“孔多塞悖論”的解決方法

【摘 要】 社會選擇理論的起源可以追溯到法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、社會學(xué)家，孔多塞（Condorcet）提出的“Condorcet 悖論”（“孔多塞悖論”）。如何解決“孔多塞悖論”是很多經(jīng)濟學(xué)家、數(shù)學(xué)家研究的重要問題。本文將“孔多塞悖論”分為兩種情形，系統(tǒng)分析“孔多塞悖論”，指出解決“孔多塞悖論”的主要方法，并研究各種方法的特點。

【關(guān)鍵詞】 孔多塞悖論；社會選擇；選擇規(guī)則；偏好オ

一、社會選擇與孔多塞悖論

社會選擇是將社會各成員的偏好集結(jié)成社會的或群的偏好。社會選擇中需進行價值判斷、比較的對象，叫做備選方案，個體是社會選擇中進行價值判斷、比較，行使選擇權(quán)利的主體。在現(xiàn)實中，采用過傳統(tǒng)、獨裁、投票選擇、市場機制等社會選擇方式。其中“傳統(tǒng)”這種社會選擇方法有多種不同形式，例如風(fēng)俗、習(xí)慣、宗教、迷信等?！蔼毑谩笔侵赣蓚€人或小集團對其他個體進行控制，體現(xiàn)某個人或小集團的意志，例如封建社會的君主即通過獨裁統(tǒng)治國家?，F(xiàn)代理性、民主的社會一般采取民主政治與市場經(jīng)濟相結(jié)合的社會選擇方式。

市場機制、投票選舉是典型的社會選擇。在市場經(jīng)濟中，個體在市場經(jīng)濟中的選擇通過貨幣來完成，使得資源配置往高效率的方向運行。現(xiàn)代民主制度中，個體體現(xiàn)選擇權(quán)利的方式是投票。政治權(quán)利配置的特點一般是一人一票，特殊情況下是一人多票。即個體根據(jù)其偏好通過選票影響公共決策。此外，社會選擇還涵蓋實際生活中通過各種選擇規(guī)則進行的各種決策方式。

社會選擇由來已久，人們通過各種形式進行選擇與被選擇，但社會選擇理論得到經(jīng)濟學(xué)界的重視還是在1951年阿羅（Arrow）提出“Arrow不可能定理”之后。社會選擇理論的起源可以追溯到18 世紀，法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、社會學(xué)家，孔多塞（Condorcet）提出社會選擇理論中著名的“Condorcet 悖論”（“孔多塞悖論”）：即當(dāng)備選方案數(shù)量大于2，個體數(shù)量大于2時，按照相對大多數(shù)原則進行選擇，會出現(xiàn)循環(huán)（當(dāng)個體數(shù)量為4，備選方案數(shù)量為3時不會出現(xiàn)循環(huán)），無勝者，（如例1、例2）。相對大多數(shù)原則是比較兩個備選方案a和b，如果偏好為a優(yōu)于b的個體數(shù)量多于偏好為b優(yōu)于a的個體數(shù)量則稱社會或群的偏好為a優(yōu)于b；若二者數(shù)量相等，則稱社會或群的偏好為a與b無差異。根據(jù)相對大多數(shù)原則對備選方案進行兩兩比較，其中在兩兩比較中，能擊敗其他所有對手的備選方案叫做Condorcet勝者。

例1，“孔多塞悖論”第一種情形（將個體分為幾組，每組個體數(shù)量相等）：假定有三組個體，每組均為1人，分別為甲、乙、丙，三個備選方案依次為A、B、C。甲的偏好順序為：A ﹥ B ﹥ C；乙的偏好順序為：B ﹥ C ﹥ A；丙的偏好順序為：C ﹥ A ﹥ B。其中“﹥”表示優(yōu)于。在此例中，根據(jù)相對大多數(shù)原則，最終群的偏好為A﹥B﹥C﹥A 出現(xiàn)了循環(huán)，無勝者。這意味著群偏好不總是可傳遞的（傳遞性：若a ﹥b，b ﹥c則a ﹥c）。

