握手握出的數(shù)學問題

康　松

學校召開運動會,參加1 500m長跑的第一組的9位同學來到檢錄處點名,他們互相握手致意. 檢錄處的王老師看得眼花繚亂,不過他卻發(fā)現(xiàn)每兩位同學之間都握了一次手. 于是,王老師給同學們提出了一個問題:“誰能說出9位同學一共握了多少次手?”你能為他們解答這一問題嗎?讓我們一起來探究一下.

這其實是一個數(shù)學問題,所以應該考慮用數(shù)學的方法解決. 我們可以給這9位同學編上號,從第1位同學到第9位同學,分別是1至9號. 那么,要想解答這一問題,方法起碼有3種.

第一種方法是沒有規(guī)律地亂數(shù),但這樣很容易數(shù)錯,很可能會產(chǎn)生遺漏或是重復的情況.

第二種方法是從左往右按順序有規(guī)律地數(shù),即:

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9);

(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9);

(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9);

(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9);

(5,6),(5,7),(5,8),(5,9);

(6,7),(6,8),(6,9);

(7,8),(7,9);

(8,9).

所以他們握手的次數(shù)可以這樣計算:8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36.

第三種方法是分析推理:因為每位同學都要與另外8位同學握手,也就是說每位同學都要握8次手,那么9位同學就一共要握8×9=72次手. 但是,因為每兩位同學之間握的一次手實際上都統(tǒng)計了兩次,比方說我們統(tǒng)計了一次1號同學與2號同學握手,又統(tǒng)計了一次2號同學與1號同學握手,所以實際握手次數(shù)是72 ÷ 2 = 36.

比較一下可以知道,顯然是第三種方法最簡捷,也最準確. 比方說10位同學之間都握了一次手,那么握手的次數(shù)就應該是9 × 10 ÷ 2 = 45. 而且,即使有很多人握手,我們同樣可以根據(jù)這一規(guī)律進行計算:如果一共有n個人之間互相握手,那握手的總次數(shù)就是.

這一規(guī)律可不是只能用來計算握手的次數(shù),在代數(shù)與幾何中都能發(fā)現(xiàn)它的身影.

例1 如圖1,已知線段AF上有B?C?D?E四個點,那么圖中共有多少條線段?

圖1

圖中的每條線段都是兩個端點之間的連線,我們可以把它看做兩個點之間的握手,這樣我們就可以利用上述規(guī)律進行計算. 因為本題中有6個點,即n = 6, == 15. 則圖中共有15條線段.

換個角度:已知線段AF上共有15條線段,則在線段AF上除A?F外共有幾個點?

設在線段AF上共有n個點,則 = 15,解得n = 6,即在線段AF共有6個點,再去掉A?F兩個端點,可得6 - 2 = 4,在線段AF上除A?F外共有4個點.

例2 如圖2,已知∠AOB中有三條射線OC?OD?OE,請問圖中共有幾個角.

圖2

圖中的每個角都是兩條線段之間的夾角,我們可以把每個角看做兩條線段之間的握手,這樣我們同樣可以利用上述規(guī)律進行計算. 因為本題中有5條線段,即n=5, == 10. 則圖中共有10個角.

換個角度:已知有公共端點的n條射線共形成了10個角,求n的值.

= 10,解得n = 5,即共有5條射線.

例3 請問圖3中共有幾個長方形.

圖3

經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn),圖中每兩條豎線都分別屬于不同的長方形,我們可以把每個長方形看做兩條豎線之間的握手,這樣我們就可以利用上述規(guī)律進行計算. 因為圖中有7條豎線,即n = 7, ==21. 則圖中共有21個長方形.

拓展一下:請問圖4中共有幾個長方形.

圖4

每橫排的長方形個數(shù)與橫線上的線段的條數(shù)相等,即有 = =36(個). 同理,每豎列上的長方形個數(shù)為 = =10(個). 則圖中長方形共有36 × 10 = 360(個).

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文