一次函數(shù)考點掃描

劉志鳳

函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容.借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能直觀地反映數(shù)學問題中“數(shù)”與 “形”之間的內(nèi)在聯(lián)系.數(shù)形結(jié)合的思想方法，是解決問題的主要手段之一.一次函數(shù)是常見函數(shù)類型中的一種，也是進一步學習反比例函數(shù)、二次函數(shù)的基礎(chǔ).其知識要點如下表.

1. （2008年·成都）某農(nóng)場租用播種機播種小麥.在甲播種機播種2天后，又調(diào)來乙播種機參與播種，直至完成800畝（注：一種面積單位）的播種任務(wù).播種畝數(shù)y與天數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.那么乙播種機參與播種的天數(shù)是.

2. （2008年·山東）如圖2，在矩形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿BC、CD、DA運動至點A停止．設(shè)點P運動的路程為x，△ABP的面積為y.如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖3所示，則△ABC的面積是（）.

A． 10B． 16C． 18D． 20

3. （2007年·吉林）今年4月18日，我國鐵路第六次大提速.在甲、乙兩城市之間開通了動車組高速列車．已知每隔1 h有一列動車組列車從甲城開往乙城．它們的速度相同.如圖4所示，OA是第一列動車組列車與甲城的距離s（單位：km）和運行時間t（單位：h）的函數(shù)圖象，BC是一列從乙城開往甲城的普通快車與甲城的距離s（單位：km）和時間t（單位：h）的函數(shù)圖象．請根據(jù)圖中信息，解答下列問題.

（1）點B的橫坐標0.5的意義是普通快車發(fā)車時間比第一列動車組列車發(fā)車時間h，點B的縱坐標300的意義是．

（2）請你在原圖中直接畫出第二列動車組列車與甲城的距離s（單位：km）和時間t（單位：h）的函數(shù)圖象．

（3）若普通快車的速度為100 km/h，①求BC的解析式，并寫出自變量t的取值范圍；②求第二列動車組列車出發(fā)后多長時間與普通快車相遇；③直接寫出這列普通快車在行駛途中與迎面而來的相鄰兩列動車組列車相遇的時間間隔．

答案與點撥： 1. 4（提示：由（2，200），（3，350）可得函數(shù)解析式，再把y=800代入）2. A 3. （1）晚0.5甲、乙兩城相距300 km（2）圖象略.（3）①易知普通快車運行時間為3 h.故C（3.5，0），s=-100t+350，自變量t的取值范圍是0.5≤t≤3.5； ②1 h；③h.

解此類題的關(guān)鍵是正確解讀圖象信息，弄清兩坐標軸所表示的變量的實際含義，準確理解每段函數(shù)圖象所表示的實際狀態(tài).第1題中第一段折線表示的是甲播種機2天播種200畝，第二段折線的“200~350”中的150畝，表示由甲、乙兩機共同播種1天.第2題中，平行于x軸的一段圖象表示的是△ABP的面積y在4≤x≤9時始終不變，為定值，于是可得出CD=5.第3題應(yīng)注意，各列動車組列車的函數(shù)圖象都與OA平行，相鄰圖象與t軸的交點相隔為1.

4. （2007年·福州）已知一次函數(shù)y=（a-1）x+b的圖象如圖5所示，那么a的取值范圍是（）.

A． a>1B． a<1C． a>0D． a<0

5. （2008年·哈爾濱）小亮從家去學校所走的路程為900 m.某天他從家去上學時，以每分鐘30 m的速度行走了450 m.為了不遲到他加快了速度，以每分鐘45 m的速度走完剩下的路程.那么小亮行走的路程y（單位：m）與他行走的時間t（單位：min）之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示應(yīng)是（）．

答案與點撥： 4. A5. D

解答此類問題需要熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì).第4題自變量x 的系數(shù)a-1>0，勿因思維定式得出a>0.第5題應(yīng)根據(jù)小亮在后面的路程中加快了速度而得出后段圖象比前段圖象“上升”得要快些，從而快速得到答案.

（一）根據(jù)圖象提供的信息，求函數(shù)解析式.

6. （2008年·南昌）在平面直角坐標系中，有A（0，1），B（-1，0），C（1，0）．

（1）若點D與這三點構(gòu)成平行四邊形，請寫出所有符合條件的點D的坐標；

（2）求直線BD的解析式．

7. （2008年·廣安）汶川地震發(fā)生后，廣安先后有兩批自愿者分別乘客車和出租車沿相同路線從廣安趕往重災區(qū)平武救援.圖6表示其行駛過程中行駛的路程s（單位：km）隨時間t（單位：h）變化的圖象．

（1）根據(jù)圖象，分別寫出客車和出租車行駛過程中s與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量的取值范圍）；（2）客車和出租車行駛的速度分別是多少？

答案與點撥： 6. （1）符合條件的點D的坐標分別是D1（2，1），D2（-2，1），D3（0，-1）；（2）略.7. （1）客車s=40t，出租車s=100t-200；（2）客車40 km/h，出租車100 km/h.

