“立方根”要點精析

司友毓

立方根是平方根之外的又一種開方運算的表示形式.立方根與平方根雖然同屬于開方運算的范疇,但兩者之間又有著明顯的區(qū)別.因此,要加強對有關運算的理解,弄清兩者的異同點.

一?立方根的概念及理解

1.概念:一般地,如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根,記做,讀做“三次根號a”.其中a是被開方數(shù),3是根指數(shù).

2.立方根的性質(zhì):(1)一個數(shù)的立方根只有一個;(2)正數(shù)的立方根是正數(shù);(3)負數(shù)的立方根是負數(shù);(4)0的立方根仍為0;(5)兩個相反數(shù)的立方根仍為相反數(shù).

3.立方根與平方根的比較.

(1)相同點:都屬于開方運算的范疇;0的立方根與平方根都是0本身.

(2)不同點:一個正數(shù)的平方根有兩個,而立方根只有一個;負數(shù)沒有平方根,卻有立方根.

例1 下列說法正確的是( ).

A.-3是-9的平方根 B.3是9的算術平方根

C.(-3)2的平方根是3 D.27的立方根是±3

解析:根據(jù)平方根的概念可以判斷出,-9沒有平方根,所以A錯誤;(±3)2=9,9的算術平方根只能是正的,所以B正確;(-3)2=9,9的平方根卻有兩個,即±3,所以C錯誤;27的立方根只能是3,故D錯誤.所以本題正確答案為B.

二?求立方根

1.求一個數(shù)的立方根的運算,叫做開立方.它與立方運算互為逆運算.我們可以利用這種互逆關系求一個數(shù)的立方根.

例2 求下列各數(shù):(1);(2);(3).

解析:(1)因為53=125,所以=5.(2)因為(-4)3=-64,所以=-4.另外,求負數(shù)的立方根時,可先將根號下的負號提到根號外面,然后再開方,即=-=-4.(3)因為63=216,所以=6.

2.運用計算器求立方根(或近似數(shù)).

(1)計算器上帶有 鍵的,可以直接進行計算.

用計算器求的值,可以按下列步驟進行:→1256 → = .最后顯示:10.789 381 42 ,即的近似值為10.789 381 42.

(2)若計算器上沒有鍵,則需要用第二功能鍵求一個數(shù)的立方根.

如求的值 ,可以按下列步驟進行: 2ndF→ → 1256→=.最后顯示10.789 381 42.

三?立方根的速算

你能不用計算器快速計算出的值嗎?如果沒有一定的技巧,是不可能得出正確答案的.下面我們就介紹一個快速計算立方根的訣竅.

先來計算下列立方:03=0,13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729.

仔細觀察這些計算結果可以看出,23的個位數(shù)字是8,而83的個位數(shù)字是2;33的個位數(shù)字是7,而73的個位數(shù)字卻是3.除此之外,其余各數(shù)的立方數(shù)的個位數(shù)字都與底數(shù)相同.

現(xiàn)在,我們就有了一個快速計算立方根的方法:將被開方數(shù)分成兩部分,其中后三位為一部分,若末位數(shù)字(即個位數(shù)字)為2,則其立方根的個位數(shù)字必為8.若個位數(shù)字是8,則立方根的個位數(shù)字必為2.若個位數(shù)字是3,則立方根的個位數(shù)字必定是7,反之,則為3.若是其他數(shù)字,則立方根的個位數(shù)字與被開方數(shù)的個位數(shù)字相同.然后再將前幾位進行考查,看其在哪兩個數(shù)的立方之間,則立方根的前一部分就可以確定了.

例3 快速計算:(1);(2) ;(3).

解析:(1)先將941 192分成941與192兩部分,由192知,其立方根的個位數(shù)字必是8.而93<941<103,故立方根的十位數(shù)字一定是9.故=98.

(2)將328 509分成328和509兩部分,則可得立方根的個位數(shù)字一定是9,而63<328<73,故立方根的十位數(shù)字必為6,故=69.

(3)由928可知立方根的個位數(shù)字一定為2,而1 404>1 000,可從11開始試探,不難發(fā)現(xiàn),123>1 404>113,故立方根的前一部分一定是11.故=112.

注意,此種方法只適用于選擇題?填空題等,而且被開方數(shù)必須能被開盡.

你學會了嗎?檢驗一下:求的值.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文