例2，“孔多塞悖論”第二種情形（將個體分為幾組，每組個體數(shù)量不等）：將個體分成三組，每組個體數(shù)量分別為4人，3人，2人。三個備選方案依次分別為A、B、C。第一組：共4人的偏好順序為：A ﹥ B ﹥ C；第二組：共3人的偏好順序為：B ﹥ C ﹥ A；第三組：共2人的偏好順序為：C ﹥ A ﹥ B。根據(jù)相對大多數(shù)原則，最終群的偏好為A ﹥B﹥C﹥A 出現(xiàn)了循環(huán)，無勝者。這兩種情形相比，第一種情形出現(xiàn)的可能性更小些。

二、解決孔多塞悖論的方法分析

1、針對“孔多塞悖論”的第一種情形

第一種解決“孔多塞悖論”的方法是通過傳統(tǒng)習(xí)慣解決，即當(dāng)出現(xiàn)無勝者情況時，最終通過抽簽決定勝者，讓偶然性來決定。這樣，無論勝者、敗者都不得不接受結(jié)果，敗者只能歸因于自己的運氣不好。

第二種解決“孔多塞悖論”的方法是按照修正案規(guī)則進行選擇。修正案規(guī)則（amendment）是在進行選擇之前，預(yù)先確定一套議程，即備選方案的投票順序，如x1，x2，…，x璶。選擇過程是：在第一輪表決中，對方案x1，x2進行選擇，勝者進入下一輪與x3，進行表決；…；在第i（i>1）輪表決中，對第i-1輪表決中的勝者與x﹊+1進行選擇，勝者進入第i+1輪表決；直到第n-1輪表決，此時的勝者為最后的選擇結(jié)果。

第三種解決“孔多塞悖論”的方法是限制個體偏好的定義域。“孔多塞悖論”出現(xiàn)的前提條件之一是假定無限制定義域即個體任何偏好排序都是允許的。為了避免社會或群的偏好出現(xiàn)循環(huán)，其中比較著名的限制個體偏好定義域的方法是Black提出的單峰定理。單峰定理是如果個體偏好是單峰的，并且個體的數(shù)量是奇數(shù)，那么根據(jù)相對大多數(shù)原則進行選擇滿足可傳遞性。

單峰偏好的定義：設(shè)n個個體的偏好排序函數(shù)是U1（X），…，Un（X），Ui（X）（i=1，…，n）定義在可供選擇的社會狀態(tài)的集合S上，那么在二維平面上，若將S標(biāo)在橫軸上，將Ui（X）（i=1，…，n）標(biāo)在縱軸上，則至少存在S的一種排列，使得Ui（X）的幾何圖形均有一個高峰。即在個人的偏好次序中，只有一項備選方案的偏好程度最高，其它方案的偏好程度依次遞減。如果沒有依次遞減，偏好曲線先降后升，出現(xiàn)了兩個頂峰，被稱為“雙峰偏好”。如例1，若備選方案議程為A，B，C，甲的偏好次序為A﹥B﹥C，乙的偏好次序為B﹥C﹥A，丙的偏好次序為C﹥A﹥B，曲線圖上顯示甲、乙的偏好為單峰的，丙的偏好則是雙峰的。如果丙的偏好改為單峰的，即C﹥B﹥A，進行選擇，“循環(huán)”被消除。

單峰定理表明，在單峰型的偏好結(jié)構(gòu)中，根據(jù)相對大多數(shù)原則進行選擇，不會出現(xiàn)“孔多塞悖論”，投票悖論出現(xiàn)的可能性比較小，因為在大多數(shù)情況下，個人的偏好結(jié)構(gòu)會呈現(xiàn)出單峰形。如例3。

例3，假定A，B，C三個政黨，Ａ代表極左派政黨，Ｂ代表中間派政黨，Ｃ代表極右派政黨，一般地，C﹥A﹥B的個人偏好順序出現(xiàn)的可能性很小，因為絕大多數(shù)人不會認為極右派政黨比極左派政黨好，又認為極左派政黨比中間派政黨好。

