２００８年高考線性規(guī)劃中的創(chuàng)新題

線性規(guī)劃問(wèn)題以其實(shí)用性、工具性和交互性,備受人們的關(guān)注,自從2004年進(jìn)入高考后，逐步成為高考的一個(gè)新熱點(diǎn)，雖然命題多以小題形式出現(xiàn)，但隨著時(shí)間的推移，線性規(guī)劃的試題也在慢慢地發(fā)生著變化，從單純知識(shí)點(diǎn)的考查，到近幾年的能力考查，精彩試題不斷出現(xiàn)，本文例舉08年高考線性規(guī)劃中的幾道“亮題”，與各位共同欣賞.

例1 （陜西理10）已知實(shí)數(shù)x,y滿足y≥1y≤2x-1

x+y≤m,如果目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為-1,則實(shí)數(shù)m等于( )

A.7B.5C.4D.3

圖1

解 如圖1，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z=x-y，即y=x-z，所以z的幾何意義為直線在y軸上截距的相反數(shù).解方程組y=2x-1x+y=m得：x=m+13

y=2m-13，

所以zmin=x-y=m+13-2m-13=-1，

即m=5，故選B.

本題的特點(diǎn)是在可行域中含有了參數(shù)，從而從靜態(tài)變?yōu)榱藙?dòng)態(tài)，試題難度雖然不大，但背景新穎，設(shè)計(jì)巧妙，給人以脫俗之感，在解答時(shí)只要將參數(shù)m看成是常數(shù)，問(wèn)題就回到常規(guī)問(wèn)題上，利用通法即可求解.

例2 （安徽理15）若M為不等式組x≤0

y≥0

y-x≤2圖2表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從－2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線x+y=a掃過(guò)M中的那部分區(qū)域的面積為

解 如圖2，當(dāng)a=-2時(shí)，動(dòng)直線為l1恰過(guò)A（-2，0），當(dāng)a=1時(shí)動(dòng)直線為l2恰過(guò)點(diǎn)B（0，1），所以動(dòng)直線x+y=a掃過(guò)M中區(qū)域?yàn)閳D2中的陰影部分，易求得其面積為：

s=12×2×2-12×22×22=74.

本題的特點(diǎn)仍然是在動(dòng)態(tài)上做文章，通過(guò)動(dòng)直線的設(shè)置，將平面區(qū)域動(dòng)態(tài)化，表面上看，目標(biāo)函數(shù)不太好確立，處理起來(lái)有點(diǎn)困難，但實(shí)質(zhì)上，問(wèn)題即為不等式組x≤0

y≥0

y-x≤2

-2≤x+y≤1所表示的平面區(qū)域的面積，而這正是線性規(guī)劃中最為基本的問(wèn)題，顯然命題者只是通過(guò)背景的變化，就達(dá)到了考查學(xué)生知識(shí)遷移和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

例3 （山東理12）設(shè)二元一次不等式組x+2y-19≥0

x-y+8≥0

2x+y-14≤0,所表示的平面區(qū)域?yàn)镸,使函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象過(guò)區(qū)域M的a的取值范圍是（ ）

A.［1,3］B.［2,10］

C.［2,9］D.［ 10,9］.

圖3

解 二元一次不等式組所表示的區(qū)域?yàn)閳D3中的陰影部分.

當(dāng)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)分別過(guò)點(diǎn)（1，9）和（3，8）時(shí)，a=9和a=2，所以a的取值范圍是［2,9］,故選C.

本題的特點(diǎn)是在于創(chuàng)新,將線性規(guī)劃與指數(shù)函數(shù)巧妙的綜合在一起,新而不怪,巧而不難,重知識(shí)的交匯與融合,旨在考查知識(shí)的理解與應(yīng)用,是題海戰(zhàn)術(shù)所無(wú)法企及的,極具導(dǎo)向性和示范性.

例4 （浙江理17）若a≥0,b≥0,且當(dāng)x≥0

y≥0

x+y≤1時(shí)，恒有ax+by≤1，則以a、b為坐標(biāo)的點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域的面積等于.

