以“退”為“進”類比解題

莊億農(nóng)

一堂有理數(shù)習題課上，我出了這樣一道題：在一條筆直的街道上有依次排列的n（n＞1）個訂奶戶，我們要設置一個牛奶供應點P，使這n個訂奶戶到供應點P的距離之和最小，這個點應建在何處？

看完題目后，教室里一片寂靜，好一會兒沒人說話．我啟發(fā)道：“俗話說得好，‘退一步海闊天空，數(shù)學解題也是如此，對于一些復雜的數(shù)學問題，適當?shù)赝耸菫榱烁玫剡M，正如我國著名數(shù)學家華羅庚所說的‘善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數(shù)學的一個訣竅．同學們能不能采用退的方法來探究這個問題呢？”

話音剛落，平時喜歡發(fā)言的超超同學站起來說：“老師，我發(fā)現(xiàn)，如果這條街上只有A1與A2兩個訂奶戶，因為A1與A2兩戶所走的距離之和就等于A1A2之間的距離，所以供應點P可建在A1與A2之間的任何地方，如圖1所示．對嗎？”

“對的！同學們再想想，如果這條街上有3個訂奶戶，那么供應點P情況又如何呢？” 我說道．“老師，我來說．”坐在講臺旁的芳芳說道，“如果A1、A2、A3如圖2所示排列，我看供應點P應設在A2處最合適，這是因為如果P放在A2處，A1與A3兩戶所走的距離之和恰好為A1與A3之間的距離．而如果把P放在別處，例如D處，如圖2所示，那么A1與A3兩戶所走的距離之和仍是A1與A3之間的距離，可是A2戶還得走從A2到D的這一段，這是多出來的，因此，P放在A2處是最佳選擇．”

“很好！芳芳同學說得非常好！根據(jù)上面兩位同學探究的結(jié)果，大家看看如果這條街上有4個訂奶戶，5個訂奶戶，…，n個訂奶戶，供應點P應設在何處？”我笑著說．性急的小虎立即答道：“如果有4個訂奶戶，P應設在第2個和第3個訂奶戶之間的任何地方；如果有5個訂奶戶，P應設在第3個訂奶戶處；如果有n個訂奶戶，P應設在第（n+1） 個訂奶戶處．”“不對！”和小虎同桌的小明反駁道，“老師，小虎說得不全面！應對n分類進行考慮，當n為奇數(shù)時，就是小虎所說的情況；當n為偶數(shù)時，P應設在第n和第n+1個訂奶戶之間的任何地方．”

我贊許地點點頭說：“是的，我們考慮問題一定要全面，不能顧前不顧后．”我頓了頓，繼續(xù)說道：“同學們，下面我們將這個問題引申一下，有哪位同學能看出如何求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值？”

數(shù)學課代表玲玲道：“老師，我們可以把|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|轉(zhuǎn)化為一條直線上有617個點，要求其最小值，就是在直線上找一點，使它到各點的距離和最小，這就是上面確定供應點P位置問題．由于從1到617有奇數(shù)個點，因此這一點應選在309對應的位置，這樣|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值就為2×（1+2+…+308）=95 172．”

我高興地連聲贊嘆道：“我們的同學都很聰明，今天通過探究，解決了牛奶供應點位置的確定問題．實際上在解決這個問題時，我們用到了數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想及以‘退為‘進的解題方法，通過對實際問題的探索，又巧妙地把原本比較抽象的代數(shù)中的絕對值問題，轉(zhuǎn)化為看得見摸得著的‘形的問題，使同學們感到抽象的不再抽象，希望大家好好地反思和總結(jié)，爭取得到更大的收獲！”

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