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    數(shù)學(xué)問(wèn)題解答

    2019-08-22 01:01:10
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2019年6期
    關(guān)鍵詞:外接圓同理安徽省

    2019年5月號(hào)問(wèn)題解答

    (解答由問(wèn)題提供人給出)

    2481設(shè)a,b,c>0,證明:

    (安徽省六安第二中學(xué) 陶興紅 237005)

    證明由均值不等式得

    由柯西不等式得

    當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).

    (安徽省樅陽(yáng)縣宏實(shí)中學(xué) 江保兵 246700 )

    證明連接O1A,O1B,O1D,O1O2,O1P,O1Q,PQ,設(shè)O1O2與PQ的交點(diǎn)為點(diǎn)F.

    由題意O1O2⊥PQ,O1P=O1Q,所以∠O1PF=∠O1QF=∠PBO1,

    所以 ∠PAQ+∠PBO1=∠PO1F+∠O1PF=90°,

    即BO1⊥AC,

    在圓O2中,BD為直徑,BO1⊥DO1,

    所以AC//O1D;

    同理CO1⊥AB,

    即O1為△ABC的垂心,有AO1⊥BC.

    在圓O2中,BD為直徑,

    所以CD⊥BC,所以AO1//CD;

    所以四邊形AO1DC為平行四邊形,

    即CD=AO1=r.

    2483在△ABC中,求證:

    (四川成都金牛西林巷18號(hào)晨曦?cái)?shù)學(xué)工作室 宿曉陽(yáng) 610031)

    證明先證在△ABC中,有

    (1)

    事實(shí)上,由

    易知(1)式等價(jià)于

    這是三角形中的常用恒等式,顯然成立.

    故(1)式成立.于是在(1)式中作變換

    即知證式成立.

    (河南省方城縣教研室 邵明憲 473200)

    得AB//CD.

    故△MBA∽△MDC(不妨如圖1).

    圖1

    設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為F、G,

    連結(jié)MF、MG.則由△MBA∽△MDC,

    故∠FMA=∠GMC.

    同理∠FMB=∠GMD.

    于是∠FMB+∠BMC+∠CMG=∠CMD+∠BMC=180°,

    從而F、M、G三點(diǎn)共線.

    得(a2+4b2)x2-4a2mx+4a2(m2-b2)=0,

    2485在△ABC中,設(shè)a,b,c,ha,hb,hc,R分別為三邊長(zhǎng)、三個(gè)高線長(zhǎng)及外接圓半徑,指數(shù)p為正數(shù),求證

    (1)

    (天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

    證明首先證明一個(gè)結(jié)論

    由不等式(1)的全對(duì)稱性,不妨設(shè)A≥B≥C,則有

    同時(shí)有1-2cosA≥0及1-2cosC≤0.

    又設(shè)不等式(1)左右之差為M,并注意到有ha=2RsinBsinC,那么

    即原不等式成立.

    2019年6月號(hào)問(wèn)題

    (來(lái)稿請(qǐng)注明出處——編者)

    (河南省南陽(yáng)師范學(xué)院軟件學(xué)院 李居之 孫文雪 473061)

    圖1

    (成都市金牛區(qū)蜀漢路369號(hào)2-2-35 張殿書 610036)

    A0x2n+1-A2x2n-1+A4x2n-3-A6x2n-5+…+(-1)nA2nx+(-1)n+1sin(2n+1)α=0

    (1)

    (河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467000)

    2489已知O為銳角△ABC的外心,過(guò)O的直線交AB、AC所在的直線于P、Q兩點(diǎn).求證:

    (江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

    (河南輝縣一中 賀基軍 453600)

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