例說最優(yōu)化方法解實(shí)際問題

莊興釗

現(xiàn)實(shí)中有很多問題涉及到求最大最小值問題，初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽也有這類問題.解決這類問題可以用最優(yōu)化方法.即首先構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，然后在限制條件下求目標(biāo)函數(shù)的最大最小值，下面舉例說明.

【例1】 某廠有甲，乙兩個(gè)車間同時(shí)生產(chǎn)A，B兩種型號(hào)的零件.假設(shè)每生產(chǎn)1個(gè)A型零件甲車間獲利32(單位：百元，下同)，乙車間獲利27，而每生產(chǎn)1個(gè)B型零件甲車間獲利40，乙車間獲利36．現(xiàn)有A型零件35個(gè)，B型零件25個(gè)，要求每個(gè)車間都生產(chǎn)30個(gè)，并且都生產(chǎn)有A，B兩種型號(hào)的零件，問怎樣分配才能使在保證乙車間獲利不小于980的情形下工廠獲利最大?

解：設(shè)分配給甲車間A型零件x個(gè)，由于生產(chǎn)總數(shù)是30個(gè)，故甲車間生產(chǎn)B型零件為(30-x)個(gè).同樣設(shè)乙車間生產(chǎn)A型零件y個(gè)，則乙車間生產(chǎn)B型零件為(30-y)個(gè).于是可以建立工廠獲利的目標(biāo)函數(shù)為

M(x,y)=32x+40（30-x）+27y+36(30-y). ①

我們的目的是要求27y+36(30-y)≥980，即在1≤y≤11的限制條件下目標(biāo)函數(shù)M(x,y)的最大值.由于A型零件總共有35個(gè)，因此可以利用關(guān)系式x+y=35來化簡(jiǎn)①式，得到

M(x，y)=2000-y. ②

又注意到B型零件總共有25個(gè)，而要求每個(gè)車間都要生產(chǎn)有A，B兩種型號(hào)的零件.故y只能取6，此時(shí)甲車間生產(chǎn)A型零件29個(gè)，B型零件1個(gè).乙車間生產(chǎn)A型零件6個(gè)，B型零件24個(gè).工廠獲利最大為1944.

注：如果把上述限制條件“假設(shè)每生產(chǎn)1個(gè)A型零件甲車間獲利32”改為“假設(shè)每生產(chǎn)1個(gè)A型零件甲車間獲利30”，其他條件不變，則可以得到下述目標(biāo)函數(shù)

M(x,y)=30x+40(30-x)+27y+36(30-y)=1930+y. ③

此時(shí)我們可以取y=11，甲車間生產(chǎn)A型零件24個(gè)，B型零件6個(gè).乙車間生產(chǎn)A型零件11個(gè)，B型零件19個(gè).工廠獲利最大為1944.

【例2】 某廠有甲，乙兩個(gè)車間同時(shí)生產(chǎn)A，B兩種型號(hào)的零件.假設(shè)每生產(chǎn)1個(gè)A型零件甲車間獲利32(單位：百元，下同)，乙車間獲利27，而每生產(chǎn)1個(gè)B型零件甲車間獲利40，乙車間獲利36．現(xiàn)有A型零件35個(gè)，B型零件25個(gè)，要求每個(gè)車間都生產(chǎn)30個(gè)，并且都生產(chǎn)有A，B兩種型號(hào)的零件，問怎樣分配才能使甲，乙兩個(gè)車間所獲利潤(rùn)之差為最小?

解：設(shè)分配給甲車間A型零件x個(gè)，由于生產(chǎn)總數(shù)是30個(gè)，故甲車間生產(chǎn)B型零件為(30-x)個(gè)，甲車間所獲利潤(rùn)為32x+40(30-x)=1200-8x.同樣設(shè)乙車間生產(chǎn)A型零件y個(gè)，則乙車間生產(chǎn)B型零件為(30-y)個(gè)，乙車間所獲利潤(rùn)為27y+36(30-y)=1080-9y.于是可以建立兩工廠獲利之差的目標(biāo)函數(shù)為

M(x,y)=1200-8x-(1080-9y)=120-8x+9y. ④

我們的目的是要求x和y都取整數(shù)值且滿足x+y=35時(shí)M(x,y)取得最小值.很容易得到x=26，y=9，此時(shí)甲車間所獲利潤(rùn)為992，乙車間所獲利潤(rùn)為999.上述方法可以推廣到3個(gè)變?cè)酥羘個(gè)變?cè)那樾?

