《豐富的圖形世界》復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

萬大燕

一?復(fù)習(xí)目標(biāo)

1. 能在具體情境中認(rèn)識圓柱?圓錐?正方體?長方體?棱柱?球等幾何體,并能用自己的語言描述它們的特征.

2. 了解棱柱?圓柱?圓錐的側(cè)面展開圖,能根據(jù)展開圖判斷和制作簡單的立體圖形.

親身經(jīng)歷切截正方體的過程,體會面與體的轉(zhuǎn)換,提高動手操作的能力.

3. 會從不同方向觀察同一個(gè)物體,能識別簡單物體的三種視圖.會畫正方體及簡單組合的三種視圖,并在小正方體內(nèi)填上表示該位置小立方塊的個(gè)數(shù).

4. 能在具體情境中認(rèn)識多邊形,拓展思維空間.

二?重點(diǎn)難點(diǎn)

1. 本章重點(diǎn):(1)掌握簡單的棱柱?圓柱?圓錐的側(cè)面展開圖,特別是正方體的展開與折疊,根據(jù)所給的平面圖形判斷是否能折疊成正方體.

(2)識別簡單幾何體的三種視圖.畫一個(gè)簡單幾何體的三視圖.根據(jù)所給幾何體選擇主視圖?左視圖或俯視圖.

(3)將一個(gè)多邊形分割成三角形,探究其中的規(guī)律.

2. 本章難點(diǎn):能由實(shí)物的形狀抽象出幾何圖形,由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀,進(jìn)行幾何體與其三視圖?展開圖之間的相互轉(zhuǎn)化是本章的學(xué)習(xí)難點(diǎn).

三?要點(diǎn)回顧

1. 常見的幾何體

常見的幾何體有圓柱?圓錐?正方體?長方體?棱柱?球等,其形狀如圖1,請同學(xué)們分別指出圖1中各圖的名稱.并注意生活中的實(shí)物與所學(xué)的幾何體對應(yīng)起來,如水桶?水杯等可以看做圓柱.

另外,棱柱有直棱柱和斜棱柱,我們只討論直棱柱,簡稱棱柱.如:正方體和長方體都是直棱柱.

2. 平面圖形

3. 展開與折疊

(1)展開:將某些幾何體的表面沿某些棱剪開,可以展成一個(gè)平面圖形. 學(xué)習(xí)時(shí)可嘗試用不同的方法展開同一幾何體,但剪開的方式不同,展開成的平面圖形也就不同.

(2)折疊:把一個(gè)平面圖形經(jīng)過折疊圍成一個(gè)幾何體. 但并不是所有的平面圖形都能經(jīng)過折疊圍成一個(gè)幾何體.

如圖5,試判斷其中的平面圖形能否折疊成一個(gè)幾何體,若能,將折疊成的幾何體的名稱填在橫線上.

6.請畫出圖6的三視圖.(同學(xué)們自己動動手)

四?思想方法總結(jié)

1. 觀察與動手操作是研究數(shù)學(xué)的重要方法,本章自始至終貫穿著這樣的方法.在學(xué)習(xí)過程中要注意多聯(lián)系已有的生活經(jīng)驗(yàn)和實(shí)物,根據(jù)需要可以畫一畫?剪一剪?折一折?切一切?看一看?想一想,通過觀察與動手操作可以更好地感受空間圖形與平面圖形之間的關(guān)系.

2. 學(xué)習(xí)本章所介紹的常見幾何體,重在直觀感知,不要記憶概念的形式化表述.通過實(shí)物認(rèn)識,如長方體?棱柱等圖形,能用自己的語言描述它們的有關(guān)特征,并經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出幾何圖形的過程,感受圖形世界的豐富多彩,能對幾何體進(jìn)行簡單的分類.

3. 運(yùn)用從特殊到一般的方法,根據(jù)各個(gè)特殊的?簡單的棱柱底面多邊形的邊數(shù),可以發(fā)現(xiàn)并歸納其點(diǎn)?線?面的個(gè)數(shù)關(guān)系.

4. 本章還滲透了“類比”?“具體與抽象”?“借助平面圖形認(rèn)識幾何體”等思想方法.