縱觀08年線性規(guī)劃試題,本題是最具特色的，背景新穎、綜合性強(qiáng)，給學(xué)生提供了足夠的思維空間，橫看成嶺側(cè)成峰，你從不同視角去審視它，都會(huì)得到收獲.

解1 （解析法）如圖4，畫出點(diǎn)P（x,y）的可行域.

圖4

因?yàn)閍x+by≤1恒成立，即x1a+y1b≤1在可行域中恒成立，則：1a≥1且1b≥1，否則可行域中總會(huì)存在著不滿足題意的點(diǎn).

即0≤a≤1

0≤b≤1，

所以點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，

所以S=1.

解析法是我們處理線性規(guī)劃問(wèn)題最為常用的方法，在坐標(biāo)軸上兩個(gè)截距1a、1b的構(gòu)造，巧妙地將可行域與恒成立問(wèn)題統(tǒng)一起來(lái)，從而使問(wèn)題得以順利解決，截距的構(gòu)造是解題的關(guān)鍵.

解2 （三角法）：設(shè)0≤x≤cos2α,0≤y≤sin2α，則：

ax+by≤acos2α+bsin2α=acos2α+b(1-cos2α)=(a-b)cos2α+b≤a-b+b=a≤1同理可得：

ax+by≤acos2α+bsin2α=a(1-sin2α)+bsin2α=(b-a)sin2α+a≤b-a+a=b≤1所以0≤a≤1

0≤b≤1，

即點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，所以S=1.

考題的難點(diǎn)就在于變量太多，通過(guò)三角代換，減少了變量元，同時(shí)借助三角函數(shù)的有界性，巧妙地確定出點(diǎn)P所形成的平面區(qū)域.

解3 （增量法）：因?yàn)閤≥0,

y≥0,

x+y≤1故可設(shè)x+y+m=1(0≤m≤1 ），

所以ax+by=a(x+y+m)+by-ay-am=a(1-m)+(b-a)y≤1恒成立，

當(dāng)y=1,此時(shí)m=0時(shí)，a(1-m)+(b-a)y的最大值為b，所以0≤b≤1，

同理可得：0≤a≤1，

所以點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，則S=1.

考題的另一個(gè)難點(diǎn)是問(wèn)題背景都不是等量關(guān)系，通過(guò)增量法，巧妙地將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等量問(wèn)題，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化.

解4 （極端法）：考慮可行域的極端情形，分別把（0，1）、（1，0）代入ax+by≤1得：0≤a≤1

0≤b≤1,

即點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，所以S=1.

線性規(guī)劃往往與極端情況相關(guān)聯(lián)，本解法正是從可行域的極端情形入手，解法簡(jiǎn)捷、流暢.

解5 （構(gòu)造法）：構(gòu)造直線L：ax+by=0，設(shè)可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線L的距離為d，因?yàn)閍,b,x,y∈R+

，所以d=|ax+by|a2+b2=ax+bya2+b2，即ax+by=da2+b2≤1，恒成立，圖5

如圖5，點(diǎn)A（0，1）、B（1，0）到L的距離分別為：

d1=ba2+b2,

d2=aa2+b2，則

d1a2+b2=ba2+b2·a2+b2=b≤1

d2a2+b2=aa2+b2·a2+b2=a≤1,

所以0≤a≤1

0≤b≤1，

即點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，所以S=1.

通過(guò)構(gòu)造直線L，確定了ax+by的幾何意義，從而將問(wèn)題回歸到線性規(guī)劃最基本的模型.構(gòu)造新穎，給人以美的享受.

通過(guò)上述幾個(gè)例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，線性規(guī)劃題型已從當(dāng)初的簡(jiǎn)單逐步過(guò)渡到應(yīng)用與綜合，考查的側(cè)重點(diǎn)也不再局限于線性規(guī)劃本身，而是加強(qiáng)了與其它知識(shí)的交匯，成為高考試卷中一道靚麗的風(fēng)景.

作者簡(jiǎn)介 劉曉東,男,浙江省湖州市吳興高級(jí)中學(xué)高級(jí)教師,曾在多家刊物上發(fā)表多篇文章.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文