拓展數(shù)學(xué)教學(xué)的思維方式

屈晚鄴

整式是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，隨著課程改革的深入，各地的中考試題中出現(xiàn)了許多構(gòu)思新、考能力的新題型.現(xiàn)舉例分析.

一、定義新運(yùn)算

例1現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算：a*b=ab+a-b，其中a，b為實(shí)數(shù)，則a*b+（b-a）*b等于（）.

A． a2-bB． b2-bC． b2D． b2

解析：本題的關(guān)鍵是理解公式，并創(chuàng)造性的利用給出的計(jì)算公式計(jì)算（b-a）*b.對(duì)照規(guī)定運(yùn)算，應(yīng)把（b-a）看做一個(gè)整體，即為公式中的a，可得（b-a）*b=（b-a）b+（b-a）-=b2-ab+b-a-b=b2-ab-a，所以a*b+（b-a）*b=ab+a-b+b2-ab-a=b2-b.答案為B.

評(píng)注：創(chuàng)造能力不是與生俱來(lái)的，首先要學(xué)會(huì)模仿，但不是機(jī)械地模仿，還要能變通，從而才能培養(yǎng)出創(chuàng)造性的思維.

二、定義運(yùn)算新程序

例2按下列程序計(jì)算，把答案寫(xiě)在表格內(nèi).

n→平方→+n→÷n→-n→答案

（1）填寫(xiě)表格.

（2）請(qǐng)將題中計(jì)算程序用代數(shù)式表達(dá)出來(lái)，并給予化簡(jiǎn)．

解析：明確計(jì)算程序是解答本題的關(guān)鍵.（1）表格中輸出的答案均為1.（2）計(jì)算程序用代數(shù)式表示為（n2+n）÷n-n（n≠0），化簡(jiǎn)：原式=n2÷n+n÷n-n=n+1-n=1.

評(píng)注：程序化也是解決問(wèn)題的一種重要的思想方法，將一件事情設(shè)計(jì)一系列的程序，按照程序解決問(wèn)題，從而便于問(wèn)題的解決，這也是良好的思維品質(zhì)的體現(xiàn).

三、自編自解題

例3請(qǐng)你從下列各式中，任選兩式作差，并將得到的式子進(jìn)行因式分解．4a2，（x+y）2，1，9b2．

解析：本題存在12種不同的作差結(jié)果，（1）4a2-1；9b2-1；4a2-9b2；1-4a2；1-9b2；9b2-4a2共6種.選4a2-9b2進(jìn)行因式分解，即4a2-9b2=（2a+3b）（2a-3b）．

（2）（x+y）2-1；（x+y）2-4a2；（x+y）2-9b2；1-（x+y）2；4a2-（x+y）2；9b2-（x+y）2共6種.選1-（x+y）2進(jìn)行因式分解，即1-（x+y）2=［1+（x+y）］［1-（x+y）］=（1+x+y）（1-x-y）．

評(píng)注：編題本身是一種創(chuàng)造性勞動(dòng)，因此根據(jù)已知條件，按照課本上某一習(xí)題編擬試題，不但可以加深對(duì)解題思路的理解，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.

四、開(kāi)放題

例4先化簡(jiǎn)（2x-1）2-（3x+1）（3x-1）+5x（x-1），再選擇你喜歡的的數(shù)代替x求值.

解析：本題是整式的混合運(yùn)算，要按照運(yùn)算順序依次展開(kāi)，再合并同類(lèi)項(xiàng)化成最簡(jiǎn)形式，最后可任選一個(gè)數(shù)代入求值.熟練掌握平方差公式和完全平方公式是化簡(jiǎn)本題的關(guān)鍵.原式=4x2-4x+1-（9x2-1）+5x2-5x=4x2-4x+1-9x2+1+5x2-5x=-9x+2.當(dāng)x=1時(shí)，原式=-7.

評(píng)注：化簡(jiǎn)時(shí)要特別注意“（3x+1）（3x-1）”前的符號(hào).

五、圖形面積與乘法公式

例5從邊長(zhǎng)為a的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后，將其裁成四個(gè)相同的等腰梯形（如圖甲），然后拼成一個(gè)平行四邊形（如圖乙）．那么通過(guò)計(jì)算陰影部分的面積可以驗(yàn)證公式_____．

解析：由圖甲可知，圖乙邊為（a+b）時(shí)，高為（a-b），則圖乙的面積為（a+b）（a-b）.又圖甲的陰影部分的面積為（a2-b2），通過(guò)計(jì)算陰影部分的面積可以驗(yàn)證公式為（a2-b2）=（a+b）（a-b）.

評(píng)注：數(shù)形結(jié)合的思想，把圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，或把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易．

六、探索規(guī)律題

例6觀察下列各式：0，x，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，….試按此規(guī)律寫(xiě)出的第10個(gè)式子是____.

解析：通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，各項(xiàng)的次數(shù)是從0開(kāi)始按順序排列的自然數(shù)，難點(diǎn)在系數(shù)，系數(shù)的規(guī)律是從第三個(gè)數(shù)起，后面的數(shù)是前面兩個(gè)數(shù)的和，所以第10個(gè)式子的系數(shù)為34，即第10個(gè)式子是34x9.

評(píng)注：學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)了解一些數(shù)學(xué)史，上面式子的系數(shù)就是著名的裴波那契數(shù)列，我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中要多留意.

練習(xí)： 有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原來(lái)如下：當(dāng)輸入的x為64時(shí)，輸出的y是（）.