【例3】 某廠有甲，乙，丙三個(gè)車間同時(shí)生產(chǎn)A，B兩種型號(hào)的零件.假設(shè)每生產(chǎn)1個(gè)A型零件甲車間獲利32(單位：百元，下同)，乙車間獲利27，丙車間獲利28，而每生產(chǎn)1個(gè)B型零件甲車間獲利40，乙車間獲利36，丙車間獲利38.現(xiàn)有A型零件48個(gè)，B型零件42個(gè)，要求每個(gè)車間都生產(chǎn)30個(gè)，并且都生產(chǎn)有A，B兩種型號(hào)的零件，問怎樣分配才能使在保證乙車間獲利不小于980的情形下工廠獲利最大?

解：設(shè)分配給甲車間A型零件x個(gè)，由于生產(chǎn)總數(shù)是30個(gè)，故甲車間生產(chǎn)B型零件為(30-x)個(gè).設(shè)乙車間生產(chǎn)A型零件y個(gè)，則乙車間生產(chǎn)B型零件為(30-y)個(gè).同樣設(shè)丙車間生產(chǎn)A型零件z個(gè)，則丙車間生產(chǎn)B型零件為(30-z)個(gè).于是可以建立工廠獲利的目標(biāo)函數(shù)為

M(x,y,z)=32x+40(30-x)+27y+36(30-y)+28z+38(30-z). ⑤

限制條件仍然是1≤y≤11，利用關(guān)系式x+y+z=48來化簡(jiǎn)⑤式，得到

M(x,y,z)=2940+2x+y. ⑥

現(xiàn)在的問題歸結(jié)為尋求x,y的取值使2x+y的值為最大，注意y的取值范圍是1≤y≤11，因此就取y的值為11，x取值為29時(shí)，目標(biāo)函數(shù)M(x，y，z)取

得最大值3009，此時(shí)甲車間生產(chǎn)A型零件29個(gè)，B型零件1個(gè).乙車間生產(chǎn)A型零件11個(gè)，B型零件19個(gè).丙車間生產(chǎn)A型零件8個(gè)，B型零件22個(gè).

注：如果把上述條件改為每生產(chǎn)1個(gè)B型零件丙車間獲利35，其他條件不變，則目標(biāo)函數(shù)為

M(x,y,z)=32x+40(30-x)+27y+36(30-y)+28z+35(30-z). ⑦

同樣利用關(guān)系式x+y+z=48來化簡(jiǎn)⑦式，得到

M(x，y，z)=2994-x-2y. ⑧

此時(shí)我們可以取y=1，由于B型零件總共有42個(gè)，因此x的取值最小可以為18，此時(shí)甲車間生產(chǎn)A型零件1個(gè)，B型零件29個(gè).乙車間生產(chǎn)A型零件18個(gè)，B型零件12個(gè).丙車間生產(chǎn)A型零件29個(gè)，B型零件1個(gè).工廠獲利最大為2974.

【例4】 某廠有甲，乙，丙三個(gè)車間同時(shí)生產(chǎn)A，B兩種型號(hào)的零件.假設(shè)每生產(chǎn)1個(gè)A型零件甲車間獲利32(單位：百元，下同)，乙車間獲利27，丙車間獲利28，而每生產(chǎn)1個(gè)B型零件甲車間獲利40，乙車間獲利36，丙車間獲利37.現(xiàn)有A型零件48個(gè)，B型零件42個(gè)，要求每個(gè)車間都生產(chǎn)30個(gè)，并且都生產(chǎn)有A，B兩種型號(hào)的零件，問怎樣分配才能使三個(gè)車間獲利最均勻?

解：仍按例3的假設(shè)，則甲車間獲利為32x+40(30-x)=1200-10x，乙車間獲利為27y+36(30-y)=1080-9y，丙車間獲利為28z+38(30-z)，利用關(guān)系式x+y+z=48可以把丙車間獲利表示為660+10x+10y,于是甲車間獲利與乙車間獲利的差為

M(x,y)=1200-10x-1080+9y=120-10x+9y. ⑨

乙車間獲利與丙車間獲利的差為

N(x,y)=1080-9y-660-10x-10y=420-10x-19y. ⑩

由題意三個(gè)車間獲利最均勻就是要尋求x,y的取值使目標(biāo)函數(shù)⑨和⑩與零最接近.因此可以令M(x,y)=0，N(x,y)=0，通過解方程組

求得x,y的取值.解方程組B11５脁=21.6，y=10.7，于是z=48-21.6-10.7=15.7，但由于零件數(shù)不能取小數(shù)，故取x=21，y=11，z=16，此時(shí)甲車間生產(chǎn)A型零件21個(gè)，B型零件9個(gè).乙車間生產(chǎn)A型零件11個(gè)，B型零件19個(gè).丙車間生產(chǎn)A型零件16個(gè)，B型零件14個(gè).而甲，乙，丙三個(gè)車間獲利分別為990，981，980.