圓錐曲線中與切線有關(guān)的幾組命題

2008年山東省高考數(shù)學(xué)試卷22題如下：

如圖1,設(shè)拋物線方程為x2=2py(p＞0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.

（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2p）時(shí)，|AB|=410，求此時(shí)拋物線的方程；

圖1

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線x2=2py(p>0)上，其中，點(diǎn)C滿足OC=OA+OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：略

此題的背景涉及到了拋物線及其切線，本文就此做了深入研究，現(xiàn)將研究成果整理成文，以饗讀者.

定理1 如圖1，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),以此拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)A（x1,y1),B(x2,y2)為切點(diǎn)分別作此拋物線的兩條切線，切線交于點(diǎn)M.若點(diǎn)N為切點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)，則線段MN與此拋物線的對(duì)稱軸平行，

證明：設(shè)M（x0,y0),由題意知A(x1,x212p),B(x2,x222p）,

N（x1+x22,y1+y22),由x2=2py得y=x22p，

則y′=xp,kMA=x1p,kMB=x2p.

因此直線MA的方程為y-y1=x1p(x-x1),直線MB的方程為y-y2=x2p(x-x2).

將點(diǎn)M(x0,y0)代入有：

y0-x212p=x1p(x0-x1) ①

y0-x222p=x2p(x0-x2) ②

由①、②得x0=x1+x22，y0=x1x22p;所以線段AB的中點(diǎn)N與M有相同的橫坐標(biāo)，故線段MN與此拋物線的對(duì)稱軸平行.

圖2

若將拋物線改成橢圓和雙曲線，又如何呢？

拓展1 以橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)為切點(diǎn)作兩條切線，且兩條切線相交于一點(diǎn)M；若點(diǎn)N為切點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)，則線段MN經(jīng)過(guò)此橢圓的對(duì)稱中心.

證明 設(shè)M(x0,y0),N(xN,yN)，（1）當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，結(jié)合對(duì)稱性，不難證明結(jié)論成立；（2）當(dāng)直線AB不與x軸垂直時(shí)，則過(guò)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)的切線l1,l2的方程分別為：

圖3

④

③-④整理有：直線AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=-b2x0a2y0，考慮到A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，代入得：x21a2+y21b2=1,x22a2+y22b2=1，兩式相減整理得：kAB=y1-y2x1-x2=-b2xNa2yN,這樣x0y0=xNyN，即O,M,N三點(diǎn)共線，即線段MN經(jīng)過(guò)此橢圓的對(duì)稱中心.綜上結(jié)論成立.

拓展2 以雙曲線x2a2-y2b2=1(a,b>0)上兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)為切點(diǎn)作兩條切線，且兩條切線相交于一點(diǎn)M；若點(diǎn)N為切點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)，則線段MN經(jīng)過(guò)此雙曲線的對(duì)稱中心.

證明略.

定理2 設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0), 以此拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)為切點(diǎn)分別作此拋物線的兩條切線，切線交于點(diǎn)M，若切點(diǎn)弦AB所在直線過(guò)定點(diǎn)(0,m)，則兩切線的交點(diǎn)M必在一定直線y=-m上，反之，其逆命題也成立.

證明 設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m，聯(lián)立x2=2py

y=kx+m得：x2-2pkx-2pm=0

則x1+x2=2pk,x1x2=-2pm，由結(jié)論1的證明過(guò)程可知M的縱坐標(biāo)：y0=x1x22p=-2pm2p=-m，故兩切線的交點(diǎn)M必在一定直線y=-m上(m為常數(shù)).反之，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b，聯(lián)立x2=2py

y=kx+b得：x2-2pkx-2pb=0

，x1+x2=2pk,x1x2=-2pb,由結(jié)論1的證明過(guò)程可知M的縱坐標(biāo)：y0=x1x22p=-m輝1x2=-2pm，結(jié)合x1x2=-2pb輒=b，從而得到直線AB的方程為：y=kx+m，則切點(diǎn)弦AB所在直線必過(guò)定點(diǎn)(0,m).

若將拋物線改成橢圓和雙曲線，又如何呢？

拓展3 以橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)為切點(diǎn)作兩條切線，且兩條切線相交于一點(diǎn)M；若切點(diǎn)弦AB所在直線過(guò)定點(diǎn)D(m,0)，則兩切線的交點(diǎn)M必在一定直線x=a2m上；反之，其逆命題也成立.特別地，當(dāng)點(diǎn)D(m,0)為焦點(diǎn)F(c,0)時(shí), 兩切線的交點(diǎn)M必在準(zhǔn)線x=a2c上.

圖4

證明 若m=0，則A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)A(x1,y1),B(x2,y2)所作切線平行，這與條件矛盾，故m≠0.設(shè)M(x0,y0)

,這樣，過(guò)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)的切線l1,l2的方程分別為：

b2x1x+a2y1y=a2b2①

b2x2x+a2y2y=a2b2②

將M(x0,y0)代入得：b2x1x0+a2y1y0=a2b2③

b2x2x0+a2y2y0=a2b2④

由③④得b2x0(y2x1-y1x2)=a2b2(y2-y1)

由DA=(x1-m,y1),BD=(m-x2,-y2).

