構(gòu)造平行四邊形解題

莊億農(nóng)

對(duì)于有些幾何問(wèn)題,若能根據(jù)題目中的條件和圖形特征,添加適當(dāng)?shù)妮o助線,構(gòu)造出平行四邊形,然后利用平行四邊形的性質(zhì),往往能使問(wèn)題得到巧妙解決.

一?構(gòu)造平行四邊形,求角的大小

例1如圖1,六邊形ABCDEF中,CD∥AF,∠D=∠A,AB⊥BC,∠C=124°,∠E=80°,求∠AFE的大小.

分析:由條件CD∥AF和∠D=∠A,聯(lián)想到構(gòu)造平行四邊形.

解:延長(zhǎng)AF?DE交于點(diǎn)Q,延長(zhǎng)DC?AB交于點(diǎn)P.如圖2 .因?yàn)镃D∥AF,所以∠D+∠Q=180°.又∠D=∠A,所以∠A+∠Q=180°.所以AP∥QD,所以四邊形AQDP是平行四邊形,所以∠Q=∠P.又因?yàn)椤螾=∠BCD-∠CBP=124°-90°=34°,所以∠Q=34°.又∠DEF=80°,所以∠QEF=180°-80°=100°.所以∠AFE=∠QEF+∠Q=100°+34°=134°.

二?構(gòu)造平行四邊形,證明兩角相等

例2如圖3,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,試證明∠B=∠C.

分析:要說(shuō)明∠B=∠C,可過(guò)點(diǎn)A作DC的平行線,構(gòu)造平行四邊形來(lái)解決問(wèn)題.

解:作AE∥DC,交BC于點(diǎn)E,如圖4所示.因?yàn)锳D∥BC,所以四邊形AECD是平行四邊形.所以AE=DC.因?yàn)锳B=DC,所以AB=AE,所以∠B=∠AEB.因?yàn)锳E∥DC,所以∠AEB=∠C.所以∠B=∠C.

三?構(gòu)造平行四邊形,證明線段相等

例3如圖5,在Rt△ABC中,∠C=90°,M是AB的中點(diǎn).AM=AN,MN∥AC.試證明MN=AC.

分析:由MN∥AC,要證明MN=AC,可聯(lián)想到四邊形ACMN是平行四邊形.因此連接CM,判斷四邊形ACMN是平行四邊形即可.

解:連接CM,如圖6.因?yàn)樵赗t△ABC中,∠ACB=90°,M是AB中點(diǎn),所以CM=AM,所以∠MAC=∠MCA.又因?yàn)锳M=AN,所以∠AMN=∠N.因?yàn)镸N∥AC,所以∠MAC=∠AMN.兩個(gè)等腰三角形中,底角相等,則頂角也相等.故∠NAM=∠CMA,所以AN∥MC.所以四邊形ACMN是平行四邊形,則MN=AC.

點(diǎn)評(píng):對(duì)等腰△AMN和等腰△MAC,各角對(duì)應(yīng)相等,還有公共邊AM,故它們?nèi)?由此也可證得結(jié)論.

四?構(gòu)造平行四邊形,證明線段垂直

例4在ABCD中,∠A=60°,E?F分別是AB?CD的中點(diǎn),且AB=2AD.試證明BD⊥EF.

分析:可通過(guò)連接DE?BF,構(gòu)造菱形DEBF,再結(jié)合菱形性質(zhì)來(lái)解決.

解:如圖7,連接DE?BF.因?yàn)锳D=AB=AE,∠A=60°,所以△ADE是等邊三角形,所以AD=DE=EB.又DFBE,所以四邊形DEBF是菱形,所以BD⊥EF.

點(diǎn)評(píng):也可自B點(diǎn)作BM⊥AD于M,則易知AM=AB,故BM與BD重合,所以AD⊥BD,從而推出結(jié)論.

通過(guò)上面幾道例題可以看到,有些復(fù)雜的幾何問(wèn)題,若直接求解比較困難,可嘗試添加合適的輔助線,構(gòu)造平行四邊形,這樣常?？梢哉业胶?jiǎn)潔方法,使問(wèn)題獲解.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文