五?例題剖析

例1 下列圖形中,都是柱體的一組是().

解析:柱體包括圓柱體和棱柱體,現(xiàn)在棱柱體指直棱柱.選C.

直棱柱體的上下底面相同,側(cè)面是長方形;棱錐的側(cè)面是三角形.掌握好各類圖形的特征,就能輕松辨認(rèn).但組合體在辨認(rèn)時(shí)要注意是由哪幾類組合而成.

例2 請將圖8中的6個(gè)幾何體進(jìn)行分類,并說明它們是由哪些面圍成的?

分析:幾何體的分類,一般可參照知識結(jié)構(gòu)來區(qū)分(如:柱體?錐體?球體等).

解:圖中的(1)?(2)?(6)是柱體.其中(1)是長方體,它由6個(gè)長方形的平面圍成;(2)是圓柱體,它由2個(gè)圓和1個(gè)曲面圍成;(6)是棱柱體,它由2個(gè)三角形平面和3個(gè)長方形平面圍成.(3)?(4)是錐體.其中(3)是圓錐體,它由1個(gè)圓和1個(gè)曲面圍成;(4)是棱錐體,它由4個(gè)三角形平面圍成.(6)是球體.它由一個(gè)曲面圍成.

將幾何體分類,方法并不唯一,只要能說明分類的理由即可.但要注意,按某一標(biāo)準(zhǔn)分類時(shí),要做到不重不漏,分類標(biāo)準(zhǔn)不同時(shí),分類的結(jié)果也就不盡相同.

例3下列圖形中,不能表示長方體平面展開圖的是().

解析:要判斷哪一個(gè)圖形不能折疊成長方體,需要判斷所給圖形中每個(gè)小長方形是否都有唯一的對面,如果所給圖形中的小長方形的對面不唯一或沒有對面,就不能通過折疊圍成長方體.觀察所給4個(gè)選項(xiàng)中的D,其圖形中下面的兩個(gè)小長方形找不到對面.故選D.

與展開和折疊有關(guān)的試題,多以選擇題的形式出現(xiàn),解決此類問題也可采用排除法.

例4 下面4個(gè)圖形都是由相同的6個(gè)小正方形紙片組成的,小正方形上分別貼有北京2008年奧運(yùn)會吉祥物福娃(貝貝?晶晶?歡歡?迎迎?妮妮)的卡通畫和奧運(yùn)五環(huán)標(biāo)志,如果分別用“貝?晶?歡?迎?妮”五個(gè)字來表示五個(gè)福娃,那么折疊后能圍成圖9所示正方體的圖形是().

解析:解題時(shí)首先確定能否折疊成正方體,經(jīng)觀察可知選項(xiàng)D中的圖形不能折成正方體;然后再對選項(xiàng)A?B?C加以分析,由A?B可知“歡”的對面是“妮”,折起來的正方體不符合要求,所以折疊后能圍成圖9所示正方體的圖形只能是選項(xiàng)C所給的圖形.

本題以奧運(yùn)會吉祥物福娃為背景,考查了同學(xué)們的空間想象能力及動手操作的自主探索能力.

例5 根據(jù)圖10所示的立體圖形的“三視圖”說出立體圖形的名稱.

解析:把三個(gè)視圖結(jié)合起來,綜合考慮不難發(fā)現(xiàn),4個(gè)立體圖形依次是:(1)圓柱;(2)正三棱錐;(3)長方體;(4)正六棱柱.

根據(jù)“三視圖”來描述立體圖形的形狀時(shí),需要將三個(gè)平面圖形結(jié)合起來,整體分析并進(jìn)行空間想象,有利于形成整體意識?空間觀念及綜合分析能力.此例反映了空間立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.在學(xué)習(xí)中,同學(xué)們應(yīng)多實(shí)踐,多觀察,學(xué)會從不同的角度看待事物.

例6 圖11表示一個(gè)由相同小立方塊搭成的幾何體的俯視圖,小正方形中的數(shù)字表示該位置上小立方塊的個(gè)數(shù),那么該幾何體的主視圖為().

