關于十五子的游戲

陳景潤，1933年5月22日生于福建閩侯．他家境貧寒，但學習刻苦.他在中、小學讀書時，就對數(shù)學情有獨鐘，一有時間就演算習題，在學校里成了個“小數(shù)學迷”．他不善言辭，為人真誠和善，從不計較個人得失，把畢生精力都獻給了數(shù)學事業(yè)．高中沒畢業(yè)就以同等學力考入廈門大學．1953年畢業(yè)于廈門大學數(shù)學系．1957年進入中國科學院數(shù)學研究所并在華羅庚教授指導下從事數(shù)論方面的研究．歷任中國科學院數(shù)學研究所研究員、學術委員會委員兼貴陽民族學院、河南大學、青島大學、華中工學院、福建師范大學等校教授，原國家科委數(shù)學學科組成員，《數(shù)學季刊》主編等職．主要從事解析數(shù)論方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得國際領先的成果．這一成果被國際上譽為“陳氏定理”，受到廣泛引用．

我們先來介紹一點組合數(shù)學的知識，有一堆東西，需要把它們排列出來，我們可以給每一個東西編一個號，例如按某種規(guī)定依次編為1，2，…，n.我們稱這個從小到大的序列（1，2，…，n）為順序列，但若出現(xiàn)一個大的數(shù)排在小的數(shù)的前面，例如（1，3，2，4，…，n），這是一個在順序上發(fā)生雜亂的序列，我們不妨稱之為非順序列.人們規(guī)定：若在一個序列中，有一個數(shù)排在比它還要小的另一個數(shù)之前，我們稱之為一個倒置.例如非順序列（1，3，2，4，5）有一個倒置，又如（3，1，2，4，5）有兩個倒置，因為3不僅在2之前，而且還排在1之前，再如（3，2，1，4，5）有三個倒置，因為3排在1，2的前面，這有兩個倒置，2排在1的前面，又有一個倒置.我們稱順序列的倒置為0 ，這是因為順序列沒有發(fā)生倒置.根據(jù)倒置數(shù)的不同，我們可以把所有的序列分成兩類，一類是倒置數(shù)為偶數(shù)的序列，我們稱它為偶置序列（順序列也應歸為倒置序列）；另一類是倒置數(shù)為奇數(shù)的序列，我們稱它為奇置序列.

設圖1是一個十五子游戲的初始位置，我們先把這15個數(shù)排成一個序列：5，1，4，3，10，8，2，13，6，9，14，12，7，15，

11.其中5排在最前面，因而有1，2，3，4這四個比它小的數(shù)排在它后面，所以僅僅對5來講，有4個倒置，我們把4寫在橫線下和5對應；1排在第2，雖然5排在它前面，但這一個倒置在計算5的倒置數(shù)時已經(jīng)算過了，所以不再計算.而1的后面再也沒有比1小的數(shù)了，因而1的倒置數(shù)是0，把0記在1的下面；同理，在4的后面而比4小的數(shù)有3和2兩個，因而4的下面記下2；依此類推，得圖2.

的），事實上，要判斷其是奇置序列還是偶置序列，用不著把這些倒置數(shù)加起來.因為偶數(shù)加偶數(shù)還是偶數(shù)，奇數(shù)加偶數(shù)還是奇數(shù)，就是說，一個整數(shù)加上一個偶數(shù)并不改變原來這個整數(shù)的奇偶性，因此我們只需要數(shù)一下倒置數(shù)中有多少個奇數(shù)，若是偶數(shù)個奇數(shù)，則這個序列是一個偶置序列；若有奇數(shù)個奇數(shù)，則這個序列一定是個奇置序列.圖2下面的一行數(shù)中共有1，5，3，5，1，3，1七個奇數(shù)，故馬上斷定圖上的序列是一個奇置序列.

