平方根與立方根典型習(xí)題解讀

姚紹相

《數(shù)的開方》的第1節(jié)學(xué)習(xí)了初中階段六種運(yùn)算中的最后一種數(shù)的運(yùn)算——開平方、開立方（統(tǒng)稱開方），其結(jié)果分別稱為平方根與立方根（統(tǒng)稱方根）.現(xiàn)以本節(jié)的典型習(xí)題為例，分類解讀如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、平方根與立方根

例1（1）求下列各數(shù)的平方根：289，6.25，2 ，，.

（2）求下列各數(shù)的立方根：-2 ，0.125， .

（3）求下列各式的值：①× ，②÷ .

（4）用計(jì)算器求下列各式的值（保留四個(gè)有效數(shù)字）： - ，- .

解析：（1）將一個(gè)正數(shù)開平方，關(guān)鍵是找出它的一個(gè)算術(shù)平方根.因?yàn)?72=289，所以 =17（即289的算術(shù)平方根是17），因此289的平方根是±17（或± =±17）.以下各數(shù)請同學(xué)們完成.答案：±17，±2.5，± ，±2（不是 4），±3（ ≠-9）.

（2）請同學(xué)們完成.答案：- ，0.5， （不是9，該處是求 =9的立方根）.

（3）請同學(xué)們完成.答案：① ，②- .

（4）請同學(xué)們完成.答案：-44.81，0.950 4.

點(diǎn)評(píng)：要重視例1這類課本中的基本訓(xùn)練題.

①要搞清平方根、算術(shù)平方根與立方根的意義及性質(zhì)的異同，防止混淆.例如，一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，而正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)；負(fù)數(shù)沒有平方根，但有立方根，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)；0的平方根與立方根都是0.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任何數(shù)都能進(jìn)行開立方運(yùn)算，只有非負(fù)數(shù)才能進(jìn)行開平方運(yùn)算.

②要明確開平方與平方、開立方與立方互為逆運(yùn)算，學(xué)會(huì)利用平方與立方運(yùn)算求平方根與立方根，也要學(xué)會(huì)利用平方與立方運(yùn)算檢驗(yàn)開平方與開立方是否正確.

③求 、 這類數(shù)的平方根或算術(shù)平方根時(shí)，一定要先將它們化簡，再求解.

④當(dāng)根號(hào)下的被開方數(shù)是兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)的和或差時(shí)，如第（3）題中的第②題，應(yīng)先求其和或差，再進(jìn)行開方運(yùn)算.

二、三種非負(fù)數(shù)

例2若 和 互為相反數(shù)，則 2- 27 =.

解析：根據(jù)相反數(shù)的意義，得 + =0.再由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得1-3a=0，8b-3=0.解得a= ，b = .

∴ 2=2 = 82 = 64.

∴ 2- 27 = 64 - 27 = 37.

點(diǎn)評(píng)：正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，初中數(shù)學(xué)中常見的非負(fù)數(shù)有以下三種：實(shí)數(shù)的絕對(duì)值、實(shí)數(shù)的偶次冪（實(shí)數(shù)的平方是其中最簡單的情況）與非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根.以上是利用“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”這一非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程組求解，例2這種類型的題是各地中考命題的一個(gè)熱點(diǎn).要特別注意非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根 的兩個(gè)非負(fù)性，即a≥0， ≥0.

三、數(shù)（實(shí)數(shù)）的估算與大小比較

例3（1）估計(jì) +1的值是（）.

A. 在2和3之間 B. 在3和4之間

C. 在4和5之間 D. 在5和6之間

（2）估計(jì) 的大小應(yīng)（）.

A．在9.1和9.2之間 B. 在9.2和9.3之間

C． 在9.3和9.4之間 D. 在9.4和9.5之間

解析：（1）本題是由課本第7頁習(xí)題12.1的第4題（ 在哪兩個(gè)整數(shù)之間？）改編而成.

∵ ＜ ＜ ，即3＜ ＜4，

∴ 4＜ +1＜5.故應(yīng)選C.

（2）9.32=86.49，9.42=88.36，又86.49＜88＜88.36，9.3＜ ＜ 9.4.故應(yīng)選C.

點(diǎn)評(píng)：這類估算題既是課本中的重要題型，也是考查《數(shù)的開方》內(nèi)容中考題的熱點(diǎn).它對(duì)培養(yǎng)同學(xué)們的估算能力有幫助.但對(duì)允許將計(jì)算器帶入考場的地方，這類題就屬于簡單的基礎(chǔ)知識(shí)題了.

例4（1）比較2.5，-3， 的大小，正確的是（）.

A．-3＜2.5＜ B． 2.5＜-3＜

Ｃ．-3＜ ＜2.5Ｄ． ＜2.5＜-3

（2）已知A=n- ，B=3 -2 （n為正整數(shù)）．當(dāng)n≤5時(shí)，有A＜B；請用計(jì)算器計(jì)算當(dāng)n≥6時(shí)，A、B的若干個(gè)值，并由此歸納出當(dāng)n≥6時(shí)，A、B間的大小關(guān)系為.

解析：（1）∵負(fù)數(shù)小于正數(shù)，2.52=6.25＜7，

∴-3＜2.5＜ .

故應(yīng)選A.

（2）A＞B.

點(diǎn)評(píng)：有理數(shù)的大小比較方法，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.實(shí)數(shù)比較大小時(shí)，通常取它們的近似值來進(jìn)行.課本主要介紹了直接法、估算法與計(jì)算器計(jì)算法等.其他方法（如平方法、求差法、求商法、倒數(shù)法等），希望同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)過程中認(rèn)真加以總結(jié)，注意靈活應(yīng)用.

四、平方根與立方根應(yīng)用題

例5（第7頁習(xí)題12.1第5題）在做浮力實(shí)驗(yàn)時(shí)，小華用一根細(xì)線將一正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱形燒杯中，并用一量筒量得被鐵塊排開的水的體積為40.5 cm3，小華又將鐵塊從燒杯中提起，量得燒杯中的水位下降了0.62 cm．請問燒杯內(nèi)部的底面半徑和鐵塊的棱長各是多少.（用計(jì)算器計(jì)算，結(jié)果精確到0.1 cm）

解析：這是一道數(shù)學(xué)與物理的綜合題.由物理知識(shí)，知鐵塊的體積就是燒杯中減少的水的體積，

鐵塊的棱長為 ≈3.4（cm）.

燒杯中減少的水的體積為40.5 cm3，水位下降了0.62 cm，

燒杯內(nèi)部的底面面積為cm2，故燒杯內(nèi)部的底面半徑為 ≈4.6（cm）.

點(diǎn)評(píng)：通過本章的學(xué)習(xí)，同學(xué)們可體驗(yàn)到數(shù)學(xué)源于實(shí)際，又應(yīng)用于實(shí)際.解實(shí)際問題，首先要讀懂題意，善于將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

1. 如果一個(gè)實(shí)數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根是它本身，那么這個(gè)實(shí)數(shù)分別是什么？

2. 已知一個(gè)正數(shù)的平方根是3a-1與-a+3，求29a+2的立方根.

3. 已知 +（2y-x-14）2=0，求 的值.

4. 比較大?。海?）- +3- +3；

（2） 0.5.

5.一個(gè)正方體的體積為18.49 cm3，求這個(gè)正方體的棱長與表面積.（精確到0.01） L

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”