)棣恕?,所以2x+y-2=0.

即點(diǎn)Q(x,y)總在定直線(xiàn)2x+y-2=0上.

評(píng)析 （Ⅰ）由條件容易解決.（Ⅱ）由于在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)Q，滿(mǎn)足|AP|·|QB|·=|AQ|·|PB|，兩不同點(diǎn)A，B在橢圓C上，故涉及多參數(shù)問(wèn)題，考慮利用線(xiàn)段定比分點(diǎn)公式結(jié)合有關(guān)知識(shí)解決，其中多參數(shù)的消參問(wèn)題是難點(diǎn)，要善于觀察、分析、比較.

4 探索曲線(xiàn)在某條件下是否過(guò)定點(diǎn)或代數(shù)式在某條件下是否取定值

這類(lèi)問(wèn)題是一類(lèi)思考性、邏輯性很強(qiáng)的問(wèn)題，要有一定的邏輯推理能力和分析解決問(wèn)題能力方能奏效，是近年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.

圖4

例4 （山東卷22)如圖4，設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2=2py(p＞0),M為直線(xiàn)y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B.

（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2p）時(shí)，|AB|=410，求此時(shí)拋物線(xiàn)的方程；

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D在拋物線(xiàn)x2=2py(p>0)上，其中，點(diǎn)C滿(mǎn)足OC=OA+OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析與略解 （Ⅰ）證明：由題意設(shè)A(x1,x212p),B(x2,x222p),x1

由x2=2py得y=x22p，

則y′=xp,

所以kMA=x1p,kMB=x2p.

因此直線(xiàn)MA的方程為y+2p=x1p(x-x0),直線(xiàn)MB的方程為y+2p=x2p(x-x0).

所以x212p+2p=x1p(x1-x0),①，

x222p+2p=x2p(x2-x0).②

由①、②得x1+x22=x1+x2-x0,因此x0=x1+x22，即2x0=x1+x2.

所以A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)x0=2時(shí)，

將其代入①、②并整理得：x21-4x1-4p2=0,x22-4x2-4p2=0k,所以x1、x2是方程x2-4x-4p2=0的兩根，因此x1+x2=4,x1x2=-4p2,

又kAB=x222p-x212px2-x1=x1+x22p=x0p,所以kAB=2p.

由弦長(zhǎng)公式得|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+4p216+16p2.

又|AB|=410，所以p=1或p=2，因此所求拋物線(xiàn)方程為x2=2y或x2=4y.

（Ⅲ）解：假設(shè)存在點(diǎn)M滿(mǎn)足條件，設(shè)D(x3,y3)，由題意得C(x1+x2, y1+y2)，則CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x1+x2+x32,y1+y2+y32),設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y-y1=x0p(x-x1),

由點(diǎn)Q在直線(xiàn)AB上，并注意到點(diǎn)(x1+x22,y1+y22)也在直線(xiàn)AB上，代入得y3=x0px3.

若D（x3,y3）在拋物線(xiàn)上，則x23=2py3=2x0x3,因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或

D(2x0,2x20p).

（1）當(dāng)x0=0時(shí)，則x1+x2=2x0=0，此時(shí)，點(diǎn)M(0,-2p)適合題意.

（2）當(dāng)x0≠0，對(duì)于D(0，0)，此時(shí)C(2x0,x21+x222p),kCD=x21+x222p2x0=x21+x224px0,

又kAB=x0p,AB⊥CD，所以kAB·kCD=x0p·x21+x224px0=x21+x224p2=-1,即x21+x22=-4p2,矛盾.

對(duì)于D(2x0,2x20p),因?yàn)镃(2x0,x21+x222p),此時(shí)直線(xiàn)CD平行于y軸，又

kAB=x0p≠0,所以直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD不垂直，與題設(shè)矛盾，所以x0≠0時(shí)，不存在符合題意的M點(diǎn).

綜上所述，僅存在一點(diǎn)M(0，-2p)適合題意.

評(píng)析 探索是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D在拋物線(xiàn)x2=2py(p>0)上的關(guān)鍵是先假設(shè)滿(mǎn)足條件的定點(diǎn)M存在，再根據(jù)假設(shè)結(jié)合所掌握的知識(shí)進(jìn)行推理，以達(dá)到求解目的.

5 探索推理問(wèn)題

由于新課程增加了《推理與證明》內(nèi)容，高考把對(duì)思維能力的考查作為考查能力的核心，加強(qiáng)了具有創(chuàng)意的新題型——探索推理題的考查，并成為高考命題的新熱點(diǎn).

例5 （湖南卷20）.若A、B是拋物線(xiàn)y2=4x上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線(xiàn)與

x軸相交于點(diǎn)P，則稱(chēng)弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x>2時(shí)，點(diǎn)P（x,0）存在無(wú)窮多條“相關(guān)弦”.給定x0>2.（Ⅰ）證明：點(diǎn)P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；(Ⅱ) 試問(wèn)：點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析與略解 （Ⅰ）設(shè)AB為點(diǎn)P（x0,0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（x1,y1）、（x2,y2）（x1≠x2）,則y21=4x1, y22=4x2,

兩式相減得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因?yàn)閤1≠x2,所以y1+y2≠0.

設(shè)直線(xiàn)AB的斜率是k，弦AB的中點(diǎn)是M（xm, ym）,則k=y1-y2x1-x2=4y1+y2=2ym.

