“實(shí)數(shù)”考點(diǎn)追蹤

孟　坤

《實(shí)數(shù)》一章的內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,其知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用較為廣泛.正確理解本章中的基本概念,熟練掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律,是學(xué)習(xí)其他知識(shí)的基礎(chǔ).縱觀各地的中考試題,本章的考點(diǎn)主要有以下幾個(gè).

考點(diǎn)1 平方根?算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)

例1 的算術(shù)平方根是( ).

A.- B. C.± D.

解析:因?yàn)榈钠椒礁恰?所以的算術(shù)平方根是,即=. 故選B.

評(píng)注:一個(gè)正數(shù)a的正的平方根叫a的算術(shù)平方根,0的算術(shù)平方根是0.

例2 的平方根是

.

解析:若審題不清,會(huì)認(rèn)為本題是求16的平方根,結(jié)果填±4,從而掉入了命題者設(shè)計(jì)的陷阱. 本題應(yīng)先計(jì)算出=4,然后再求4的平方根,其正確結(jié)果為±2.

評(píng)注:在解題過程中,要注意挖掘隱含條件,注意概念間的區(qū)別和聯(lián)系.

考點(diǎn)2 立方根的概念和性質(zhì)

例3 等于( ).

A.9 B.-9 C. 3 D.-3

解析:因?yàn)?-3)3=-27,故-27的立方根是-3,即=-3, 故選D.

評(píng)注:負(fù)數(shù)沒有平方根和算術(shù)平方根,但負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根. 本題也可利用=-求解.

考點(diǎn)3 無理數(shù)的概念

例4 在下列實(shí)數(shù)中,無理數(shù)是( ).

A. B. C. D.

解析:由于和是分?jǐn)?shù),所以它們是有理數(shù);而=4,顯然也是有理數(shù);只有是無限不循環(huán)小數(shù).故選B.

評(píng)注:除了要明確有理數(shù)和無理數(shù)的概念外,還要注意像這樣的數(shù),它們雖然帶有根號(hào),像是無理數(shù),但實(shí)際結(jié)果是4,是一個(gè)有理數(shù).

考點(diǎn)4 非負(fù)性的應(yīng)用

例5 已知+|b-1|=0,那么(a+b)2 008的值為( ).

A.-1 B.1 C.32 008 D.-32 008

解析:因?yàn)椤?,|b-1|≥0,又因?yàn)?|b-1|=0,所以=0,|b-1|=0,即a+2=0,b-1=0.解得a=-2,b=1. 所以有(a+b)2 008=(-2+1)2 008=1.故選B.

評(píng)注:到目前為止,我們學(xué)習(xí)了三種非負(fù)數(shù):一個(gè)是實(shí)數(shù)的絕對(duì)值,一個(gè)是實(shí)數(shù)的偶數(shù)次方,還有一個(gè)是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根. 若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.

考點(diǎn)5 實(shí)數(shù)的估算

例6 估算+2的值是在().

A.5和6之間 B.6和7之間 C.7和8之間D.8和9之間

解析:此題可采用夾逼法求解.因?yàn)?2<19<52,所以4<<5,故6<+2<7.故應(yīng)選B.

評(píng)注:估算是新課標(biāo)要求的基本技能,它可以更好地發(fā)展數(shù)感. 若考場(chǎng)允許使用計(jì)算器,也可利用計(jì)算器快速求解.

考點(diǎn)6 實(shí)數(shù)的大小比較

例7 比較2.5,-3,的大小,正確的是().

A.-3<2.5< B.2.5<-3<

C.-3<<2.5 D.<2.5<-3

解析:因?yàn)?.52=6.25,2=7,所以2.5<.又因?yàn)樨?fù)數(shù)小于所有的正數(shù),所以-3<2.5<. 故選A.

評(píng)注:比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,可以利用平方法,即比較它們的平方數(shù)的大小;也可以先估算出無理數(shù)的近似值,再按照有理數(shù)大小比較的方法進(jìn)行比較.

考點(diǎn)7 實(shí)數(shù)與數(shù)軸

例8 實(shí)數(shù)a?b在數(shù)軸上的位置如圖1所示,則化簡代數(shù)式|a+b|-a的結(jié)果是( ).

A.2a+b B.-2a-b C.a D.b

解析:由數(shù)軸可知a<0,b>0,且|a|>|b|,所以a+b<0,則|a+b|-a=-a-b-a.故選B.

評(píng)注:實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù),右邊的數(shù)大于左邊的數(shù),離原點(diǎn)越近的數(shù)其絕對(duì)值越小.

考點(diǎn)8 實(shí)數(shù)的運(yùn)算

例9 如圖2,在下面兩個(gè)集合中各有一些實(shí)數(shù).請(qǐng)你從中選出2個(gè)有理數(shù)和2個(gè)無理數(shù),再用+,-,×,÷中的3種符號(hào)將選出的4個(gè)數(shù)進(jìn)行“連接”,使得運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)正整數(shù).

解析:本題是一道結(jié)論開放型問題,其答案不唯一,只要按照實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則和題目的要求來設(shè)計(jì)就可以了.如:(-6)÷3+×=-2+3=1.

評(píng)注:實(shí)數(shù)和有理數(shù)一樣,可以進(jìn)行加?減?乘?除?乘方等運(yùn)算,而且有理數(shù)的有關(guān)定義?運(yùn)算法則及運(yùn)算律對(duì)實(shí)數(shù)仍然適用.

例10 若定義運(yùn)算“@”的運(yùn)算法則為:x@y=.那么(2@6)@8=.

解析:本題定義了一種新的運(yùn)算.理解了符號(hào)“@”的意義后,發(fā)現(xiàn)它與常規(guī)的實(shí)數(shù)混合運(yùn)算區(qū)別不大. 由題意知,x@y=,所以2@6==4,所以(2@6)@8=4@8==6. 故填6.

評(píng)注:所謂新定義的運(yùn)算是指區(qū)別于通常的加?減?乘?除?乘方等運(yùn)算?人為規(guī)定的一種運(yùn)算. 解此類問題的關(guān)鍵是理解新運(yùn)算的含義,把陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決.

考點(diǎn)9 開方的應(yīng)用

例11 已知正方形和圓的面積均為S.求正方形的周長l1和圓的周長l2(用含S的代數(shù)式表示),并比較它們的大小.

解析:設(shè)正方形的邊長為a,圓的半徑為R,則a2=S,R2=S.

解得a=,R==.所以l1=4a=4,l2=2R=2·=2.由于4>2,所以l1>l2.

評(píng)注:涉及正方形?圓?正方體?圓柱體等一些常見圖形的計(jì)算,與等一些無理數(shù)有關(guān),常常會(huì)用實(shí)數(shù)的知識(shí)解決.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文