下面我們來研究一下，一個序列中相鄰的兩個數(shù)調換一下位置，倒置數(shù)會發(fā)生什么變化.例如一個序列中某一對相鄰的兩數(shù)為x，y，當兩數(shù)調換位置后，變?yōu)閥，x .若x大于y，則x，y的順序是不正常的，即有一個倒置，現(xiàn)在變?yōu)閥，x，即小的在前，大的在后，因而原來的一個倒置消失了；若x小于y ，則x，y這兩個數(shù)之間沒有倒置，變?yōu)閥，x后，小的在后，大的在前，因而產(chǎn)生了一個倒置.因此，我們可以斷言，兩個相鄰的數(shù)若調換位置后，序列倒置數(shù)的奇偶性一定發(fā)生改變.若有三個相鄰的數(shù)x，y，z，把x調到z的后面，變?yōu)閥，z，x，這時候我們可以把這樣的調換，先看為是x與y變換位置，變?yōu)閥，x，z，再把x與z變換位置，變?yōu)閥，z，x，即經(jīng)過了兩次相鄰的調換，因而原序列倒置數(shù)的奇偶性要發(fā)生兩次變化，即奇—偶—奇，或者是偶—奇—偶，這樣，一個數(shù)在序列里向前跳過兩個數(shù)或向后跳過兩個數(shù)后，序列的奇偶性不變.若是四個相鄰的數(shù)排成為x，y，z，w，當x調到w之后，變?yōu)閥，z，w，x時，顯然還可以把這個變換分成為三個相鄰的變換，即x先與y變換，再與z交換，最后與w交換，因而原序列倒置數(shù)的奇偶性也經(jīng)過三次變換，即奇—偶—奇—偶或偶—奇—偶—奇，故序列的奇偶性要變.

在十五子游戲中，我們的變化不過是把空格向左右或向上下移動，當空格向左右移動時，原位置的序列沒有發(fā)生變化，例如在某一行中，原來的位置是xyz，當空格向右移動時變?yōu)閤yz，空格向左移動時變?yōu)閤yz，這兩種情況的序列都是“xyz”，因而我們斷言，當空格向左右移動時，原序列的例置數(shù)不變，所以倒置數(shù)的奇偶性沒有發(fā)生變化.當空格向上移動時，例如由圖3變?yōu)閳D4，因為圖3展開的序列為（**xyzw*），而圖4展開的序列為（**yzwx*），即*向后跳了三個位置，因而按前面的分析，序列的奇偶性要改變.同理當空格往下移動一格時，即由圖4變?yōu)閳D3時，序列的奇偶性也要改變，而當空格向上移動一格后，又向右或者向左移動時，最后又向下移動到空格原來所在行時，則序列倒置數(shù)的奇偶性變化了兩次，因而知道倒置數(shù)的奇偶性不變，若空格向上或向下移動兩格，則序列倒置數(shù)的奇偶性也變化了兩次，結果倒置數(shù)的奇偶性仍然不改變，但若向上或向下移動三次則奇偶性就要改變了.

在十五子游戲中，最后結果空格是在第四行，因而若空格原位置在第四行或者第二行，則到最后位置時，序列的奇偶性不會改變，若空格原來的位置是在第一行或第三行時，則最后位置的倒置數(shù)的奇偶性要發(fā)生變化.

我們在前面已經(jīng)講 過，不論十五子游戲的最初位置如何，最終總可以變?yōu)檎Ｅ帕校ㄅ贾眯蛄校┗蚱娈惻帕校ㄆ嬷眯蛄校?因此，當原位置的序列是偶置序列，而空格在第一行或第三行時，它只能變?yōu)椤捌娈惻帕小?；若空格在第二行或第四行，則一定可以變?yōu)檎Ｅ帕?當原位置的序列是奇置序列，而空格在第一行或第三行時，則最終總可以變?yōu)椤罢Ｅ帕小保划斂崭裨诘诙谢虻谒男袝r，它就只能變?yōu)椤捌娈惻帕小绷?由于“正常排列”與“奇異排列”的空格都在第四行，因而“正常排列”（偶置序列）再經(jīng)過任何移動也不可能變?yōu)椤捌娈惻帕小保ㄆ嬷眯蛄校?

到此，我們就完全掌握十五子游戲的奧秘了.因為我們不但能把它排成最終狀況，而且能預先就知道它能不能排成“正常排列”，這只須簡單計算一下序列倒置數(shù)的奇偶性，再看一下空格在第幾行就行了.就這樣，我們僅僅使用了一點點數(shù)學概念就把神秘的十五子游戲變得十分簡單明了了.

順便指出，任何n2個縱橫數(shù)相同的小方格和n2 - 1個小紙板都可以玩“n2 - 1子游戲”，例如縱橫各五的25個小方格和24個小紙板的“二十四子游戲”，與十五子游戲一樣，可以總結出規(guī)律，并且規(guī)律更簡單一些，這里我們就不再介紹了.

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