解答此類問題，要根據(jù)已有圖象確定直線上兩個或一個（若為正比例函數(shù)）點的坐標，再用待定系數(shù)法，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式.第6題中應(yīng)注意多種情況的討論.第7題則要注意速度與x的系數(shù)的關(guān)系.

（二）根據(jù)幾何圖形提供的信息，求函數(shù)解析式.

8. （2008年·長沙）在平面直角坐標系中，一動點P（x，y）從點M（1，0）出發(fā)，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四點連成的正方形（如圖7①）的邊線按一定方向運動.圖7②是P點運動的路程s與運動時間t之間的函數(shù)圖象，圖7③是P點的縱坐標y與P點運動的路程s之間的函數(shù)圖象的一部分.

（1）s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：.

（2）與圖7③相對應(yīng)的P點的運動路徑是：.

（3）寫出當3≤s≤8時，y與s之間的函數(shù)關(guān)系式，并在圖7③中補畫函數(shù)圖象.

9. （2008年·武漢）（1）點（0，1）向下平移2個單位后的坐標是，直線y=2x+1向下平移2個單位后的解析式是.

（2）直線y=2x+1向右平移2個單位后的解析式是.

答案與點撥： 8. （1）s= t（t≥0）（2）M→D→A→N（3）當3≤s<5，即P從A到B時，y=4-s；當5≤s<7，即P從B到C時，y=-1； 當7≤s≤8，即P從C到M時，y=s-8．圖象略．9. （1）（0，-1）y=2x-1（2）y=2x-3

解答此類題的關(guān)鍵，是在熟練掌握圖形的幾何性質(zhì)與函數(shù)圖象性質(zhì)的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)動與靜的相互轉(zhuǎn)化，在圖形的運動變化中尋求關(guān)鍵點與不變量（常量）.第8題應(yīng)注意動點P的幾個關(guān)鍵位置，從而正確地進行分類討論.第9題應(yīng)把握圖形平移的性質(zhì)：（1）直線沿某方向平移幾個單位，則直線上的任一點均沿該方向平移幾個單位；（2）平移過程中直線解析式中一次項的系數(shù)不變10. （2008年·烏魯木齊）一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的圖象如圖8所示，則關(guān)于x的不等式kx+b>0的解集是（）.

A. x<-2 B. x>-2 C. x>2 D. x<2

11. （2008年·武漢）如果直線y=kx+b經(jīng)過A（-2，-1）和B（-3，0）兩點，則不等式 x

答案與點撥： 10. B11. -3

準確理解一次函數(shù)與不等式（組）的關(guān)系（見本文開頭知識列表），則此類問題可迎刃而解.將一次函數(shù)與不等式或方程問題進行轉(zhuǎn)化，是解決相關(guān)數(shù)學問題的一種重要方法.第11題既可以由待定系數(shù)法求出k、b，再解不等式，也可根據(jù)圖象求解.

12. （2008年·烏魯木齊）某公司在A、B兩地分別庫存挖掘機16臺和12臺，現(xiàn)在運往甲、乙兩地支援建設(shè)，其中甲地需要15臺，乙地需要13臺．從A地運一臺到甲、乙兩地的費用分別是500元和400元；從B地運一臺到甲、乙兩地的費用分別是300元和600元．設(shè)從A地運往甲地x臺挖掘機，運這批挖掘機的總費用為y元．

（1）請?zhí)顚懴卤?，并寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）公司應(yīng)設(shè)計怎樣的方案，才能使運這批挖掘機的總費用最少？

答案與點撥： 12. （1）填表略.y=400x+9 100.（2）因x-3≥0且15-x≥0，故3≤x≤15，又y隨x的增大而增大，故當x=3時，運這批挖掘機的總費用最少，運送方案是：A地的挖掘機運往甲地3臺，運往乙地13臺；B地的挖掘機全部運往甲地.

解此類問題的步驟是：（1）根據(jù)問題中提供的各個量之間的關(guān)系，建立函數(shù)模型；（2）在實際意義下，全面考慮各個變量的范圍；（3）借助函數(shù)性質(zhì)，對實際問題進行分析，計算出結(jié)果或借助計算結(jié)果進行最優(yōu)方案設(shè)計.注意，正確確定變量范圍是解題關(guān)鍵，否則容易錯解或漏解.

在中考中，除了上述常見題型外，一次函數(shù)和后面要學到的反比例函數(shù)、二次函數(shù)相結(jié)合的綜合題也較常見.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文