若備選方案的數(shù)量為3個時，單峰偏好可以解釋為，若備選方案為a，b，c，任何個體偏好的排序中，某個方案不會出現(xiàn)在最后一位，如例3，方案B不會出現(xiàn)在最后一位。

比單峰偏好更一般的限制定義域的約束條件是Sen和Pattanaik提出的位次限制條件。位次限制指在備選方案中，任何三個方案中存在某個方案x璱和某個次序j，任何個體對這三個方案的偏好排序時，x璱不會被排在j位。例如備選方案的數(shù)量為3個時，位次限制條件可以解釋為，如果備選方案為a，b，c，那么任何個體偏好的排序中，某個方案不會出現(xiàn)在第一位，或第二位，或最后一位。位次限制定理即為當(dāng)個體偏好排序滿足位次限制條件時，社會或群的偏好滿足可傳遞性。

（二）針對“孔多塞悖論”的第二種情形

首先，是由孔多塞提出的孔多塞連續(xù)逆轉(zhuǎn)方法。即尋找獲得半數(shù)以上票數(shù)最少的備選方案，而后將其和對手的結(jié)果顛倒，如果循環(huán)消除則選擇出結(jié)果，如果循環(huán)仍然存在，則需繼續(xù)尋找獲得半數(shù)以上票數(shù)最少的備選方案，將其和對手的結(jié)果顛倒，直到循環(huán)消除為止。如例2，獲得半數(shù)以上票數(shù)最少的備選方案是C。根據(jù)孔多塞連續(xù)逆轉(zhuǎn)方法，將其和對手A的結(jié)果顛倒，即將C ﹥A，顛倒為A ﹥C，則最終選擇結(jié)果為A ﹥B﹥C，循環(huán)消除。其次，根據(jù)分數(shù)定義的規(guī)則可以解決“孔多塞悖論”的第二種情形。如簡單多數(shù)原則、逆簡單多數(shù)原則，Borda原則，其中Borda原則更為科學(xué)。再次，多輪淘汰選擇的規(guī)則可以解決“孔多塞悖論”。如簡單多數(shù)加賽原則、Hare原則、Coombs 原則、Nanson原則。最后，Dodgson 原則可以解決“孔多塞悖論”。

三、結(jié)論

解決“孔多塞悖論”的方法除了第一種方法和第二種方法外，都對前提條件進行了修改。第一種方法，抽簽決定，雖然可以很好地解決這一矛盾，但不夠科學(xué)。第二種方法，根據(jù)修正案規(guī)則，預(yù)先確定的議程很重要，影響最終選擇結(jié)果，后出現(xiàn)的備選方案占有優(yōu)勢。因此，運用這一規(guī)則在研究確定議程時需要較長時間。當(dāng)存在“孔多塞悖論”，可以通過對議程的安排，讓任何一個備選方案當(dāng)選。如例1和例2，若想操縱A勝出，就安排B和C先表決，B勝出后，與A比，A將其打敗，最后獲勝。第三種方法，限制個體偏好的定義域解決了“孔多塞悖論”，但卻違背了個體任何偏好都是可能的前提。針對“孔多塞悖論”的第二種情形，解決“孔多塞悖論”的方法的共同之處在于都違背了相對大多數(shù)原則。

【參考文獻】

［1］ 羅云峰 肖人彬.社會選擇的理論與進展［M］.北京：科學(xué)出版社，2003.

［2］ 岳超源.決策理論與方法［M］北京：科學(xué)出版社，2003.

［3］ 張恒龍、陳憲.社會選擇理論研究綜述［J］.浙江大學(xué)學(xué)報，2006，（2）.

［4］ 張曙光.現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)的最新發(fā)展［J］.經(jīng)濟學(xué)動態(tài)，1999，8：54-60.

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肖江波，（1977-）女，漢，遼寧鞍山人，法國Caen大學(xué)經(jīng)濟學(xué)碩士，現(xiàn)為甘肅政法學(xué)院講師，研究方向為社會選擇理論、勞動經(jīng)濟學(xué)．