解析:根據(jù)俯視圖中最左邊一列小正方體的個(gè)數(shù)是4,所以主視圖中左邊一列的小正方形有4個(gè);俯視圖中間一列小正方體個(gè)數(shù)為1?2?3,因此主視圖中間一列的小正方形為3個(gè);俯視圖中最右邊一列的小正方體的個(gè)數(shù)是2?1,所以主視圖右邊一列的小正方形是2個(gè).故選C.

解決本題的關(guān)鍵是由俯視圖中標(biāo)明的小正方體的塊數(shù)想象出原圖,再判別其主視圖.

例7 圖12是幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖,則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是.解析:從俯視圖可以直接確定最底層有3個(gè)小正方體,再由主視圖看,可以判斷最左邊有1層,即圖13俯視圖的A中只有1層;主視圖的中間和右邊都是2層,可以判斷圖13俯視圖的B?C各有2層.所以小正方體的個(gè)數(shù)為5.

解決此類題目可先由俯視圖確定最底層有幾塊,再由主視圖和左視圖判斷俯視圖的各個(gè)位置上各有幾層立方體,標(biāo)注出來,相加即可確定搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù).

例8 將直角梯形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周,可以得到圖14立體圖形的是().

解析:本題考查了面與體之間的關(guān)系——面動成體.將選項(xiàng)中的圖形繞所給直線旋轉(zhuǎn)一周,想象它所掃過的區(qū)域的形狀即可判別只有選項(xiàng)B中的圖形旋轉(zhuǎn)后能得到圖14的立體圖形.故選B.

注意常見的可由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的空間圖形:

(1)圓柱可由長方形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周而成;

(2)圓錐可由直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周而成;

(3)球是半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而成;

(4)圓臺是直角梯形繞直角腰旋轉(zhuǎn)一周而成.

例9用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體,如果截去的幾何體有4個(gè)面,請回答下列問題:

(1)截面一定是什么圖形?

(2)剩下的幾何體可能有幾個(gè)頂點(diǎn)?

解:(1)如果截去的幾何體是一個(gè)三棱錐,那么截面一定是一個(gè)三角形.

(2)剩下的幾何體可能有7個(gè)?8個(gè)?9個(gè)?10個(gè)頂點(diǎn),如圖15.

本題是典型的開放性問題,具有很強(qiáng)的挑戰(zhàn)性.解題的關(guān)鍵在于抓住“截面為三角形”這一特點(diǎn),于是可聯(lián)想到上述各種不同情況.

例10 圖16是正方體木塊,把它切去一塊,得到圖17?圖18?圖19?圖20所示的木塊.

(1)我們知道,圖16的正方體木塊有8個(gè)頂點(diǎn)?12條棱?6個(gè)面,請你將圖17?圖18?圖19?圖20中木塊的頂點(diǎn)數(shù)?棱數(shù)?面數(shù)填入表1.

(2)表1中各種木塊的頂點(diǎn)數(shù)?棱數(shù)?面數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系可以歸納出一定的規(guī)律,請你試寫出頂點(diǎn)數(shù)x?棱數(shù)y?面數(shù)z之間的數(shù)量關(guān)系式.

分析:(1)只要將圖 17?圖18?圖19?圖20各個(gè)木塊的頂點(diǎn)數(shù)?棱數(shù)?面數(shù)數(shù)一下就行.數(shù)的時(shí)候要注意:圖中不能直接看到的那一部分不要遺漏,也不要重復(fù),可通過想象計(jì)數(shù),正確填入表內(nèi).(2)通過觀察找出每個(gè)圖中“頂點(diǎn)數(shù)?棱數(shù)?面數(shù)”之間隱藏著的數(shù)量關(guān)系,這個(gè)數(shù)量關(guān)系用公式表示出來即可.

解:(1)見表2:

(2)規(guī)律:x + z - 2 = y.

看懂題是解決本題的關(guān)鍵,通過觀察,正確填表,是本題的重要一步.第(2)問也是觀察,注意觀察數(shù)據(jù)間的變化規(guī)律,重點(diǎn)考查同學(xué)們的空間想象能力.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文