因?yàn)锳,D,B三點(diǎn)共線 ．

所以

y2x1-y1x2=m(y2-y1)代入（3），得x0=a2m，即P點(diǎn)的軌跡是直線x=a2m．特別地，當(dāng)點(diǎn)D(m,0)為焦點(diǎn)F(c,0)時(shí), 兩切線的交點(diǎn)M必在準(zhǔn)線x=a2c上.

反之，若兩切線的交點(diǎn)M在定直線x=a2m上，則由（3）得：y2x1-y1x2=m(y2-y1),

由于DA=(x1-m,y1),BD=(m-x2,-y2)，(x1-m)(-y2)-(m-x2)y1=y1x2-y2x1+m(y2-y1)=0，這說(shuō)明DA∥BD，即弦AB所在直線過(guò)定點(diǎn)D(m,0).

圖5

拓展4 以雙曲線x2a2-y2b2=1(a,b>0)上兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,y１),B(x2,y2)為切點(diǎn)作兩條切線，且兩條切線相交于一點(diǎn)M；若切點(diǎn)弦AB所在直線過(guò)定點(diǎn)D(m,0)，則兩切線的交點(diǎn)M必在一定直線x=a2m上，反之，其逆命題也成立.特別地，當(dāng)點(diǎn)D(m,0)為焦點(diǎn)F(c,0)時(shí), 兩切線的交點(diǎn)M必在準(zhǔn)線x=a2c上.

證明略

定理3 如圖5，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0), 以此拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)為切點(diǎn)分別作此拋物線的兩條切線，切線交于點(diǎn)M；若切點(diǎn)弦AB過(guò)定點(diǎn)D(0,m)，則直線DM與AB的斜率之積為-2mp，特別地，當(dāng)點(diǎn)D(0,m)為此拋物線的焦點(diǎn)F(0,p2)時(shí)，DM⊥AB.

證明 若切點(diǎn)弦AB過(guò)定點(diǎn)D(0,m)，由結(jié)論2知兩切線的交點(diǎn)M必在一定直線y=-m上；

由題意知A(x1,x212p),B(x2,x222p),

則直線AB的斜率kAB=x212p-x222px1-x2=x1+x22p，

直線DM的斜率kDM=m-(-m)0-x1+x22=-4mx1+x2，

從而kAB·kDM=x1+x22p·(-4mx1+x2)=-2mp.

當(dāng)點(diǎn)D(0,m)為此拋物線的焦點(diǎn)F(0,p2)時(shí)，kAB·kDM=-2mp=-1，即DM⊥AB.

若將拋物線改成橢圓和雙曲線，又如何呢？

拓展5 以橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)為切點(diǎn)作兩條切線，且兩條切線相交于一點(diǎn)M；若切點(diǎn)弦AB所在直線過(guò)定點(diǎn)D(m,0)，則直線DM與AB的斜率之積為b2m2-a2，特別地，當(dāng)點(diǎn)D(m,0)為此橢圓的焦點(diǎn)F(c,0)時(shí)，DM⊥AB.

證明 由拓展3得：若切點(diǎn)弦AB所在直線過(guò)定點(diǎn)D(m,0)，則兩切線的交點(diǎn)M必在一定直線x=a2m上，設(shè)M(x0,y0),則x0=a2m由拓展1知直線AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=-b2x0a2y0,kDM=y0x0-m，則kAB·kDM=-b2a2x0y0·y0x0-m=-b2a2x0x0-m=-b2a2a2ma2m-m=b2m2-a2

，結(jié)論成立.特別地，當(dāng)點(diǎn)D(m,0)為此橢圓的焦點(diǎn)F(c,0)時(shí)，kAB·kDM=b2m2-a2=-1，即DM⊥AB.

拓展6 以雙曲線x2a2-y2b2=1(a,b>0)上兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)為切點(diǎn)作兩條切線，且兩條切線相交于一點(diǎn)M；若切點(diǎn)弦AB所在直線過(guò)定點(diǎn)D(m,0)，則直線DM與AB的斜率之積為b2a2-m2，特別地，當(dāng)點(diǎn)D(m,0)為此雙曲線的焦點(diǎn)F(c,0)時(shí)，

DM⊥AB.

證明略.

作者簡(jiǎn)介

徐加華，男，山東新泰人，先后榮獲泰安市青年崗位能手標(biāo)兵、泰安市高中教學(xué)工作優(yōu)秀教師、泰山教學(xué)新星、泰山教壇英才等榮譽(yù)稱號(hào).在國(guó)家級(jí)、省級(jí)刊物上發(fā)表論文50余篇，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文