化斜為直用勾股

李厚明　陳伯平

勾股定理是直角三角形中特有的定理．它的應用非常廣泛，是幾何中最重要的計算依據(jù)之一．尤其是在新的課程標準下，原有的計算公式及定理少了許多，所以不少問題都要靠勾股定理來解決.對于斜三角形，我們不能直接用它來解決問題，這時就需化斜為直，具體說就是用作高來構造直角三角形．這方面的例子很多，復習中尤其要重視．下面舉例加以講解.

例１ 等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ = ＡＣ = １０，ＢＣ = １２，求ＡＣ邊上的高.

分析：等腰三角形最重要的性質(zhì)是“三線合一”，所以我們可以作底邊上的高，求出三角形的面積，再用面積公式求ＡＣ邊上的高.也可以直接作ＡＣ邊上的高，利用方程求解．

解法１：過Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足為Ｄ．如圖１．

由ＡＢ = ＡＣ和ＡＤ⊥ＢＣ知，點Ｄ是ＢＣ的中點，所以ＢＤ = ＣＤ = ６．

在Ｒｔ△ＡＢＤ中，

ＡＤ ＝＝＝ ８．

設ＡＣ邊上的高為ｈ，則

Ｓ△ＡＢＣ＝ＢＣ·ＡＤ＝ＡＣ·ｈ．

代入數(shù)據(jù)可求得ｈ ＝ ９．６，即為所求．

解法２：過點Ｂ作ＢＤ⊥ＡＣ，垂足為Ｄ．如圖２．

設ＣＤ ＝ ｘ ，則ＡＤ ＝ １０ － ｘ．

在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ２ ＝ ＡＢ２ － ＡＤ２．

同理，ＢＤ２ ＝ ＢＣ２ － ＣＤ２．

從而得到方程１０２ － （１０ － ｘ）２ ＝ １２２ － ｘ２．

解得ｘ ＝ ７．２．

所以ＢＤ ＝ ＝ ９．６，即為所求．

點評：解法１，間接求高，巧妙地利用了等腰三角形的性質(zhì)以及面積公式，運算簡單；解法２，直接作高，但由于高不能直接求得，我們可用列方程的方法，先求ＣＤ，再用勾股定理求高，思路簡單，但運算較復雜.這兩種方法在解題中均經(jīng)常使用，應給予重視.

例2 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ １０，ＡＣ ＝ ８，∠Ａ ＝ ６０°，求邊ＢＣ的長．

分析： 由于∠Ａ ＝ ６０°，ＡＢ ＝ １０，我們可考慮作ＡＣ邊上的高ＢＤ，求出ＡＤ、ＢＤ，再求出ＣＤ，最后利用勾股定理求ＢＣ.

解：如圖３，過點Ｂ作ＢＤ⊥ＡＣ，垂足為Ｄ．

在Ｒｔ△ＡＢＤ中，∠ＡＤＢ ＝ ９０°，∠Ａ ＝ ６０°，

∴∠ＡＢＤ ＝ ３０°．

∴ＡＤ ＝ＡＢ ＝ ５，ＣＤ ＝ ３．

在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ２ ＝ ＡＢ２ － ＡＤ２ ＝ １０２ － ５２＝ ７５．

同理，ＢＣ２ ＝ ＢＤ２ ＋ ＣＤ２．

∴ＢＣ２ ＝ ７５ ＋ ９ ＝ ８４．

∴ＢＣ ＝ ＝ ２ ．

點評：若三角形中有６０°、３０°或４５°的角，但無直角，我們通常都是作高，把這些角放到直角三角形中去.這樣可以利用有關的特殊性質(zhì)（如等腰、直角邊是斜邊的一半等）去解決問題.

例3 如圖４，△ＡＢＣ中，∠Ｂ ＝ ２∠Ｃ．求證：ＡＣ２ － ＡＢ２ ＝ ＡＢ·ＢＣ．

分析： 顯然，我們要構造直角三角形，才能得出求證式左邊的形式．由此我們可以作ＢＣ邊上的高ＡＤ，關鍵是∠Ｂ ＝ ２∠Ｃ這個條件怎樣利用.聯(lián)想到等腰三角形的“三線合一”，我們可在ＤＣ上截?。模?＝ ＢＤ，這樣可以利用∠Ｂ ＝ ２∠Ｃ，證得ＡＰ ＝ ＣＰ.

證明：如圖５，過Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足為Ｄ．在ＤＣ上截?。模?＝ ＢＤ，連接ＡＰ．

∴∠ＡＤＢ ＝ ∠ＡＤＣ ＝ ９０°， ＡＢ ＝ ＡＰ．

∴∠Ｂ ＝ ∠ＡＰＢ ＝ ２∠Ｃ．

∵∠ＡＰＢ ＝ ∠ＰＡＣ ＋ ∠Ｃ，

∴∠Ｃ ＝ ∠ＰＡＣ．

∴ＡＰ ＝ ＣＰ．

在Ｒｔ△ＡＣＤ中，

ＡＣ２ ＝ ＣＤ２ ＋ ＡＤ２． ①

同理，ＡＢ２ ＝ ＢＤ２ ＋ ＡＤ２．②

① － ②得ＡＣ２ － ＡＢ２ ＝ ＣＤ２ － ＢＤ２．

而ＣＤ２ － ＢＤ２ ＝ （ＣＤ － ＢＤ）（ＣＤ ＋ ＢＤ） ＝ （ＣＤ － ＢＤ）·ＢＣ ＝ （ＣＰ ＋ ＤＰ － ＢＤ）·ＢＣ ＝ ＣＰ·ＢＣ，

∴ＡＣ２ － ＡＢ２ ＝ ＣＰ·ＢＣ．

∵ＣＰ ＝ ＡＰ ＝ ＡＢ，

∴ＡＣ２ － ＡＢ２ ＝ ＡＢ·ＢＣ．

點評：本題實質(zhì)上是利用高線構造了一對成軸對稱的三角形，而這種作輔助線的方法（作ＡＤ、ＡＰ），也是解“α ＝ ２ β”型問題的常用方法．解題關鍵是邊的等量代換.應用代數(shù)方法化平方差為乘積式，也是本題的一大亮點.

總之，把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再運用勾股定理，是斜三角形問題最常見也是最重要的解題思路.L

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文