從而AB的垂直平分線(xiàn)l的方程為

y-ym=-ym2(x-xm).

又點(diǎn)P（x0,0）在直線(xiàn)l上，所以-ym=-ym2(x0-xm).

而ym≠0,于是xm=x0-2.故點(diǎn)P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是x0-2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直線(xiàn)的方程是y-ym=k(x-xm)，代入y2=4x中，整理得k2x2+2［k(ym-kxm)-2］x+(ym-kxm)2=0（*）

則x1、x2是方程（*）的兩個(gè)實(shí)根，且x1·x2=(ym-kxm)2k2.

設(shè)點(diǎn)P的“相關(guān)弦”AB的弦長(zhǎng)為l，則l2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)(x1-x2)2

=(1+k2)［(x1+x2)2-4x1x2］=4(1+k2)(x2m-x1x2)

=4(1+4y2m)［x2m-(ym-2ymxm)24y2m］

=(4+y2m)(4xm-y2m)=-y4m+4y2m(xm-1)+16xm

=4(xm+1)2-［y2m-2(xm-1)］2=4(x0-1)2-［y2m-2(x0-3)］2.

因?yàn)?

記l2=g(t)=-［t-2(x0-3)］2+4(x0-1)2.

若x0>3,則2(x0-3)∈(0, 4x0-8),所以當(dāng)t=2(x0-3),即y2m=2(x0-3)時(shí), l有最大值2(x0-1).

若2

所以0

綜上所述，當(dāng)x0>3時(shí)，點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中存在最大值，且最大值

為2（x0-1）；當(dāng)2< x0≤3時(shí)，點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中不存在最大值.

評(píng)析 本題兩個(gè)問(wèn)題的推證過(guò)程充分說(shuō)明，推理過(guò)程的嚴(yán)密性是解決邏輯推理題的關(guān)鍵.首先要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，掌握推理過(guò)程步步有根據(jù)，特別要掌握常用的推理方法技巧.如（Ⅱ）解題中涉及分類(lèi)討論以及存在性問(wèn)題的處理方法等.

例6 （陜西卷20）．已知拋物線(xiàn)C：y=2x2，直線(xiàn)y=kx+2交C于A,B兩點(diǎn)，M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線(xiàn)交C于點(diǎn)N．

（Ⅰ）證明：拋物線(xiàn)C在點(diǎn)N處的切線(xiàn)與AB平行；

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k使NA·NB=0，若存在，求k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

圖5

分析與略解 方法一：（Ⅰ）如圖5，設(shè)A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，把y=kx+2代入y=2x2得2x2-kx-2=0，由韋達(dá)定理得x1+x2=k2，x1x2=-1，

所以xN=xM=x1+x22=k4，所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為(k4,k28)．

設(shè)拋物線(xiàn)在點(diǎn)N處的切線(xiàn)l的方程為y-k28=m(x-k4),

將y=2x2代入上式得2x2-mx+mk4-k28=0，

因?yàn)橹本€(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相切，

所以Δ=m2-8(mk4-k28)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0,所以m=k．即l∥AB．

（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使NA·NB=0，則NA⊥NB，又因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，所以|MN|=12|AB|．

由（Ⅰ）知yM=12(y1+y2)=12(kx1+2+kx2+2)=12［k(x1+x2)+4］=12(k22+4)=k24+2．

因?yàn)镸N⊥x軸，所以|MN|=|yM-yN|=k24+2-k28=k2+168．

又|AB|=1+k2·|x1-x2|

=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2

=1+k2·(k2)2-4×(-1)

=12k2+1·k2+16.

所以k2+168=14k2+1·k2+16，解得k=±2．即存在k=±2，使NA·NB=0．

方法二：（Ⅰ）如圖，設(shè)A(x1,2x21)，B(x2,2x22),把y=kx+2代入y=2x2得2x2-kx-2=0．由韋達(dá)定理得x1+x2=k2,x1x2=-1．

所以xN=xM=x1+x22=k4，所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為(k4,k28)．因?yàn)閥=2x2,所以y′=4x，

所以?huà)佄锞€(xiàn)在點(diǎn)N處的切線(xiàn)l的斜率為4×k4=k，所以l∥AB．

（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使NA·NB=0．

由（Ⅰ）知NA=(x1-k4,2x21-k28)，

NB=(x2-k4,2x22-k28),則

NA·NB=(x1-k4)(x2-k4)+(2x21-k28)(2x22-k28)

=(x1-k4)(x2-k4)+4(x21-k216)(x22-k216)=(x1-k4)(x2-k4)·［1+4(x1+k4)(x2+k4)］

=［x1x2-k4(x1+x2)+k216］·［1+4x1x2+k(x1+x2)+k24］

=(-1-k4×k2+k216)·［1+4×(-1)+k×k2+k24］

=(-1-k216)(-3+34k2)=0,

因?yàn)?1-k216<0,所以-3+34k2=0，

解得k=±2.

即存在k=±2，使NA·NB=0．

評(píng)析 本題（Ⅱ）通過(guò)執(zhí)果索因推理達(dá)到問(wèn)題的解決，執(zhí)果索因推理實(shí)質(zhì)是一種逆向思維，在平時(shí)教學(xué)中要注意逆向思維的培養(yǎng)，防止思維的單一性，要讓學(xué)生分析問(wèn)題、靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，真正提高解題能力.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文