有趣的火柴棒問題

王宏愿

一根普通火柴棒的長度大約為4 cm，但是用數(shù)根這樣的火柴棒可以擺成許多奇妙的數(shù)學(xué)圖形，而且圖形中還蘊涵著許多數(shù)學(xué)道理呢．

一、探索規(guī)律

例1如圖1是小明用火柴棒搭的1條、2條、3條“金魚”，…，則搭n條“金魚”需要火柴棒_______根．

分析：1條“金魚”需要火柴棒的根數(shù)為8＝6×1＋2；2條“金魚”需要火柴棒的根數(shù)為14＝6×2＋2；3條“金魚”需要火柴棒的根數(shù)為20＝6×3＋2；……

所以，搭n條“金魚”需要火柴棒的根數(shù)為6n+2．

例2用火柴棒按如圖2所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺下去，第4個圖形需要___________根火柴棒，第n個圖形需要_________根火柴棒（用含n的代數(shù)式表示）．

分析：第1個圖中火柴棒的根數(shù)為6＝5×1＋1；第2個圖中火柴棒的根數(shù)為11＝5×2＋1；第3個圖中火柴棒的根數(shù)為16＝5×3＋1；……

所以，第n個圖形中火柴棒的根數(shù)為5n+1，所以第4個圖形需要火柴根的根數(shù)為4×5+1=21.

二、確定個數(shù)

例3用12根火柴棒（等長）拼成一個三角形，火柴棒不允許剩余、重疊和折斷，則能擺出不同形狀的三角形（注：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊）的個數(shù)是（）．

Ａ.1 Ｂ.2 Ｃ.3 Ｄ.4

分析：設(shè)擺出的三角形的三邊長為a，b，c，且a≤b≤c，則可得4≤c≤6．

當(dāng)c=4時，b=4，a=4．

當(dāng)c=5時，b=4，a=3；或b=5，a=2．

當(dāng)c=6時，易知三角形不存在.

綜上所述，滿足條件的三角形有3個，故選Ｃ．

請讀者解決下面這個“用火柴棒搭正方形”的問題.

問題：按圖3所示的方法搭正方形，搭1個正方形需要4根火柴棒.

（1）搭2個正方形需要幾根火柴棒？搭3個正方形需要幾根火柴棒？

（2）搭10個正方形需要幾根火柴棒？

（3）搭100個正方形呢？你是怎樣得到的？

（4）如果用x表示搭正方形的個數(shù)，那么搭x個這樣的正方形需要多少根火柴棒？

提示：前三個小問題解法略.第四個小問題的解法有：①第一個正方形用4根，以后每一個正方形都有3根，那么搭x個正方形需要［4+3（x-1）］根；②因為除第一個正方形外，其余正方形都只用3根，如果把第一個正方形所用的火柴棒也看成3根，x個正方形就需要（3x+1）根；③上面和下面一排各用了x根，豎直方向用了（x+1）根，于是搭x個正方形就需要［x+x+（x+1）］根；④把每個正方形都看成4根搭成，但除了第一個正方形需要4根，其余（x-1）個正方形中每個正方形均多用了1根，應(yīng)減去，于是得到［4x-（x-1）］根.